黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题含答案

哈尔滨市第六中学2016—2017学年度下学期期中考试
高二文科数学试卷
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用0。

5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整，
字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷(选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的．
1
．
复
数
z
＝
i
i
-3+2+的共轭复数是
( ）
A ．2+
i B ．2－i C ．－1+i D ．－1－i
2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数"正确的反设为（ ）
A ．
a ,
b ，
c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ,c 都是奇数
C ．
a ，
b ，
c 中至少有两个偶数或都是奇数 D ．a ，b ，c 都是
偶数
3．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040, 那么判断框中应填入 ( ）
A ．6k <？
B ．7k <？
C ．6k >？
D ．7k >?
4．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列四个命题：
① 若b a ⊥,α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；
② 若α//a ，β⊥a ，则βα⊥;
③ 若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ； ④ 若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥。

其中正确命题的个数为
（ ）
A ．1
B ．2
C ． 3
D ．4
5 . 在ABC ∆中，0
60,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，
则使ABD
∆是以
BAD
∠为钝角的三角形的概率为
（ )
A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
23
6 . 2
22
2
1(0,0)y
x a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，
双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为
（ ）
A ．22
1520
x y -=
B ．22
1
205x y -=
C ．22
33125100
x y -=
D ．22
33110025
x y -=
7．函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()
y f x '=的图象可能是
（ ）
8．若函数3
2()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是
( )
A ． 1
(,)3
+∞
B ．1(,)3
-∞ C ．1[,)3
+∞ D ．1(,]3
-∞
9 。

若点A 的坐标为()3,2,F 是抛物线22y x
=的焦
点，
点M
在抛物线上移动时,使
||||
MA MF +取得最小值
的
M
的
坐
标
为 （ ）
A ．()0,0
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．()2,2
10．一个几何体的三视图如右图所示,
则该几何体的体积是 ( ）
A ．108
B ．180
C ．72
D ．144
11．已知e 是自然对数的底数，若函数()x
f x e x a =-+的图象始终在x 轴
的上方,
则实数
a
的
取值范围
（ ）
A ． (1,)-+∞
B ． (,1)-∞-
C ． [1,)-+∞
D ．(,1]-∞-
12．已知三棱锥S —ABC ，满足SA ⊥SB ，SB ⊥SC,SC ⊥SA,且SA=SB=SC ，
若该三棱锥外接球的半径为
是外接球上一动点，
则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为
（ )
A ．3
B ．2
C D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机
读卡上相应的位置．
13．已知命题p ：方程
2
214y x m m
+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：
22(1)(3)1
m x m y -+-=
表示双曲线；若p q
∧为真命题，则实数m 的取值范围是
__________．
14．已知函数2
()2(2)f x x xf =-'，则函数)(x f 的图象在点()()2,2f 处的切线方
程是 。

15．已知函数
33y x x c
=-+的图像与
x
轴恰好有两个交点，则
c =
.
16．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
21(0)
y x b b
-=>的焦点到其渐近线
的距离
等于抛物线22
=上的点(1,2)
y px
M到其焦点的距离，则实数b=．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165。

17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12。

99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1)：
(1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过
6000元的居民中随机
抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；
（3)台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如下表,
在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或
不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？
附:n a b c d
=+++。

18。

(本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD
，
底面
ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，
90ABC ∠=,1, 2.SA AB AD BC ====
(1)求异面直线BC 与SD 所成角的大
小；
（2）求直线SC 与平面SAB 所成角的正切值； (3）求三棱锥D SBC -的体积。

19．（本小题满分12分）
已知三次函数3
2()(,,)f x ax bx cx a b c R =++∈，
（1）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程是02=+y ,求函
数)(x f 的解析式；
(2）在（1）的条件下，若对于区间]2,3[-上任意两个自变量的值2
1
,x x ,
都有t x f x f ≤-|)()(|2
1
,求实数t 的最小值．
20。

（本小题满分12分)
已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的短轴的一个顶点和两个焦点构成直
角三角形，
且该三角形的面积为1． （1）求椭圆C 的方程;
（2）设1
F ，2
F 是椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四
边形的一组对边过
点1
F 和2
F ，求这个平行四边形面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
1=x 与1=x 处都取得极值．
（1）求a 、b 的值；时，c x f ≥)(恒成立,求实数c 的取
值范围．
请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分．
22.(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中， 以
O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
（t
为参数）， 直线l 和圆C 交于,A B 两点．
（Ⅰ）求圆C 的圆心极坐标；（Ⅱ)直线l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．
23. （本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a =-。

（1）若不等式()2f x ≤的解集为{|15}x x ≤≤，求实数a 的值;
（2）在(1）的条件下,若不等式()()22f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，
求实数m 的取值范围.
1—5 DCDDB 6—10 ADCDB 11—12 AD 13.
23m <<
14. 48y x =- 15。

2或—2 16. 2
17。

解：（1）记每户居民的平均损失为x 元,则：
(10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003)20003360x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
（2）15
（略)
(3）如图：
2
2
50(30695) 4.046
39113515
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，
所以有95％以
上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否
4000元有关.
18.解:（Ⅰ）∵AD ∥BC ∴异面直线BC 与SD 所成角是∠SDA 或其补角 ∵SA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD
∴SA AD ⊥在
Rt △SAD 中, ∵SA AD =,∴∠SDA=45o ∴异面直线BC 与SD 所
成角的大小为45o . （Ⅱ）
,SA ABCD BC ABCD SA BC
⊥⊂∴⊥面，面又∵,AB BC SA
AB A ⊥=，SAB BC 面⊥∴
∴SB 是SC 在平面SAB 上的射影,∴∠CSB 是SC 与底面SAB 所成角
在Rt △CSB 中tan ∠
CSB=BC SC =
=SC 与底面SAB 所成角的正切值为
ABC S
SA ⋅
19。

解：（1） 函数)(x f 过点)2,1(-，2)1(=-+-=-∴c b a f 又
c
bx ax x f ++=23)(2'，函数
)
(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程是
2=+y ，
⎩⎨⎧=-=∴0
)1((2)1('f f ，⎩⎨
⎧=++-=++∴0232c b a c b a 解得3,0,1-===c b a ，故x x x f 3)(3-=
(2）由(1）知33)(2'-=x x f ，令0)('=x f 解得1±=x ，
2)2(,2)1(,2)1(,18)3(=-==-=-f f f f ， ∴在区间]2,3[-上18)(,2)(min max -==x f x f ，
∴
对于区间
]
2,3[-上任意两个自变量的值
2
1,x x ,都有
20)()(|)()(|min max 21=-≤-x f x f x f x f ，
20≥∴t ,所以
t 的最小值是20
20.（Ⅰ）依题意222,
{1,
,
a b c bc b c =+==解得{1,
a b ==即椭圆C 的方程为2212x y +=．
（Ⅱ)设过椭圆右焦点2F 的直线l ：1x ty =+与椭圆交于A ，B 两点, 则221,{
22,
x ty x y =++=整理得()22
2210t y ty ++-=，∴12222t y y t -+=+，12
212y
y t -=+，
∴1
2
y y
-
=
=
=
22122122
OAB OF A OF B
S S S OF y y t ∆∆∆=+=⋅-=+
， 椭圆C 的内接平行四边形面积为4OAB
S S
∆==，
令211m t =
+≥，则()2421m
S f m m ==
+421
m m
=
+, 因为()S f m =在[)1,+∞上单调递减，所以()max 122S f ==,当且仅当1m =，即0t =时等号成立,故这个平行四边形的面积最大值为22．
21.（1）2b 4
f '(x)2a x x
=+
+ b f (x)2ax 4ln x x =-
+在1
x 1x 3
==与处都取得极值 1
f '(1)0,f '()0
3
2a b 40
2a 9b 120
==++=⎧∴⎨
++=⎩即
3
a b 12
=-=-与
经检验符合 （2）由(1）可知，1f (x)3x 4ln x x
=-++
22
14(3x 1)(x 1)f '(x)3x x x --=--
+=- 由)(x f '>0，得f (x)的单调增区间为1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，由)(x f '<0,得f (x)的单调减区间
为1(0,]+3
∞和[1，）∴x =1是f (x)的极大值点 当1x [,e]e
∈时,)1(e
f =e
e
3
4，
)(e f =
3e +e
1+4
而)1(e
f —)(e f =4e —9-4e
所以)1(e
f >)(e f ,即f (x)在1x [,e]e
∈上的最小值
为e
1+4-3e,
要使对1x [,e]e
∈时，f (x)c ≥恒成立，必须min
1
c f (x)
43e e
≤=
+-
22.（1)由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=,得224x y y +=，故圆C 的普通方程为
2240x y y +-=，所以圆心坐标为()0,2，圆心的极坐标为2,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭。

（2）把32{
22
x t
y =-
=+
代入2240x y y +-=得24t =，
所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==- 令202
t +=得点P 对应的
参数为04t =- 所以1
020*******PA PB t
t t t +=-+-=++-+=+=
法二：把{22x t
y ==+
化为普通方程得2y x =+
令0y =得点Ｐ
坐标为
(
)P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心, 故
28PA PB PC +===
23。

（1)由()2f x ≤得2x a -≤,解得22a x a -≤≤+，又不等式()2f x ≤的解集为
{|15}x x ≤≤，所以21
{
25
a a -=+=,解得3a =； （2)当3a =时，()3f x x =-， 设()()()22g x f x f x =++，
则()()()334,
2
322231{2,
1234,
1
x x g x f x f x x x x x x x -≥
=++=-+-=-<<
-+≤, 所以()g x 的最小值为31
22
g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
故当不等式()()22f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立时实数m 的取值范围是12
m ≤。