必修四和必修五测试题

德化一中高一第二学期期末质量检查数学试卷参考解答及评分标准
(满分：150分；完卷时间：120分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、=︒600sin （ D ） (A)
21 (B)2
1
- (C)23 (D)23-
2、已知
{}n a 为等差数列，且有23101148a a a a +++=，则67a a +=（ B ）
(A) 28 (B) 24 (C)20 (D) 16 3、角α的始边在x 轴正半轴、终边过点P （3,4）,则sin α的值为 （ ） (A)
34 (B)43 (C) 35 (D) 4
5
4、已知函数
)2tan(ϕ+=x y 的图象经过点(,0)12
π
，则ϕ可以是（ A ） (A)6π- (B)6
π
(C)12π- (D)12π
5、若0,1<>>c b a ，则（ C ）
（A ）bc ac >（B ）c bc > (C) c b c a > (D)
c
b
c a > 6、等差数列
{}n a 中,10a >,若其前n 项和为n S ,且有148S S =,那么当n S 取最大值时,n 的值为( D )
(A) 8 (B). 9 (C)10 (D) 11
7、已知1)(2
-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则实数a 的取值范围是（ C ） （A ）04<<-a （B ）04<≤-a (C) 04≤<-a (D) 04≤≤-a 8、下列函数的最小值为2的是 （ D ） （A ）x x y 1+
= （B ）)2
0(sin 1sin π<<+=x x x y (C) 2
1222++
+=x x y
(D) )2
0(tan 1tan π
<<+
=x x x y 9、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ， 若4,184==S S ，则=+++16151413a a a a （ C ）．
(A) 7
(B)16
(C)27
(D) 64
10、ABC ∆中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则ABC ∆必是（ C ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形或直角三角形 （D ）等腰直角三角形 11、已知函数
sin(),(0,0,)y A x A ωφωφπ=+>><的图象如下图所示，
则该函数的解析式是 （ C ）
（A ）)672sin(2π
+=x y
（B ）)6
772sin(2π
+-=x y
（C ）)62sin(2π
+=x y
（D ）
)6
2sin(2π
-=x y
12、已知O 是ABC ∆所在平面上一点,
满足2
2
2
2
||||||||OA BC OB CA +=+, 则点O ( A )
(A)在与边AB 垂直的直线上 (B)在A ∠的平分线所在直线上 (C)在边AB 的中线所在直线上 (D)以上都不对
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（填空题和解答题写在答题纸上） 13、
26cos 34cos 26sin 34sin -= 2
1
-
14、已知⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤-≤+-0
,052222y x y x y x y x ，则y x +-的最大值是 3
15、已知直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A(a ，0)，B （0，b ）两点，且满足11
2=+b
a ，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为 4 。

16、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖__24+n ______块.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、(本小题满分12分) 已知1
sin 3
a
=-
，且a 为第三象限角. (Ⅰ)求sin 2α的值;(Ⅱ)求
2
sin(2)cos(2)
sin ()
2
αππαπ
α-⋅-+的值
解：
1
sin 3
a =-
,且a 为第三象限角. 22
cos 3
α∴=- ……………………………3分
(Ⅰ)42
sin 22sin cos .9
ααα== ……………………………7分 (Ⅱ)原式=2
tan .4
α=
---------------------------------------------------------------------12分 18、(本小题满分12分)
x
y
2 1
-2
如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11
,33
BM BC CN CD =
=，试用,a b 表示,,OM ON MN 。

解：b a OB OA OC ON CD CN
3
2
32)(3234,31+=+==∴= ----------------4分 11
,,
36
1
()615
866
BM BC BM BA OM OB BM OB OA OB a b =∴=∴=+=+-=+---------------------------------分---------------------------------8分
b a OM ON MN 6
1
21-=-=∴----------------------------------------12分
19、（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2111,33a S ==.
(1)求
{}n a 的通项公式；
(2)设1
()4
n a n
b =，求证：{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T 。

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，2
)
(1110211a a S +=
510=∴a ，又d a a 8210+=，2
1
,211==∴a d
2
n
a n =∴----------------------------------------------------------------------------------------6分
由（1）得n
a n n
b )21()41(==--------------------------------------------------------7分
)2(2
1)2
1()21(11≥==∴
--n b b n n n n ----------------------------------------------------------9分 的等比数列
为首项，公比为是以数列21
21}{n b ∴--------------------------10分 n
n T )2
1(1-=∴---------------------------------------------------------------------------12分
20、（本小题满分12分） 已知数列
{}n a ，{}n b 分别为等差、等比数列，且11,0,a d =>2253,,a b a b ==
144()a b n N *=∈.
（I ）求
{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列
{}n c 的前n 项和。

解：（1）d a d a d a 131,41,11452+=+=+= ， 又11,0,a d =>2253,,a b a b ==144()a b n N *
=∈
13-=∴n n b -------------------------------------------------5分
由（1）得n n n c a b =⋅=1
3)12(--n n ------------------------6分
设数列
{}n c 的前n 项和为n S ，则
n n n n n S 3)12(3)32(333131
2
1
-+-++⨯+⨯=- -------------7分
------------------------------11分
13)1(+-=∴n n n S --------------------12分
21、(本小题满分12分)
已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10海里，小船甲从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线
向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动 （Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？ （Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东
方向？若可
能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由。

解：（Ⅰ）经过1小时后，甲船到达M 点，乙船到达N 点，
||1028AM =-=，||2AN =，060MAN ∠=，
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
∴2220||||||2||||cos60MN AM AN AM AN =+-1
644282522
=+-⨯⨯⨯=， ∴||213MN =．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
A 岛
B 岛
北
E
F
（Ⅱ）设经过t （05t <<）小时小船甲处于小船乙的正东方向．
则甲船与A 距离为||102AE t =-海里，乙船与A 距离为||2AF t =海里，060EAF ∠=，045EFA ∠=， ┅┅┅6分 则由正弦定理得00
||||
sin 45sin 75AE AF =
， 即
2102sin 45sin 75t t
-=， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 0
0010sin 452sin 752sin 45t =
+10533
=<+．┅┅┅┅┅┅┅┅11分 答：经过10
33
+小时小船甲处于小船乙的正东方向．┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
22．(本小题满分12分)
已知(2cos ,3sin ),(cos ,2cos ),()n x x m x x f x n m a ===⋅+设．
(1)若[0,
]2
x π
∈且a =l 时，求()f x 的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x 的值；
(2)若[0,]x π∈且1a =-时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12、x x ，求b 的取值范围及12
x x +的值．
解：
a x x x a m n x f ++=+⋅=cos sin 32cos 2)(21)6
2sin(2+++=a x π
------------3分
当[0,]2
x π∈且a =l 时，67626π
ππ≤+≤x ------------------4分
;4)(6262max ===+∴x f x x 时，即当π
ππ------------------------6分
.1)(,2
6762min ===+x f x x 时即当π
ππ-----------------8分
当[0,]x π∈且1a =-时)6
2sin(2)(π
+=x x f ，且1)()0(==πf f ------9分
而6
13626πππ≤+≤x ，
∴要使方程()f x b =有两个不相等的实数根12、x x ，须满足122≠<<-b b 且----12分
又对称或关于直线与3
26
21π
π
=
=
x x x x -------------------------------13分 3
43
21π
π
或
=
+∴x x -------------------------------------------------14分。