第4章 §4.5 三角函数的图象与性质--新高考数学新题型一轮复习课件

新高考数学新题型一轮复习课件
第四章
§4.5　三角函数的图象与性质
考试要求
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质.
落实主干知识
课时精练探究核心题型
内容索引
L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ， ，(2π，0).
(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，
，
， ，(2π，1).(π，0)(π，－1)
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域R R
值域
_____________________周期性
_______________奇偶性
__________________奇函数
递增区间[－1,1][－1,1]R 2π2ππ奇函数偶函数[2k π－π，2k π]
递减区间_______________________________ 对称中心__________
______________对称轴方程_______________________
[2k π，2k π＋π](k π，0)x ＝k π
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( )
(2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( )
(3)y ＝sin|x |是偶函数.( )
(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期.
( )××√√
1.若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则√
A.T＝π，A＝1
B.T＝2π，A＝1
C.T＝π，A＝2
D.T＝2π，A＝2
√
T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型
题型一三角函数的定义域和值域
要使函数有意义，
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为_________________.
设t＝sin x－cos x，
当t＝1时，y max＝1；
教师备选
利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y
＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
1
∴cos x ∈[0,1].
由题意可得
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)的形式求值域.
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
③利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.
√
由题意，
f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性√
C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；
D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确.
(2)函数f(x)＝3 ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝____，f(x)图象的对称中心为__________________.
又∵φ∈(0，π)，
教师备选
1.下列函数中，是周期函数的为
√
A.y＝sin|x|
B.y＝cos|x|
C.y＝tan|x|
D.y＝(x－1)0
∵cos|x|＝cos x，
∴y＝cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.
又∵φ∈(0，π)，
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx 或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式. (2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解.
√
√
∵f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，
则f(x)＝－A sin ωx.
当x＝3时，f(x)取得最小值－3，
故A＝3，sin 3ω＝1，
∴f(x)的周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝168×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)
√
题型三三角函数的单调性
命题点1　求三角函数的单调区间
____________________. B＝[0，π]，
命题点2　根据单调性求参数
∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
解得k＝0，
教师备选
√
所以ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数.。