陕西省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

陕西省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）
A ．
11
22
a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+
D ．11
22
a b c -
+- 【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可． 【详解】
解：由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-， 1111
2222OD OA OC a c =+=+，
11
22
BD a b c =-+．
故选：A ． 【点睛】
本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题．
2．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲
线的渐近线在第一象限的交点为P ，且P 满足122PF PF b -=，则C 的离心率e 满足（ ）
A ．2310e e -+=
B ．42310e e -+=
C ．210e e --=
D ．4210e e --=
【答案】D 【解析】
分析：联立圆与渐近线方程，求得M 的坐标，由122PF PF b -=，得点P 在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求．
详解：
由222b y x
a x y c
⎧
=⎪⎨⎪+=⎩，得2222
x a y b ⎧=⎨=⎩，即(),P a b ， 由122PF PF b -=，，即2222()()2a c b a c b b ++--+=，
由222
c
b a
c e a
=-=， ， 化简得42240c a c a --=，即4210e e --=， 故选D.
点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 3．有一散点图如图所示，在5个()x y ，数据中去掉D （3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A ．残差平方和变小
B ．方差变大
C ．相关指数2R 变小
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱
【答案】A 【解析】 【分析】
由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】
由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，且为正相关， 所以r 变大，2R 变大，残差平方和变小， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关线性相关性强弱的问题，涉及到的知识点有相关系数，相关指数，以及残差平方和与相关性的关系，属于简单题目.
4．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( ) A ．24种 B ．52种 C ．10种 D ．7种 【答案】A
【解析】因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有
24种不同走法．故选A.
5．已知点()1,0M -和()1,0N ，若某直线上存在点P ，使得4PM PN +=，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：
①260x y -+=； ②0x y -=； ③210x y -+=； ④30x y +-=． 其中是“椭型直线”的是（ ） A ．①③ B ．①②
C ．②③
D ．③④
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定动点P 的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项. 【详解】
由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为22143x y +=．
对于①，把 2 60x y -+=代入22
143
x y +=，整理得229120y y -+=，
由2
(9)4212150∆=--⨯⨯=-<，知 2 60x y -+=不是“椭型直线”；
对于②，把y x =代入22
143
x y +=，整理得2
127x =，所以0x y -=是“椭型直线”；
对于③，把210x y -+=代入22
143
x y +=，整理得2191680x x +-=，
由2
16419(8)0∆=-⨯⨯->，知210x y -+=是“椭型直线”；
对于④，把30x y +-=代入22
143
x y +=，整理得2724240x x -+=，
由2
(24)47240∆=--⨯⨯<，知30x y +-=不是“椭型直线”． 故②③是“椭型直线”． 故：C ． 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题.
6．集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =（ ）
A ．{|23}x x -<<
B ．{|-12}x x ≤<
C ．{|21}x x -<≤
D ．{|-23}x x <<
【答案】D 【解析】 【分析】
把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集． 【详解】
把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示，
则A ∪B={x|-2＜x ＜3}故选A ．
【点睛】
本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．
7．已知函数()()22x
x f x me m e x =+--存在零点,则实数m 的取值范围是( )
A ．[
)1,+∞ B ．0,1 C ．
,0
D ．(],1-∞
【答案】D 【解析】 【分析】
函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可． 【详解】 函数()()22x
x f x me
m e x =+--存在零点，
等价于方程()202x
x me m e x =+--有解，
即()22x
x x me
m e =+-有解，
令(0)x
t e t =>，则ln t x =，
方程等价于()2
2y mt m t =+-与ln y t =(0)t >有交点，
函数()2
2y mt m t =+-恒过定点（0,0），
当0m ≤时，()2
2y mt m t =+-与ln y t =(0)t >图象恒有交点，排除A ，B ，C 选项；
又当01m <≤时，恰好满足=1t 时，
()22mt m t +-≤ln t (0)t >，此时()22y mt m t =+-与ln y t =(0)t >图象恒有交点，符合题意；
故选：D. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题.
8．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ）
A ．(1.5，4)点
B ．(1.5，0）点
C ．（1，2）点
D ．（2，2）点
【答案】A 【解析】 由题意：01231357
1.5,444
x y ++++++=
=== ，回归方程过样本中心点，即回归方程过点()1.5,4 .
本题选择A 选项.
9．已知i 为虚数单位，则复数21i
i
+= （） A ．1i + B ．1i --
C ．1i -+
D ．1i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由复数的运算，可得复数
()()()
2121111i i i i i i i ⋅-==++++，故选A. 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知等差数列{}n a 中， 13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．20 B ．30
C ．40
D ．50
【答案】A 【解析】
等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，
11112831020a a d a d a d ∴++++=+=，
()()57111444631020a a a d a d a d -=+-+=+=．
故选A ．
11．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂.
已知{|A x y ==
，{}1B x x =，则A B ⨯等于（ ）
A ．[]()0,12,⋃+∞
B ．[
)()0,12,⋃+∞
C ．[]
0,1
D ．[]
0,2
【答案】A 【解析】
求出集合A 中的函数的定义域得到：
220x x -≥，即()20x x -≥
可化为020x x ≥⎧⎨
-≥⎩或0
20
x x ≤⎧⎨-≤⎩
解得02x ≤≤，即{}[]
|0202A x x =≤≤=，
{}1B x x =
)0A B ⎡⋃=+∞⎣，
，](12A B ⋂=， 则[]
()01
2A B ⨯=⋃+∞，， 故选A
12．利用反证法证明“若|2||2|0x y -+-=，则2x y ==”时，假设正确的是（ ） A ．,x y 都不为2 B ．x y ≠且,x y 都不为2 C ．,x y 不都为2 D ．x y ≠且,x y 不都为2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据反证法的知识，选出假设正确的选项. 【详解】
原命题的结论是“,x y 都为2”，反证时应假设为“,x y 不都为2”． 故选：C 【点睛】
本小题主要考查反证法的知识，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．已知函数32()2f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若存在0x 满足等式
012(1)x x x λλ+=+，()0λ>，且函数0()()()g x f x f x =-至多有两个零点，则实数λ的取值范围为
__________．
【答案】1[,)2
+∞ 【解析】
分析：首先确定0x 的范围，然后结合函数()g x 的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由()0121x x x λλ+=+可得：02
21
x x x x λ-=
-，
由于120,x x λ><，故02020,x x x x ->>，
由()()2
''34g x f x x ax b ==++可知函数()g x 的单调性与函数()f x 的单调性相同：
在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增， 很明显0x x =是函数()g x 的一个零点， 则满足题意时应有：()10g x ≤， 由韦达定理有：12124,33
a b x x x x +=-
=， 其中()()()2
2
11011001020g x x x x x x x a x x b ⎡⎤=-+++++≤⎣⎦，则：
()()22
11001210123
302
x x x x x x x x x x ++-
+++≥， 整理可得：()()02101230x x x x x ⎡⎤---≥⎣⎦， 由于010x x ->，故02123x x x ≥-，
则()2120221211
3122
x x x x x x x x x λ---=≥=
--.
即实数λ的取值范围为1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
点睛：本题主要考查导函数研究函数的性质，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．函数
，
且
是上的减函数，则的取值范围是____.
【答案】
【解析】试题分析：因为函数 且是上的减函数，即
⇒．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；
故答案为．
考点：分段函数的单调性.
【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.
15．设A 、B 两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛A 队获胜的概率均为1
3
，且各局比赛相互独立，则比赛结束时A 队得分比B 队高3分的概率为__________． 【答案】227
【解析】 【分析】
比赛结束时A 队得分比B 队高3分是指前3局比赛中A 两胜一负，第4局比赛A 胜，由此能求出比赛结束时A 队得分比B 队高3分的概率． 【详解】
比赛结束时A 队得分比B 队高3分是指前3局比赛中A 两胜一负，第4局比赛A 胜，
∴比赛结束时A 队得分比B 队高3分的概率：
2231212
()()()33327
P C ==．
故答案为：227
． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．若46
n n C C =，则n =________
【答案】10 【解析】 【分析】
根据组合数的性质,即可求得n 的值. 【详解】
根据组合数的性质m n m
n n C C -=
所以4610n =+=
故答案为:10 【点睛】
本题考查了组合数的简单性质,属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 中，12a =，122n
n n a a +=++。

（1）证明数列{
}2
n
n a -为等差数列，并求数列{}n
a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

【答案】 (1)见证明；22(1)n n a n =+- (2) 12
22n n S n n +=+--
【解析】 【分析】
（1）由题设条件，化简得到(
)()1
1222n n n n
a a
++---=，即可证得数列{}2n n a -为首项为0，公差为2
的等差数列，进而求得通项公式．
（2）由（1）可得22(1)n
n a n =+- ，利用求和公式即可得出．
【详解】
（1）因为(
)()1
1222n n n n
a a
++---=，且1120a -=，
所以数列{
}2
n
n a -为首项为0，公差为2的等差数列.
所以202(1)n n a n -=+-，即22(1)n
n a n =+-.
（2）因为()122122(1)2212
2
n n n
n n
S n n +--=+
=+---， 所以12
22n n S n n +=+--.
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知函数()3
2
5f x x ax bx ＝＋＋＋，曲线()y f x ＝在点()()
1
1P f ，处的切线方程为31y x ＝＋. （1）求a b ，的值；
（2）求()y f x ＝在[]3,1－
上的最大值． 【答案】（1）2a ＝，4b ＝－；（2）1 【解析】 【分析】
(1)依题意，由()f 14＝，得到a b 2＋＝－，再由()f'13＝，得到2a b 0＋＝，联立方程组，即可求解；
(2)由(1)，求得()()()f'x 3x 2x 2＝－＋，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案． 【详解】
(1)依题意可知点()()
P 1
f 1，为切点，代入切线方程y 31x ＝＋可得，()f 13114⨯＝＋＝， 所以()f 1154a b ＝＋
＋＋＝，即b 2a ＋＝－， 又由()3
2
f x 5x ax bx ＝＋＋＋
，则()2
f'x 32x b x a ＝＋＋， 而由切线y 31x ＝＋的斜率可知()f'13＝，∴32b 3a ++＝，即2b 0a +＝，
由2
20
a b a b +=-⎧⎨
+=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，
∴a 2＝，b 4＝－．
(2)由(1)知()3
2
f x x 2x 4x 5＝－++，则()()()2
f x 3x 4x 43x 2x 2+'+＝
－＝－， 令()f'x 0＝，得2
x 3
=
或x 2＝－， 当x 变化时，()f x ，()f'x 的变化情况如下表：
∴()f x 的极大值为()f 213－＝
，极小值为295
f 327⎛⎫=
⎪⎝⎭
， 又()f 38－＝
，()f 14＝，所以函数()f x 在[]
3,1－上的最大值为1． 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 19．已知函数f (x )=In(1+x )-x +
2
2
x x (k ≥0)． (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间．
【答案】（I ）322ln 230x y -+-=（II ）见解析
【解析】
【分析】
【详解】
（I ）
322ln 230x y -+-=
（II ）
当0k =时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(
,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时，()f x 得单调递增区间是1(1,
)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 20．已知集合121284x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭. （1）若{}122C x m x m =+<≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围；
（2）若{}61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[
)1,+∞ 【解析】
【分析】
结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A 和集合B ；
（1）由交集定义得到A B ，分别在C =∅和C ≠∅两种情况下构造不等式求得结果； （2）由并集定义得到A B ，根据交集结果可构造不等式求得结果.
【详解】 {}[]12128272,74x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤=-⎨⎬⎩⎭
{}[]21log ,,32353,58B y y x x y y ⎧⎫⎡⎤==∈=-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭ （1）[]2,5A B =-
当C =∅时，122+≥-m m ，解得：3m ≤，满足()C A B ⊆⋂
当C ≠∅时，12212225m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：732<≤m 综上所述：实数m 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
（2）[]3,7A B =-
()A B D =∅ 617m ∴+≥，解得：m 1≥
∴实数m 的取值范围为[)1,+∞
【点睛】
本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.
21
．若()
21*2),,01n m m n N αα+=+∈<<，求证：()1m αα+=． 【答案】见解析
【解析】
【分析】
引入函数21()(n f x x +=+
，展开，其中21(2)(2n f +=+
，21(2)(2n f +-=-+，
(2)(2)f f --是整数，(2)(0,1)f -∈，注意说明(2)f m α=+的唯一性，这样有(2)(2)m f f =--，(2)f α=-，然后计算()m αα+即可.
【详解】
证明：因为
21021122212212121212121()(C C n n n n n n n n n f x x C x C x x ++-++++++=+=++⋯+，
所以021122122121212121212(2)C 2C 2C C 2n n n n n n n n f ++++++++=++⋯+，
由题意21*(2)2)(,01)n f m m αα+=+=+∈<<N ，
首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的．
假设21*112212121212(2)(2(,N ,0,1,),n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠，
则12210m m αα-=-≠，而1221,(1,0)
(0,1)m m αα-∈-∈-Z ，矛盾。

所以满足条件的,m α是唯一的．
下面我们求m 及α的值：
因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=+--+=++-
021222121
2[2C n n n C +++=
+42341122121]C 2C 2n n n n -++++⋯+， 显然*
(2)(2)f f --∈N ．
2(0,1)-∈
，故212)(0,1)n +∈，
即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-+=-∈．
所以令021*********
12212121212[C 2C 2C 2]C 2n n n n n n n n m +--++++=+++⋯+，
21(2n α+=-+，则(2)(2)m f f =--，(2)f α=-，又(2)m f α+=，
所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=+⋅-+=-=．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，
解题关键是引入函数21()(n f x x +=，展开，
其中21(2)(2n f +=+
，21(2)(2n f +-=-+，(2)(2)f f --是整数，(2)(0,1)f -∈，于是可表示出,m α.本题有一定的难度. 22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，1为半径. （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程.
（2）设直线l 与圆C 相交于AB 两点，求||||PA PB ⋅.
【答案】（1）直线l
的参数方程为12122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=； （2）1.
【解析】
【分析】
（1）首先根据直线l 的点(1,2)P 和倾斜角6
π即可求出直线l 的参数方程，再根据圆C 的圆心坐标及半径可求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可.
（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义即可求出||||PA PB ⋅的值.
【详解】
（1）直线l
的参数方程为1122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
∵M 的直角坐标为(0,1)，圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，即222x y y +=，
∴圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=；
（2）将直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得2211212
()()1t ++-+=，
化简得：21)10t t ++=，121t t ∴⋅=，1212||||1PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=.
【点睛】
本题第一问考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，第二问考查了直线的参数方程的几何意义，属于中档题.。