2017-2018学年高中数学选修4-2教学案：2-2 2-2-4 旋转

2．2.4 旋转变换
[对应学生用书P14]
1．旋转变换
将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换．其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角．
2．旋转变换矩阵 像⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．
[对应学生用书P14]
[例1] 在直角坐标系xOy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．
(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象A ′.
[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x cos 135°－y sin 135°y ′＝x sin 135°＋y cos 135°，该变换对应的矩阵为： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos 135° －sin 135°sin 135° cos 135°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22 －2
2 22 －2
2. (2)由(1)知，当x ＝4，y ＝8时， x ′＝－62，
y ′＝－22，
所以点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象为 A ′(－62，－22)．
由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ是解决这类问题的关键．逆时针
旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．
1．求出△ABC 分别在M 1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，M 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 －11 0，M 3
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22 －2222 2
2对应的变换作用下的图形这里A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)．
解析：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1，－1)． 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(0,2)，C →C ″(－1,1)． 在M 3下，A →A (0,0)，
B →B (2，2)，
C →C (0，2)． 图形分别为
2．在直角坐标系xOy 内，将每个点绕坐标原点O 按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A (－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A ′的坐标．
解：由题意得旋转变换矩阵为
⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (－60°
) －sin (－60°)sin (－60°) cos (－60°)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 3
2－32 1
2， 故对应的坐标变换公式为⎩⎨
⎧
x ′＝12x ＋32
y y ′＝－32x ＋1
2
y .
令x ＝－1，y ＝0得⎩⎨⎧
x ′＝－
12
y ′＝3
2
.
所以所求的点A ′的坐标为⎝⎛⎭
⎫－12，3
2.
[例2] 已知曲线C ：x 2＋y 2＝2，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C ′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程． [精解详析] 旋转变换对应的矩阵 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12
－3
232 1
2， 设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意的一点，它在矩阵M 对应的变换作用下变为P ′(x ′
0，y ′
0)． 则有⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12 －3
232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′
0y ′
， 故⎩⎨⎧
x 0＝12
(x ′0＋3y ′
0)，
y 0
＝1
2(y
′
0－3x ′
0).
因为点P (x 0，y 0)在曲线C ：x 2＋y 2＝2上，
所以x 20＋y 2
0＝2，
即 ⎣⎡⎦⎤12(x ′0＋3y ′0)2＋⎣⎡⎦
⎤12(y ′0－3x ′
0)2＝2， ∴x ′
20＋y ′
2
＝2.
从而曲线C ′的方程为x 2＋y 2＝2.
理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C 是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．
3．将双曲线C ：x 2－y 2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程．
解：根据题意，得旋转变换矩阵
M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22 －2
222 2
2， 任意选取双曲线x 2－y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在变换作用下变为P ′(x ，y )，
则有⎩⎨
⎧
x ＝22x 0
－22y 0
，y ＝22x 0
＋22y 0
，
那么⎩⎨
⎧
x 0＝22(x ＋y )，y 0
＝22(y －x )，
又因为点P 在曲线x 2－y 2＝1上，
所以x 20－y 2
0＝1，
即有12(x ＋y )2－1
2(y －x )2＝1，
整理可得2xy ＝1，
所以所求C ′的方程为xy ＝12
.
4．已知椭圆Γ：x 24＋y 2
3＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示
意图．
解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－
2,0)，B (0，－3)，C (2,0)，D (0，3)(如图所示)．
因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 0－2，
⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3 0， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3 0. 故点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－2)，B ′(3，0)，C ′(0,2)，D ′(－3，0)，从而椭圆曲线Γ：x 24＋y 2
3＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ ′：
x 23＋y 2
4
＝1.
[对应学生用书P15]
1．若点A ⎝⎛⎭⎫22，22在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α. 解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2
222＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
10， 得⎩⎨
⎧
22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22
cos α＝0.
∴⎩⎨
⎧ sin ⎝⎛⎭⎫α－π
4＝－1，sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝0.
∴⎩⎨⎧ α－π
4＝－π2＋2k π，α＋π
4＝k π.(k ∈Z )
∴⎩⎨⎧
α＝－π
4
＋2k π，
α＝－π
4＋k π.
(k ∈Z )
∴α＝－π
4
＋2k π(k ∈Z )．
2．设点P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π
3的旋转变换，求旋转变换T 对应
的矩阵A ，并求点P 在旋转变换T 作用下得到的点P ′的坐标．
解：由题意知旋转变换矩阵
A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π3 －sin π
3
sin π3 cos π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12 －3232 1
2 设P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′ ∴⎩⎨⎧
x ′＝1
2＋3，
y ′＝3
2
－1.即P ′⎝⎛⎭
⎫12＋3，3
2－1.
3．已知曲线C ：xy ＝1.
(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C ′的焦点坐标和渐近线的方程． 解：(1)由题设知，
M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－2
222 2
2. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22－2222 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22
x －22y 22x ＋2
2y ， 得⎩⎨
⎧
x ′＝22(x －y )，
y ′＝2
2
(x ＋y )，解得⎩⎨
⎧
x ＝22(x ′＋y ′)，
y ＝22(y ′－x ′)，
代入xy ＝1，
得曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.
(2)由(1)知曲线C ′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y ＝±x . 4．求直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转π
6
后所得的直线的方程．
解：直线y ＝3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的倾斜角为π
2，故所
求的直线方程为x ＝0.
5．将抛物线E ：y 2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E ′.求曲线E ′的焦点坐标和准线方程．
解：已知抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程l ：x ＝－1.旋转变换对应的矩阵
为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12 －3232 12.
设点P (x ，y )为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P ′(x ′，y ′)，∴⎩⎨⎧
x ′＝12x －32
y ，y ′＝32x ＋12
y ，(1)
将x ＝1，y ＝0代入(1)式得⎩⎨⎧
x ′＝1
2，y ′＝3
2
.
由(1)消去y ，并将x ＝－1代入，得x ′＋3y ′＝－2.
∴曲线E ′仍为抛物线，它的焦点坐标F ′⎝⎛⎭⎫12，3
2，准线方程l ′：x ＋3y ＋2＝0.
6．已知椭圆x 24＋y 23＝1经过矩阵M 对应的变换作用下变为椭圆x 23＋y 2
4＝1，求变换矩阵
M .
解：将椭圆x 24＋y 23＝1变换为椭圆x 23＋y 2
4＝1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于原点
成中心反射或关于直线y ＝x 与y ＝－x 成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90°)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M 可以是⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
0 11
0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0或⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 0 1－1
0等．
7．已知椭圆C ：x 2＋y 2＋xy ＝3，将曲线C 绕原点O 顺时针旋转π
4，得到椭圆C ′.求：
(1)椭圆C ′的标准方程； (2)椭圆C 的焦点坐标．
解：(1)矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 22
22
－22 22， 设椭圆C 上的点P (x ，y )变换后为P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 22
2
2
－22
22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，
故⎩⎨
⎧
x ＝22(x ′－y ′)，y ＝22(x ′＋y ′).
代入x 2＋y 2＋xy ＝3中，
得12(x ′－y ′)2＋12(x ′＋y ′)2＋1
2(x ′2－y ′2)＝3. ∴椭圆C ′的方程为x 22＋y 2
6＝1.
(2)∵椭圆C ′的焦点坐标为(0，±2)，
∴椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，2)，F 2(2，－2)．
8．已知点A (3,4)，点A 绕原点逆时针旋转60°后得到的对应点为B ，求点B 的坐标，并求出线段OA 旋转过程中所扫描过的图形的面积．
解：由题意可得旋转变换矩阵为 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12
－3
232 1
2， 对应的坐标变换公式为⎩⎨
⎧
x ′＝12x －32
y ，y ′＝32x ＋1
2y ，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝12×3－3
2×4＝3－432，y ′＝32×3＋1
2×4＝33＋42，
即点B 的坐标为⎝
⎛⎪
⎫3－432，33＋42，
由于线段OA 旋转过程中所扫描过的图形是半径为OA ，圆心角为π
3的扇形，
而OA ＝32＋42＝5，
所以相应的面积为S ＝12×π3×52＝25
6π.。