第6章 水波理论

质点运动轨迹：
( x, z) ( x0 , z0 )
ch k ( z 0 h) dx a cos(kx0 t ) dt sh kh sh k ( z 0 h) dz a sin(kx0 t ) dt sh kh

ch k ( z 0 h) x x0 a sin(kx0 t ) sh kh sh k ( z 0 h) z z0 a cos(kx0 t ) sh kh
u a e kz0 cos(kx0 t ) kz0 w a e sin(kz0 t )
浅水波
h
z=－λ/2
有限深水波
1 h 1 20 2
深水波
h


1 20


1 2
x x 0 2 z z 0 2
V a a 2 1 c c

2 2 g th 2 h
2 2 gk th kh k


6.3.1
波形及波速
波形： z a cos(kx t )
波峰位置
kx t 2n
x 2n t n ct k k (n 0, 1, 2, )
波速：
c


gz t
6.1.3
初始条件(initial condition)
作用于自由面和水中的两种扰动引起波动
线性水波问题 定解条件：
2 ( x, y, z, t ) 0
2 g 0 z t 2
(h z 0)
( z 0)
0 z F ( x, y ),
当 时 c c
当 c c 时 当 h const 时 c cs
h
c c
c cs
1 c 4 当 0.998 时 2 c
2 h
1 , 无限深水波—— 2 1 h 1 有限深水波—— 20 2 h 1 浅水波（长波）—— 20

ag ch k ( z h) sin kx cos t ch kh
h
ch k ( z h) e kz ch kh
2 gk th kh
z a sin t sin kx
e kz sin k ( x ) cos(t ) (色散关系) 2 gk
流体力学
第6章 水波理论
（ Chapter 6. Water Wave Theory）
本章内容：讨论重力场中具有自由面的水波（水表面 波或重力波）运动，重点讲述线性简谐波的数学描述、 运动特性和能量概念。为研究非线性波打下基础。
波动的物理本质：
恢复力与惯性力的动态平衡。
Chapter 6. Water Wave Theory
h(x,y)

压力场
6.1.2
2
边界条件及其线性化
a
z
z = z(x,y,t) x
( x, y, z, t ) 0, (in fluid)
1
h(x,y)
o
底面不可穿透
0 n z h( x, y)
F z h( x, y) 0
h h 0, ( z h( x, y )) x x y y z
th kh 1

ag
无限水深情况下波动以指数规律 e kz衰减.
在 z 处， e kz e 0.043 ，流体几乎不动了。 2 因此水深大于半个波长时，有限水深波动可按无限深处理。

6.3

平面进行波
z a sin t sin kx
z a cos t coskx
A ch k ( z h) sin k ( x )
柱波周期性解： 色散关系：

ag ch k ( z h) sin k ( x ) cos( t ) ch kh
N
2 gk th kh
ai g ch ki z h sin ki x z i cosi t i 通解（基元波叠加）： ch ki h i 1 i
k

g th kh k
g 2 h （波速、相速度） th 2
色散关系
2 gk th kh
色 散 波
水底深度 h 对波浪运动的影响：
无限深水波(deep water wave )：
h
2 g 2 gk g g c 1.25 k 2 2 2 0.8 g ag
2
z a sin t sin kx
z
z
o
1 g t
z 0

x
2
k
：波面上下振动一次的时间 ：相邻两波峰间距
波数 k ： 2 长度内波长个数
a
节点
2 gk th kh
驻波运动特征：
2 g th
2 h

• 波
面:空间上是正弦曲线，时间上在 a 间周期性上下振动。
10 min ~ 1 hour )：海底摇荡
涌浪(ground swell) : 暴风停止后的余留
5 ~ 20 sec
)：阵风作用
8 sec 100 m
海波的特点：较长( c 1.25 ,
0.8 )
应用(Applications) ——波浪与结构物的相互作用
• 表面性：离水面越远，波动衰减，即波动仅限于水面附近区域。 • 节 点：波面与水平面的交点位置不随时间变化，波形不向左右
传播，故称驻波。
n x k
(n 0, 1, 2,)
z
o

x
驻波实例：常常发生于有界域
(容器、油船)或半无界流体域
（垂直堤岸附近海域）内。a Nhomakorabea节点
6.2.3 无限水深平面驻波
无限深、有限深和浅水波的比较：
为无限和有限深水波的波长。 记 c、 c、 cs 为三种波的波速， 、
c c
1 2 3
2 h th
2 h c th cs 2 h
1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0, 0

2k ,
ag ch k ( z h) sin kx cos t ch kh
ag ch k ( z h) cos kx sin t ch kh

2

ag ch k ( z h) sin( kx t ) （progressive wave） ch kh
风波和船行波的恢复力是重力
6.1 水波问题的基本方程和定解条件
基本假定： • 理想流体 • 不可压 Kelvin condition • 重力场 • 不计表面张力 运动无旋

6.1.1 基本方程
2 ( x, y, z, t ) 0
a
z
o
z = z(x,y,t) x
v
p 1 2 V gz f (t ) t 2
6.2.2 平面驻波的运动特征
讨论 0, 0特解代表的波浪运动 波动特征参数：

2
ag ch k ( z h) sin kx cos t ch kh
振幅
a ：振动峰值高度
gk th kh (色散关系)
波高 H 2a ：波峰波谷高度差 圆频率 ：2 秒钟振动的次数 1 频率 f ：每秒钟振动的次数 2 周期 波长
( z h)
f ( x, y ) (t 0, z 0) t
线性波—物相互作用问题定解条件：
vb n n ( on S )

求得液体的运动、自由面形状和压力分布。
6.2 平面驻波——周期性解
设平面驻波的速度势： ( x, z, t ) cos( t ) ( x, z) 6.2.1 有限水深平面驻波的解（h const）
本章内容：讨论重力场中具有自由面的水波运动（水表 面波、水波或重力波），重点讲述线性简谐波的数学描 述、运动特性和能量概念。为研究非线性波打下基础。
波动的物理本质： 恢复力与惯性力的动态平衡。
INTRODUCTION 工程中常见的波： 声波(sound wave): 微弱压缩波 激波(shock wave): 有限强度压缩波 水波(water wave): 水表面波（g） 内波(internal wave)：密度分层 毛细波(capillary wave): 表面张力(ripple) 海波： 潮汐波(tidal 0.5 day)：太阳和月亮引力 地震津波(tsunami 风波(wind wave
2 2 x 2 z 2 0, ( z 0) 2 , ( z 0) z g ( z h) 0, z
z
波动初相位 波动圆频率
B
( x, z) X ( x)Z ( z)
分离变量
o

x
B’
x x 0 2
ch k ( z 0 h) a sh kh
2
z z 0 2
sh k ( z 0 h) a sh kh
2
1
轨迹曲线
浅水波—长轴一定,短轴线性减小 有限深— 椭圆中心 ( x0 , z0 ) — 无限深— 等角速圆周运动
•海洋工程（Ocean Engineering) •海上钻井平台、海工结构物、海底管线、岸堤坝和港口设计； •海浪发电。 •船舶工程(Naval Architecture) •兴波理论（wave making,）、兴波阻力（wave resistance） •船舶摇摆（seakeeping）、抨击（slamming）、武器出入水 •船舶操纵（ship manoeuvering） •水利工程(Hydraulic Engineering) •水坝设计、明渠流动、河流动力学（川流、水跃）
浅水波（shallow water wave ）：
h 1, a 1 h

e kz sin(kx t )

2 h
色 散 波
kh

0
gk h
2 2
c
gh

非 色 散 波
波越长，则跑得越快， 周期越长
海洋中的潮汐波与河流中的 水跃（水库泻水）均属于长波， 这时流体质点运动的垂向速度与 水平速度相比是个小量。
0, z ( z h) （底面水平）
2
自由面运动学条件 F z ( x, y, t ) 0
DF F v F 0 Dt t
z z z , (z z ) z t x x y y
3
自由面动力学条件 p p0 const
a 1 h
a h(x,y)
o
1
( z 0) ( z 0)
z t z 1 z g t
p p0
或
2 g 0 ( z 0 ) t 2 z 1 z ( z 0) g t
1基本方程1底面不可穿透0?z??nyxh?0yxhzf0yxhzzyhyxhx????????????????0hzz??底面水平2自由面运动学条件0??tyxzf?f???y???x???z??????zyxt0???ftdtdfv3自由面动力学条件constpp0g??02021ppt?v211g???????????????ztp?tyx6
p p0 1 2 v gz 0 t 2
1 1 z , ( z z ) g t 2

z ( x, y , t )
p
求解困难
自由面条件的线性化（微幅波）：
假定
1 2
z
z = z(x,y,t) x
a

1
h

6.3.2
质点运动速度和轨迹
u dx ch k ( z h) a cos(kx t ) x dt sh kh dz sh k ( z h) w a sin(kx t ) z dt sh kh
质点运动速度：
流体质点作简谐运动（不传播）；质点速度随深度以指数递减。