【2022年上海市初中一模数学卷】2022年上海市杨浦区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

2021学年度第一学期初三期末质量检测
数 学 学 科 2022.1
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、
本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步
骤．
一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．将函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像向下平移2个单位，下列结论中，正确的是
（A ）开口方向不变； （B ）顶点不变； （C ）与x 轴的交点不变； （D ）与y 轴的交点不变． 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果A α∠=，AC =1，那么AB 等于 （A ）sin α；
（B ）cos α；
（C ）
1
sin α
； （D ）
1
cos α
． 3．已知1e 和2e
都是单位向量，下列结论中，正确的是
（A ）12e e = ； （B ）120e e −= ； （C ）122e e +=
； （D ）122e e +=
． 4．已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中，正确的是 （A
）
PB AP = （B
）PB AB =； （C
）AP AB =； （D
）AP PB =． 5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点E 、F ，下列结论中， 错误的是 （A ）
AE OE
FC OF
=； （B ）
AE BF
DE FC
=； （C ）
AD OE
BC OF
=； （D ）
AD BC
DE BF
=． 6．如图，点F 是△ABC 的角平分线AG 的中点，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，线段DE 过点F ， 且∠ADE =∠C ，下列结论中，错误的是
（A ）1
2
DF GC =； （B ）
1
2
DE BC =； （C ）
1
2
AE AB =； （D ）
1
2
AD BD =.
D
第6题图
A
E F
G
B
第5题图
F
E O
D
C
B
A
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知
34
y x =，那么x y
x −= ．
8．2cos 45tan 30sin 60°−°⋅°= ．
9．已知抛物线23y x =+，它与y 轴的交点坐标为 ． 10．二次函数24y x x =−图像上的最低点的纵坐标为 ．
11．已知a
的长度为2，b 的长度为4，且b 和a 方向相反，用向量a 表示向量b = ．
12．如果两个相似三角形对应边之比是4∶9，那么它们的周长之比等于 ． 13．已知在△ABC 中，AB =10，BC =16，∠B =60°，那么AC = ．
14．已知在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点G 是△ABC 的重心，那么点G 到斜边AB 的距离是 ． 15．在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为
1.8米，那么这根旗杆的高度为 米．
16．如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30°方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于 海里．
17．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt △ABC 为“格线三角形”，且∠BAC =90°，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为 ． 18．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，5
tan 12
A =
，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后得△ADE ，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，联结BE 、CD ，作∠CAD 的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AM
AN
的值为 .
第18题图
C
B
A
α
a b c
第17题图
C
B
A
C
A
30° B
60°
第16题图
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
如图，已知在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，
DE BC ∥，且2
3
DE BC =
． （1）如果6AC =，求AE 的长；
（2）设AB a = ，AC b =
，试用a 、b 的线性组合表示向量DE .
20．
（本题满分10分，每小题各5分） 已知二次函数2245y x x =−+.
（1）用配方法把二次函数2245y x x =−+化为()2
y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方
向、对称轴和顶点坐标；
（2）如果将该函数图像沿y 轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
顶点为C ，求△ABC 的面积．
21．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，已知在ABC △中，CD ⊥AB ，垂足为点D ，AD =2，BD =6，tan ∠B =2
3
，点E 是边BC 的中点. （1）求边AC 的长； （2）求∠EAB 的正弦值.
22．
（本题满分10分） 如图，为了测量建筑物AB 的高度，先从与建筑物AB 的底部B 点水平相距100米的点C 处出发，沿斜坡CD 行走至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度i ＝1：3，坡顶D 到BC 的距离DE =20米，在点D 处测得建筑物顶端A 点的仰角为50°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB 的高度（结
果精确到1米）.（参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；
A
B
C
D
E 第19题图
第22题图
第21题图
A
D
B
E
C
23．（本题满分12分，每小题各6分）
已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠BCD ，点E 在边BC
上， AE ∥CD ，DE ∥AB ，过点
C 作CF //A
D ，交线段A
E 于点
F ，联结BF . （1）求证：△ABF ≌△EAD ；
（2）如果射线BF 经过点D ，求证：2BE EC BC =⋅.
24．
（本题满分12分，每小题各4分） 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21
2y x bx c =−++与x 轴交于点A 0（-1，）和点B ，与y 轴交于点C
02（，），点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结AP 、BC ，AP 与线段BC 相交于点F ． （1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P （3）过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为点G ，PG 与线段BC 交于点H ，
如果PF=PH ，求线段PH 的长度．
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =5，点D 为射线AB 上一动点，且BD<AD ，点B 关于直线CD 的对称点为点E ，射线AE 与射线CD 交于点F . （1）当点D 在边AB 上时，
①求证：∠AFC =45°；
②延长AF 与边CB 的延长线相交于点G ，如果△EBG 与△BDC 相似，求线段BD 的长； （2）联结CE 、BE ，如果12ACE S = ，求ABE S 的值.
第24题图 备用图
A
B
C
F
A
D
B
E
第23题图 第25题图
F
参考答案
二、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1． A ； 2. D ； 3. C ； 4. C ； 5. B ； 6. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．1
4
；
8．0； 9．03（，）； 10．－4
； 11．2a −
； 12．4∶9；
13．14；
14．8
5
； 15．15； 16．； 17．3； 18．23.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：∵DE //BC ， ∴
AE DE
AC BC
=
. （3分） 又∵AC =6，2
3DE BC =， ∴263
AE =. ∴4AE =. ·············································
（3分） （2）2233
DE b a =−
. ··················································································
（4分） 20．解：
（1）222
2452213213y x x x x x =−+=−++=−+（）（）. ······························ （2分）
∵a =2>0，∴开口向上；对称轴：直线x =1；顶点（1，3）. （3分） （2）∵函数图像沿y 轴向下平移5个单位后解析式是：
224y x x =−.
（1分）
∴新抛物线与x 轴正半轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B （0，0），顶点为C （1，-2）． （3分）
∴△ABC 的面积=1
2222
××=
. （1分）
21．解：（1）∵CD ⊥AB ，∴∠BDC =90°. ∴在Rt △BDC 中，2
tan 3
CD B BD ∠==
. （1分） 又∵BD =6，.∴
2
63
CD =.∴CD=4.
（2分）
在Rt △ACD 中，2
22AC CD AD =+，∴AC
（2分）
（2）过E 作EF ⊥AB ，垂足为点F . ∵EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴EF//CD.
又∵点E 是边BC 的中点，∴点F 是BD 的中点.
（1分）
∴1
2
EF CD =
. （1分） ∴2EF =.
（1分）
∴AF=AD+DF =235+=.
在Rt △AEF 中，222AE EF AF =+，∴AE =
. （1分）
sin
EF EAB AE ∠=
.
（1分）
22．解：在Rt △CDE 中，斜坡CD 的坡度i ＝=1：3，∴
1
3
DE CE =. （1分） ∵DE =20米，∴CE =60米. ··············································································· （1分） 又∵BC =100米，∴BE =40米. ·········································································· （1分） 过D 作DH ⊥AB ，垂足为点H . ········································································· （1分） ∴DH=EB =40米；BH=DE =20米. ·····································································
（1分） 在Rt △ADH 中，tan AH
ADH DH
∠=， ·································································
（1分） ∴40tan 5040 1.1947.6AH
=×°=×=. ···························································· （1分） ∴AB =AH +BH =47.6+20=67.6≈68. ······································································ （2分） 答：建筑物AB 的高度约为68米. ······································································ （1分） 23．证明：（1）∵AE //CD ，∴∠AEB =∠BCD . ·····················································
（1分） ∵∠ABC =∠BCD ，∴∠ABC =∠AEB .∴AB =AE . ···························································· （1分）
同理DE =DC .
∵AE //CD ，CF //AD ，∴.四边形AFCD 是平行四边形. ··································· （1分） ∴AF=DC . ∴AF=DE . ············································································· （1分） ∵DE //AB ，∴∠BAF =∠AED . ································································ （1分） ∴△ABF ≌△EAD . ················································································ （1分） （2）∵△ABF ≌△EAD ，∴∠ABF =∠DAE ，BF =AD . ············································ （2分） 又∵∠ADF =∠BDA ，∴△DAF ∽△DBA. ············································································ （1分） ∴
AD DF
BD AD
. ···························································································· （1分）
又∵BF =AD ，∴BF DF
BD BF
. ∵AE //CD ，∴BF BE DF EC
BD BC BF BE
，
. ······························································ （1分） ∴BE EC BC BE
.∴2BE EC BC =⋅. ········································································ （1分）
24.解：（1）∵抛物线21
2
y x bx c =−++与x 轴交于点A
0（-1，），与y 轴交于点C （0，2） ∴1022.b c c −−+= = ， （2分） ∴322.
b c
= = ，
（1分） ∴213222y x x =−++.
（1分）
（2）∵抛物线的对称轴与BC 交于点E ，
∵EA=EB ，∴∠EAB =∠EBA . 在Rt △BOC 中，1tan 2OC EBA OB ∠=
=，∴1
tan 2
EAB ∠=. （1分）
∵点F 与点E 重合，∴∠EAB =∠P AB .
∵点P 在抛物线213222y x x =−++上，∴设点P 213
222m m m −++（，）
. （1分）
∴PG =213
222
m m −++，则AG =m +1.
在Rt △P AG 中，1tan 2PG PAG AG ∠=
=，∴213
2
12212m m m −++=+. （1分） 解得1213m m =−=(舍），．∴点P 的坐标是（3，2）.
（1分）
（3）设直线AP 与y 轴相交于点Q . ∵CQ //PH ，∴
CQ QF
PH PF
=.∵PF=PH ，∴CQ =FQ . ∴∠FCQ =∠CFQ . ∵213
222y x x =−++与x 轴交于点A
0（-1，）、B 0（4，），与y 轴交于点C （0，2），
∴5AC BC AB =
.∴222AC BC AB +=.∴∠ACB =90°.
∴∠ACQ+∠FCQ =90°，∠CAQ+∠CFQ=90°，∴∠ACQ =∠CAQ .∴CQ =AQ . ∴FQ =AQ.
（1分）
过F 作FK ⊥x 轴，垂足为点K .
∵CQ //FK ，∴
OA AQ
OK FQ
=.∴OA=OK =1. ∴32FK =.
在Rt △AEK 中，4
tan 3
AK AFK FK ∠=
=. （1分）
∵FK //PG ，∴∠AFK =∠APG . 在Rt △P AG 中，4
tan 3AG APG PG ∠=
=，∴
214133222
m m m +=−++. 解得125
12
m m =−=
(舍），．∴点P 的坐标是52128（，）.
（1分）
∵PG ⊥x 轴，∴点H 的坐标是53
24
（，）
. ∴15
8
PH =. （1分）
25．解：（1）联结CE 、BE.
∵点B 关于直线CD 的对称点为点E ，∴CF 垂直平分BE . （1分） ∴EC =BC .∴∠ECF=∠BCF .
（1分）
设∠ECF=∠BCF=α，∵∠ACB =90°，∴∠ACE=90°-2α. ∵AC =BC ，∴AC =EC . ∴∠CAE=∠CEA=
1801809024522
ACE αα°−∠°−°−==°+（）
. （1分） ∵∠CEA=∠ECF+∠AFC ，∴∠AFC=∠CEA -∠ECF=45°+α-α=45°.
（1分）
（2）∵∠ECF=∠BCF=α，∴∠CEB=90°-α.
∵∠AEB=∠AEC+∠CEB ，∴∠AEB =（45°+α）+（90°-α）=135°. ∴∠BEG =45°
在Rt △ABC 中，∵AC =BC ，∴∠BAC=∠ABC . ∵∠ACB =90°∴∠BAC=∠ABC=45°. ∴∠BEG=∠ABC=45°
（1分） ∵∠EBG>∠BCD ，∴当△EBG 与△BDC 相似时，只有∠BGE =∠BCD .
（1分）
∵∠AFC=∠BCD+∠BGE =45°，∴∠BCD=∠BGE =22.5°. ∴∠ACD=90°-∠BCD =67.5°.
又∵∠ADC=∠BCD+∠ABC =67.5°，∴∠ACD=∠ADC =67.5°. （1分）
∴AD=AC=5. ∴5BD AB AD =−=.
（1分）
（3）i ）当点D 在边AB 上时，过E 作EH AC EK BC H K ⊥⊥，，垂足分别为点、.
在△ACE 中，12
ACE
S AC EH =⋅ .又∵
125ACE S AC == ，，∴24
5EH =. （1分）
在Rt △CEH 中，222CH EH CE +=，∴7
5
CH =. （1分）
∴718
555
AH AC CH =−=−=.
在Rt △AEH 中，222AH EH AE +=，∴6AE =.
在Rt △BEK 中，222EK BK BE +=，∴BE .
在Rt △BEF 中，sin BF BEG BE
∠=，∴sin 451BF
BE =⋅°=. ∴11
61322
ABE S AE BF =⋅=××= . （2分）
ii ）当点D 在边AB 的延长线上时，同理可得4ABE S = . （2分）。