2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.2.2 第1课时 Word版含解析

第一章 1.2 1.2.2 第1课时
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若C x 6＝C 26，则x 的值为导学号 51124153( C )
A ．2
B ．4
C ．4或2
D ．3
[解析] 由组合数性质知x ＝2或x ＝6－2＝4，故选C ．
2．(陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为导学号 51124154( C )
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
[解析] 如图，基本事件共有C 25＝10个，小于正方形边长的事件有OA 、OB 、OC 、OD 共4个，
∴P ＝1－4
10＝35
. 3．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为导学号 51124155( C )
A ．120
B ．84
C ．52
D ．48 [解析] 间接法：C 38－C 34＝52种．
4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆导学号 51124156( A )
A ．220个
B ．210个
C ．200个
D ．1320个 [解析] C 312＝220，故选A ．
5．(2016·潍坊高二检测)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有导学号 51124157( D )
A ．A 45种
B ．45种
C ．54种
D ．C 45种
[解析] 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．
6．(2016·佛山高二检测)将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有导学号 51124158( B )
A ．12种
B ．18种
C ．36种
D ．54种
[解析] 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32
＝18种． 二、填空题
7．A ，B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有__10__种(用数字作答).
导学号 51124159
[解析] 根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向上或向右行走即可，
分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，
从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，
则有C 35＝10种不同的走法，故答案为10.
8．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n ＝__91__.导学号 51124160
[解析] ∵C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，∴2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，
∴2×错误!＝错误!＋错误!
整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝14，n ＝7(舍去)，
则C 1214＝C 214＝91.
9．对所有满足1≤m <n ≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋y 2C
m
n ＝1所表示的不同椭圆的个数为__6__.导学号 51124161
[解析] ∵1≤m <n ≤5，所以C m n 可以是C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45，其中C 1 3＝C 23，C 14＝C 34，C 15＝C 45，C 25＝C 35，∴方程x 2＋C m n y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．
三、解答题
10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，导学号 51124162
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？
[解析] (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1
＝45(条)， 即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有
A 210＝10×9＝90(条)，
即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝120(个)．
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2015·广东理，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为导学号 51124163( B )
A ．521
B ．1021
C ．1121
D ．1
[解析] 从袋中任取 2个球共有 C 215＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有C 10C 15＝50种，所以恰
好1个白球1个红球的概率为P ＝50
105＝1021
，故选B ． 2．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有导学号 51124164( D )
A ．18对
B ．24对
C ．30对
D ．36对 [解析] 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对．
二、填空题
3．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有__144__种(用数字作答).导学号 51124165
[解析] 先从四个小球中取两个放在一起，有C 24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A 34种不同的放法，据分步计数原理，共有C 24·A 34＝144种不同的放法．
4．一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，则不同熄灯方法有__35__种. 导学号 51124166
[解析] 记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C 47＝35种．
三、解答题
5．(2016·遵义高二检测)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某地.导学号 51124167
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
[解析] (1)利用分步乘法计数原理得C 35C 24＝60种．
(2)利用分类加法与分步乘法计数原理C 25C 34＋C 35C 24＋C 45C 14＋C 5C 04＝121种．
6．已知⎩⎪⎨⎪⎧ Cx n ＝C2x n ，Cx ＋1n ＝113Cx －1n ，试求x 和n 的值.导学号 51124168
[解析] 由C x n ＝C 2x n 得x ＝2x 或x ＋2x ＝n ，
即x ＝0或n ＝3x ，
显然x ＝0时C x －1n 无意义，
把n ＝3x 代入C x ＋1n ＝113C x －1n 得C x ＋13x ＝113
C x －13x ，即 错误!＝错误!·错误!
∴1
x ＋1
＝错误!，解得x ＝5.∴n ＝15. C 级 能力拔高
化简m ！＋错误!＋错误!＋…＋错误!.错误!
[解析] 原式＝m ！×(1＋C 1m ＋1＋C 2m ＋2＋…＋C n m ＋n )
＝m！×(C0m＋1＋C1m＋1＋C2m＋2＋…＋C m n＋m) ＝m！×(C1m＋2＋C2m＋2＋…＋C n m＋n)
＝m！×(C2m＋3＋C3m＋3＋…＋C n m＋n)
＝……
＝m！×C n m＋n＋1＝错误!。