高中数学必修一(人教版)《4.5.3 函数模型的应用》课件

D．2025年
解析：设从 2018 年起，再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产量超过 6 万件，根
据题意，得 2(1＋20%)n>6，即 1.2n>3，两边取对数，得 nlg 1.2>lg 3，∴n>lglg13.2＝
lg
lg 3 3－1＋2lg
2≈6.03，又
n
为整数，∴n
的最小值为
7，又
2
018＋7＝2
[典例 3] 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元 的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 y(单位：万元)随年产值 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同时奖金不超过年产值的 15%.
(1)若某企业年产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数 y＝lg x＋kx ＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知 lg 2≈0.3， lg 5≈0.7)．
分段函数模型
y＝b·ax＋c
y＝mlogax＋n y＝axn＋b
y＝fgxx，，xx<≥mm，
a＞0 且 a≠1 b≠0，
a＞0 且 a≠1， m≠0
a≠0，n≠1
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．
()
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．
2 2 a.
(1)求 p%的值．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)由题意得 a(1－p%)10＝a2， 故今后最多还能砍伐15年．
[方法技巧] 在 实 际 问 题 的 应 用 中 ， 常 见 的 增 长 率 问 题 的 解 析 式 可 以 表 示 为 y ＝ N(1 ＋ p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商 品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营 者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大 纯利润(结果精确到0.1万元)．
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图 所示．
由参考数据得 v≈1 000×5.3＝5 300 m/s，
∴当总质比为 200 时，A 型火箭的最大速度约为 5 300 m/s.
(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为 1 500 m/s，
总质比变为3Mm，要使火箭的最大速度至少增加
500
m/s，则需
1
500·ln3Mm－1
()
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意
义了．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3
4
利润/千元 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的
A．y＝log2x C．y＝x2
解：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得 v＝12log38110000－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度为 1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是 0， 可得 0＝12log31x00－lg 5， 即 log31x00＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得 x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为 466 个单位．
解：(1)根据题意，得45p0＝p0e－k，∴e－k＝45，∴p(t)＝p045t. (2)由 p(t)＝p045t≤1 0100p0，得45t≤10－3，两边取对数并整理得 t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30. 因此，至少还需过滤 30 个小时．
题型二 对数函数模型 【学透用活】
[典例 2] 近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取 得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用 公式 v＝v0·lnMm计算火箭的最大速度 v m/s，其中 v0 m/s 是喷流相对速度，m kg 是火箭(除推进剂外)的质量，M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质 比”，已知 A 型火箭的喷流相对速度为 1 000 m/s.
[方法技巧]对数函数应用题的类型及求解策略 基本 有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式， 类型 然后根据实际问题求解
首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出 求解
具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后 策略
根据数值回答其实际意义
【对点练清】 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发 现候鸟的飞行速度可以表示为函数 v＝12log31x00－lg x0，单位是 km/min，其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0 代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏 差(参考数据：lg 2≈0.30,31.2≈3.74，31.4＝4.66)． (1)当 x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为 8 100 个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当 x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为 2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为 1.5 km/min，则 此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
025，∴从
2025 年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过 6 万件．故选 D. 答案：D
题型一 指数函数模型
【学透用活】
[典例 1] 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每
年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为a2.为保护生态环境，所剩森林面积至
少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．[好题共享——选自苏教版新教材]在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义
为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台 (x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝ 500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
M 000·lnm
≥500，
化简，得 3ln3Mm－2lnMm≥1， ∴ln3Mm3－lnMm2≥1，整理得 ln2M7m≥1， ∴2M7m≥e，则Mm≥27×e， 由参考数据，知 2.718＜e＜2.719， ∴73.386＜27×e＜73.413， ∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为 74.
B．y＝2x D．y＝2x
解析：逐个检验可得答案为B.
答案：B
()
3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这
家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是(参考数据：lg 2≈0.301 0，
lg 3≈0.477 1)
()
A．2022年
B．2023年
C．2024年
(3)设雄鸟的耗氧量为 x1，雌鸟的耗氧量为 x2， 由题意得，2.5＝12log31x010－lg x0，
1.5＝12log31x020－lg x0， 两式相减可得 1＝12log3xx12，解得xx12＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是 雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
题型三 建立拟合函数模型解决实际问题 【学透用活】
4.5.3 函数模型的应用
明确目标
发展素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量 通过本节内容的学习，使
关系和规律的重要数学语言和工具． 学生认识函数模型的作用，
2.在实际情境中，会选择合适的函数模 提高数学建模、数学运算
型刻画现实问题的规律.
和数据分析素养.
(一)教材梳理填空 名称
一次函数模型
反比例函数模型
[对点练清] 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯 利润列成下表．
投资A种商品金额/万元 获纯利润/万元
投资B种商品金额/万元 获纯利润/万元
1
2
3
4
5
6
0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
1
2
3
4
5
6
0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
解析式 _y_＝__k_x_＋__b_
_y_＝__kx_＋__b__
条件 __k_≠__0__
__k_≠__0___
二次函数模型
一般式： _y＝___a_x_2＋__b_x_＋__c___
顶点式：y＝ax＋2ba2＋ 4ac－b2
4a
__a_≠__0___
续表 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
(1)当总质比为 200 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的
32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加 500 m/s，求在材
料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
ห้องสมุดไป่ตู้
参考数据：ln 200≈5.3,2.718＜e＜2.719. [解] (1)当总质比为 200 时，v＝1 000·ln 200，
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函 数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点 (1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行 模拟，如图②所示．
2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程 中，废气中的污染物含量 p(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：时)之间的 关系为 p(t)＝p0e－kt(式中的 e 为自然对数的底数，p0 为污染物的初始含量)．过 滤 1 小时后，检测发现污染物的含量减少了15. (1)求函数关系式 p(t)； (2)要使污染物的含量不超过初始值的1 0100，至少还需过滤几个小时？(参 考数据：lg 2≈0.3)
【对点练清】 1．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年
的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为________． 解析：设每年湖水量为上一年的 q%，则(q%)50＝0.9， 解得 q%＝ ，即 x 年后的湖水量为 ·m.
答案：y＝ ·m
[方法技巧] 函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数． (5)利用选取的拟合函数进行预测． (6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提 供依据．
(2)若采用函数 f(x)＝15xx＋－8a作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值．
[解] (1)对于函数模型 y＝lg x＋kx＋5(k 为常数)， x＝100 时，y＝9，代入解得 k＝510，所以 y＝lg x＋5x0＋5. 当 x∈[50,500]时，y＝lg x＋5x0＋5 是增函数，但 x＝50 时，y＝lg 50＋6>7.5， 即奖金不超过年产值的 15%不成立，故该函数模型不符合要求． (2)对于函数模型 f(x)＝15xx＋－8a＝15－12x0＋＋8a， a 为正整数，函数在[50,500]上递增． 由 f(x)min＝f(50)≥7，解得 a≤344； 要使 f(x)≤0.15x 对 x∈[50,500]恒成立，即 a≥－0.15x2＋13.8x 对 x∈[50,500] 恒成立，所以 a≥315.综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 315.
设 y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入， 得01..320＝＝4kk＋ ＋bb， ， 解得bk＝＝00..3， 所以 y＝0.3x. 设第七个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元，(12－x)万元，总利润为 W 万元， 则 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)， 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2. 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.6 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元． 故该经营者下个月把 12 万元中的 3 万元投资 A 种商品，9 万元投资 B 种商品，可 获得最大利润，约为 4.6 万元.