高考数学文科二轮复习 专题五第2讲椭圆双曲线抛物线的基本问题案

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2
为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33
C.23
D.13
解析 以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2
＝a ，整理为a 2＝3b 2
即b a ＝13.
∴e ＝c
a ＝a 2－
b 2a ＝
1－⎝⎛⎭⎫b a 2
＝
1－⎝⎛⎭
⎫132＝63.
答案 A
2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为
y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2
3＝1有公共焦点，则C 的方程为( )
A.x 28－y 2
10＝1 B.x 24－y 2
5＝1 C.x 25－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
3
＝1 解析 由题设知b a ＝5
2
，①
又由椭圆x 212＋y 2
3＝1与双曲线有公共焦点，
易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②
由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 2
5＝1.
答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于
点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.
解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .
由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝1
2|FO |＝1.
又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.
由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 6
4.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2
＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂
足为N ，点P 满足NP → ＝2NM →
. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP → ·PQ → ＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点
F .
(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，
则N (x 0，0)，NP → ＝(x －x 0，y )，NM →
＝(0，y 0)， 由NP → ＝2NM → 得x 0＝x ，y 0＝22y ， 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2
2＝1，
因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.
(2)证明 由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ → ＝(－3，t )，PF →
＝(－1－m ，－
n )，OQ → ·PF →
＝3＋3m －tn ，
OP → ＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )， 由OP → ·PQ →
＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，
又由(1)知m 2＋n 2＝2.故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ → ·PF → ＝0，即OQ → ⊥PF → ，
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
考 点 整 合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；
(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；
(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2
＝b 2
＋c 2
；离心率为e ＝c
a
＝
1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2
＝a 2
＋b 2
；离心率为e ＝c
a
＝
1＋b 2a
2.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).
②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a
b x ，焦点坐标F 1(0，－
c )，F 2(0，c ).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程x ＝－p
2. ②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长
抛物线y 2
＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2，弦
长|AB |＝x 1＋x 2＋p .
热点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐
近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 23
－y 2
＝1 D.x 2
－y 2
3
＝1
(2)(2017·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，∠ADC ＝60°，则点A 到抛物线的焦点的距离是________.
解析 (1)依题意知c ＝2，b
a ＝tan 60°＝3，又a 2＋
b 2＝
c 2＝4，解得a 2＝1，b 2＝3，
故双曲线方程为x 2
－y 2
3
＝1.
(2)由题意设A (x 1，1)，D (x 1＋3，2)， 所以1＝2px 1，4＝2p (x 1＋3)⇒p ＝
32，x 1＝33
， 所以点A 到抛物线的焦点的距离是x 1＋p 2＝33＋34＝73
12.
答案 (1)D (2)73
12
探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条
渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2
＝1 B.x 2
－y 2
4
＝1
C.3x 220－3y 2
5
＝1 D.3x 25－3y 2
20
＝1 (2)已知椭圆x 24＋y 2
2
＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2
的面积是________. 解析 (1)依题意得b a ＝1
2，①
又a 2＋b 2＝c 2＝5，② 联立①②得a ＝2，b ＝1. ∴所求双曲线的方程为x 24
－y 2
＝1.
(2)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.
又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，
所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝1
2×22×1＝ 2.
答案 (1)A (2) 2
热点二 圆锥曲线的几何性质
【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F
的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析 (1)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y
b ＝1，
即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意
|－bc |
b 2＋c
2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2
， 得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝1
2.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
a 2－y 2
b 2＝1，
x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2
a
2p ，
又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p
2，即y 1＋y 2＝p ，
∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝2
2. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x .
答案 (1)B (2)y ＝±2
2
x
探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或a
b 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式
分解得到.
【训练2】 (1)(2017·德州二模)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x
的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝( ) A.32 B.72
C.2
D.13
(2)(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的
直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 解析 (1)∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 不妨设点A 在点B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎫－1，－b a . ∴|AB |＝
2b
a
. 又S △AOB ＝12×1×2b
a
＝23，
∴b ＝23a ，则c ＝a 2＋b 2＝13a ， 因此双曲线的离心率e ＝c
a
＝13.
(2)取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，
又∠AOB ＝π
4，
∴b a ＝tan π
4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 (1)D (2)2 热点三 直线与圆锥曲线
命题角度1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |
；
(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 2
2p ，t ，
又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2
p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝p
t
x ，
将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2
p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2
p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH |
|ON |
＝2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t
p (y －t ).
代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，
即直线MH 与C 只有一个公共点，
所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.
探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.
2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后
的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.
【训练3】 (2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0).
(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
(2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标.
解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上， 得p
2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)当p ＝1时，曲线C ：y 2＝2x .
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0). 因为点P 和Q 关于直线l 对称， 所以直线l 垂直平分线段PQ ，
于是直线PQ 的斜率为－1，设其方程为y ＝－x ＋b .
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y 2＝2x ，
消去x 得y 2＋2y －2b ＝0. 因为P 和Q 是抛物线C 的两相异点，得y 1≠y 2. 从而Δ＝4－4×1×(－2b )＝8b ＋4>0.(*) 因此y 1＋y 2＝－2，所以y 0＝－1. 又M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 所以点M (1，－1)，此时b ＝0满足(*)式. 故线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1). 命题角度2 有关弦的中点、弦长问题
【例3－2】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离
心率e ＝
32
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 的斜率为1
2
，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.
解 (1)∵e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝3
4
，∴a 2＝4b 2.
又4a 2＋1
b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)设l 的方程为y ＝1
2x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩
⎨⎧y ＝1
2
x ＋m ，x 28＋y
22
＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，
判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4， 则|AB |＝
1＋1
4
×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5（4－m 2）， 点P 到直线l 的距离d ＝
|m |
1＋14
＝2|m |5. 因此S △P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |
5×5（4－m 2）
＝m 2
（4－m 2
）≤m 2＋（4－m 2）
2
＝2，
当且仅当m 2＝2时上式等号成立， 故△P AB 面积的最大值为2.
探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算. 2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
【训练4】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解 由题意可知F ⎝⎛⎭⎫12，0， 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，
且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 2
2，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－1
2，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12
，a ＋b 2.
(1)证明 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2， 所以k 1＝a －b 1＋a
2，k 2＝b
－12－12＝－b ，又因为ab ＋1＝0， 所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab
a ＝－
b ，
所以k 1＝k 2，即AR ∥FQ .
(2)解 设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝1
2|a －b |⎪⎪⎪⎪x 1－12， 又S △PQF ＝
|a －b |
2
， 所以由题意可得S △PQF ＝2S △ABF ， 即
|a －b |2＝2×12
·|a －b |·⎪⎪⎪⎪x 1－12， 解得x 1＝0(舍)或x 1＝1.
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).
当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).
又
2a ＋b ＝1
y
，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.
1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.
2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.
3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝c
a ；方法二：根据已知
条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c
a
.
4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，
此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导. 5.求中点弦的直线方程的常用方法
(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2
x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜
率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，
则k ＝( ) A.12 B.1 C.32
D.2
解析 因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0).
又因为PF ⊥x 轴，所以P (1，2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k >0)，即k
1＝2，所以k ＝2.
答案 D
2.(2017·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 2
2＝1 B.x 22＋y 2
＝1 C.x 24＋y 2
2
＝1 D.y 24＋x 2
2
＝1 解析 由题设知b ＝c ＝2，a ＝2， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
2＝1.
答案 C
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，
点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23
D.32
解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，
将x ＝2代入x 2
－y 2
3
＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.
又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝3
2.
答案 D
4.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得
的弦长为2，则C 的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2
D.233
解析 设双曲线的一条渐近线y ＝b
a x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为
22－12＝
|2b |
a 2＋
b 2
， 又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案 A
5.(2017·新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶
点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA → ＝2AF → ，且|BF →
|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 2
5＝1 B.x 28－y 2
12＝1 C.x 28－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
6
＝1 解析 设A (x ，y )，∵右焦点为F (c ，0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA → ＝2AF → ， ∴x ＝2c 3，y ＝b 3
，
代入双曲线方程，得4c 29a 2－1
9＝1，且c 2＝a 2＋b 2，
∴b ＝
6a 2
. ∵|BF → |＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 2
6＝1.
答案 D 二、填空题
6.(2017·北京卷)若双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率为3，则实数m ＝________.
解析 由题意知1＋m 1＝e 2
＝3，则m ＝2.
答案 2
7.(2017·邯郸质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP → ＝4FQ → ，则|QF |等于________.
解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP → ＝4FQ → ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3. 答案 3
8.(2017·石家庄三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 2
9＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行.则实数a 的值为________.
解析 由题设1＋p
2＝5，∴p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点
A (－a ，0)，且直线AM 平行一条渐近线，∴41＋a ＝3
a ，则a ＝3.
答案 3 三、解答题
9.(2017·佛山调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，右焦点为F (1，0).
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.
解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，
解得⎩⎨⎧a ＝2，
b ＝1.
∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2＋y 2＝1，
y ＝k （x －1），
消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，
∴x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.
∴y 1·y 2＝k 2
[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 2
1＋2k 2
.
∵OM ⊥ON ，∴OM → ·ON →
＝0.
∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－2
1＋2k 2＝0，∴k ＝±2.
故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
4上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22
4，x 1＋x 2＝4.
于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
4＝1.
(2)由y ＝x 24，得y ′＝x
2
.
设M (x 3，y 3)，由题设知x 3
2＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，
故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
4
得x 2－4x －4m ＝0.
当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.
由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)， 解得m ＝7.
所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.
11.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为3
2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0).
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.
所以b 2＝a 2－c 2＝1.
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝
n
m ＋2
， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2
n .
所以直线DE 的方程为y ＝－
m ＋2
n
(x －m ). 直线BN 的方程为y ＝n
2－m (x －2).
联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2
n
（x －m ），y ＝n
2－m （x －2），
解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）
4－m 2＋n 2.
由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－4
5
n .
又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝2
5|BD |·|n |，
S △BDN ＝1
2
|BD |·|n |.
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.。