二次函数与一元二次方程(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(原卷版)

二次函数与一元二次方程（知识点考点一站到底）
知识点☀笔记
知识点一 利用判别式判断抛物线与x 轴的交点个数
判别式 Δ＝b 2－ 4ac
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 一元二次方程ax 2
＋
bx ＋c ＝0(a ≠0)
图象
图象与x 轴 的交点个数
根的情况
Δ>0
a >0
与x 轴有 2个交点
有两个不相等的
实数根
a <0
Δ＝0
a >0
与x 轴有 1个交点
有两个相等的 实数根
a <0
Δ<0
a >0
0个交点
没有实数根
a <0
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．
考点☀梳理
解题指导：
①确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋k ＝0的根的情况，可以利用二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与y ＝－k 的图象的交点情况进行判断．
②用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：
(1)画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； (2)由图象交点的位置确定交点横坐标的范围； (3)估计方程的近似根．
考点1：二次函数与一元二次方程的关系
必备知识点：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．
题型1 图形法确定一元二次方程的近似根
例1．（2022·全国·九年级专题练习）下表是若干组二次函数25y x x c =-+的自变量x 与函数值y 的对应值： x …
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
…
y…0.360.13﹣0.08﹣0.27﹣0.44…
那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（）
A．3.4B．3.5C．3.6D．3.7
例2．（2022·全国·九年级专题练习）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y ＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（）（精确到0.1）
A．x＝4.3B．x＝3.3C．x＝2.3D．x＝1.3
练习1．（2022·全国·九年级专题练习）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）
x00.51 1.52
y＝ax2+bx+c1-0.5
-1 3.57
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
练习2．（2022·浙江湖州·九年级期末）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）
x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…
y…-1-0.490.040.59 1.16…
A ．1＜x ＜1.1
B ．1.1＜x ＜1.2
C ．1.2＜x ＜1.3
D ．1.3＜x ＜1.4
练习2．（2022·全国·九年级课时练习）如表，是二次函数()y f x =的自变量x 与函数值y 的几组对应值．那么方程()0f x =的一个近似解是（ ） x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1.49
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
A ．1
B ．1.1
C ．1.2
D ．1.3
练习4．（2022·江苏·九年级专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程2350x x +-=的正数解在（ ）
x
－1 0 1 2 3 4
25x x +- －7 －5 －1 5 13 23 A ．－1和0之间 B ．0和1之间 C ．1和2之间 D ．2和3之间
题型2 求抛物线与坐标轴的交点
例1．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()0,3 B ．()0,3- C ．()0,5- D ．()0,5
例2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．函数图象与x 轴交点坐标为_____，与y 轴的交点坐标为__________；
练习1．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线y ＝23x +4x +2与x 轴的交点个数是_____．
练习2．（2022·浙江温州·九年级期中）已知二次函数()2
1y x k =--+的图象过点()0,3．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求该二次函数图象与x 轴的交点坐标．
练习3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数223y ax x ++＝的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C .
(1)求二次函数的解析式和点B 的坐标； (2)直接写出y 的最大值为 .
练习4．（2021·江西上饶·九年级阶段练习）如图，抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．
(1)求抛物线的解析式； (2)求△BOC 的面积．
题型3 已知二次函数值求自变量的值
例1．（2022·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）定义：min{a ，b }＝(),
().a a b b a b ⎧≤⎨>⎩
若函数y ＝min{x ＋1，
223x x -++ }，则该函数的最大值为___________.
例2．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线223y x x =-，当1y =-时，自变量的值为_________．
练习1．（2021·全国·八年级课时练习）已知269y x x =-+，当x =__________时，y 的值为0；当x =__________时，y 的值等于9．
练习2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线2221y x mx m =-+-与x 轴交于A 、B 两点，且点A 、B 都在原点右侧，抛物线的顶点为点P ，当ABP △为直角三角形时，m 的值为________．
练习3．（2022·云南昆明·二模）冰墩墩是2022年北就冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某商店准备用2400元购进一批冰墩墩钥匙扣出售．假如每个钥匙扣的进价降低20%，则可以多买50个．
(1)求每个冰墩墩钥匙扣的进价；
(2)市场调查发现：当每个冰墩墩钥匙扣的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．设每个冰墩墩钥匙扣的售价是x 元（x 是大于20的正整数），每周总利润是w 元． ①求w 与x 的函数关系，并求每周总利润的最大值；
②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩钥匙扣的售价．
练习4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知二次函数21y x ax a =+++的图象经过点(2,3)P -． (1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点(,)Q m n 在该二次函数图象上； ①当11n =时，求m 的值，
②当m ＜x ＜m -3时，该二次函数有最小值2，请直接写出m 的取值范围．
题型4 根据二次函数系数求对应方程根的情况或与x 轴交点情况
例1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为(2,4)A -，
(1,1)B ，则方程2ax bx c =+的解是________________.
例2．（2022·福建南平·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，若点P 的坐标为()4,0，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为__________．
练习1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线2y x bx c =++的部分图像如图所示，则方程20x bx c ++=的解是___________
练习2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线2
23y x x =--与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于点
C ，直线25y kx k =-+与它有三个公共点时，则k 值为______．
练习3．（2020·北京房山·九年级期中）若二次函数223y kx x =--的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是_______．
【答案】13k ≥-且0k ≠##k ≠0且k ≥1
3
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练习4．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线25y x x =--与x 轴的一个交点为(,0)m ，则代数式
2225m m -+=_____________．。