高一数学必修4(新人教)课后强化训练(含详解)：2.4第2课时

2.4第2课时
一、选择题
1．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A.65
5
B.65
C.13
5
D.13
[答案] A
[解析] ∵cosθ＝
a·b |a|·|b|
＝2×(－4)＋3×7
4＋9·16＋49
＝
5
5
，
∴a在b方向上的投影|a|cosθ
＝22＋32×
5
5
＝
65
5
.
2．(08·海南文)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( ) A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，
∴λa ＋b ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)， ∵λa ＋b 与a 垂直，
∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0， ∴λ＝－1，故选A.
3．(2010·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( ) A.12
B ．1
C.32
D. 3
[答案] B
[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×1×1
2
＝1.
4．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是( )
A ．30°
B ．150°
C ．210°
D ．30°或150°
[答案] B
[解析] 由a ·b <0知，a 、b 夹角是钝角， ∵S △ABC ＝154，∴12×3×5×sin A ＝154，∴sin A ＝1
2，
∵A 为钝角，∴A ＝150°.
5．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，334 D ．(1,0)
[答案] B
[解析] 方法1：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则
⎩⎨
⎧
x 2＋y 2
＝1， ①3x ＋y ＝3， ②
将②代入①得x 2
＋(3－3x )2
＝1，即2x 2
－3x ＋1＝0，
∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝3
2
.
方法2：排除法，D 中y ＝0不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入A ，不合题意，故选B. 6．(2010·四川理，5)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，则|AM →
|＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
[答案] C
[解析] ∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，∴△ABC 是以A 为直角顶点的三角形， 又M 是BC 的中点，则|AM →
|＝12|BC →|＝12
×4＝2.
7．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则
向量a ，b 的夹角为( )
A.3π
2－θ B ．θ－π
2
C.
π
2
＋θ
D ．θ
[答案] A
[解析] 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2
＋y 2
＝4位于第二象限的部分上
(∵π
2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ，
∴a 与b 的夹角为3π
2
－θ.
解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ
2×2
＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－θ，
∵θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， 又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π
2－θ.
8．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |>|2a ＋b | B ．|2a |<|2a ＋b | C ．|2b |>|a ＋2b | D ．|2b |<|a ＋2b | [答案] C
[解析] 由已知(a ＋b )2
＝b 2
，即2a ·b ＋|a |2
＝0.
∵|2a ＋b |2
－|2a |2
＝4a ·b ＋|b |2
＝|b |2
－2|a |2
符号不能确定，∴A 、B 均不对． ∵|a ＋2b |2
－|2b |2
＝|a |2
＋4a ·b ＝|a |2
－2|a |2
＝－|a |2
<0.故选C.
9．设A (a,1)、B (2，b )、C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →
方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )
A ．4a －5b ＝3
B ．5a －4b ＝3
C ．4a ＋5b ＝14
D ．5a ＋4b ＝14 [答案] A
[解析] 据投影定义知，OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC
→
|OC →|
⇒OA →·OC →－OB →·OC →＝0⇒BA →·OC →
＝0， ⇒4(a －2)＋5(1－b )＝0⇒4a －5b ＝3.
10．(08·浙江)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )
A ．1
B ．2 C. 2
D.22
[答案] C
[解析] 由(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2
＝0，即c 2
＝(a ＋b )·c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.
二、填空题
11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，则与2a －b 同方向的单位向量e 为________．
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，35 [解析] ∵2a －b ＝2(1,2)－(－2,1)＝(4,3)， ∴同方向的单位向量e ＝
(4，3)
42＋32
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，35. 12．(2010·金华十校)△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OB →·AB →
的最小值为________．
[答案] 3
[解析] ∵AP →·OA →
＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →
＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0， ∴y ≥2.
∴OP →·AB →
＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.
13．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b .若|a |＝1，则|a |2
＋|b |2
＋|c |2
的值是________． [答案] 4
[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∵(a －b )⊥c ，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝0. 即|a |2
－|b |2
＝0，∴|a |＝|b |＝1， ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，
∴|c |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a ·b ＋b 2
＝1＋0＋1＝2. ∴|a |2
＋|b |2
＋|c |2
＝4. 三、解答题
14．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t .
[解析] (1)a ＋t b ＝(2t －3,2＋t )，|a ＋t b |2＝(2t －3)2＋(2＋t )2＝5t 2
－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋495
，当
t ＝45
时，|a ＋t b |取得最小值
75
5
. (2)a －t b ＝(－3－2t,2－t )，因为a －t b 与c 共线，所以3＋2t －6＋3t ＝0，即t ＝3
5
.
15．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，若BC →∥DA →，AC →⊥BD →
. (1)求x 、y 的值； (2)求四边形ABCD 的面积．
[解析] (1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(4＋x ，y －2)， ∴DA →
＝(－4－x,2－y )，
由BC →∥DA →
得，x (2－y )＋y (4＋x )＝0① AC →＝AB →＋BC →
＝(6＋x ，y ＋1)， BD →
＝BC →＋CD →
＝(x －2，y －3)，
由AC →⊥BD →
得，
(6＋x )(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0② 由①②解得x ＝2，y ＝－1或x ＝－6，y ＝3. (2)当x ＝2，y ＝－1时，AC →＝(8,0)，BD →
＝(0,4)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →
|＝12×8×4＝16；
当x ＝－6，y ＝3时，AC →＝(0,4)，BD →
＝(－8,0)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →
|＝12×4×8＝16.
16．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32.
(1)求证：a ⊥b ；
(2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t －3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k
＝f (t )；
(3)求函数k ＝f (t )的最小值． [解析] (1)由a ·b ＝
32－3
2
＝0，得a ⊥b . (2)由x ⊥y 得，x ·y ＝[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2
－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2
＝0.
－k a 2
＋t (t －3)b 2
＝0. ∴k ＝1
4
t (t －3)．
(3)k ＝14t (t －3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916，
所以当t ＝32时，k 取最小值－916
.
17．如图所示，已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 是BC 边上的高，求AD →
及点D 的坐标．
[解析] 设点D 的坐标为(x ，y )，∵AD 是BC 边上的高， ∴AD →⊥BC →，CD →与BC →
共线．
又AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →
＝(－6，－3)． CD →
＝(x ＋3，y ＋1)，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，－3(x ＋3)＋6(y ＋1)＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －3＝0，
x －2y ＋1＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
∴D 点坐标为(1,1)，∴AD →
＝(－1,2)．
18．已知O 为平面直角坐标系的原点，设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →
＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB .若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]．则OM →
＝(6t,3t )， 即M (6t,3t )．
∴MA →＝OA →－OM →
＝(2－6t,5－3t )， MB →
＝OB →－OM →
＝(3－6t,1－3t )．
∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →
＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0， 即45t 2
－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115
.
∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝
⎛⎭
⎪⎫225，115.。