高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型学案 文 北师大版

§11.3 几何概型
最新考纲
考情考向分析
1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．
2.了解几何概型的意义.
以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.
1．几何概型
向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝
G 1的面积
G 的面积
，则称这种模型为几何概型．
2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比． 3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝1
9.( × )
题组二 教材改编
2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A.12
B.13
C.1
4 D ．1 答案 B
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.
3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
答案 A
解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1
3，
∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．
4．设不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐
标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π
4 答案 D
解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是
4－π
4
，故选D.
题组三 易错自纠
5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6，则m ＝________.
答案 3
解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .
当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝5
6，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．
当2<m <4时，由题意得
m －(－2)6
＝5
6
，解得m ＝3.
6．在Rt△ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则|AM |>|AC |的概率为________． 答案 16
解析 设事件D 为“作射线CM ，使|AM |>|AC |”．
在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |， 因为△ACC ′是等腰三角形， 所以∠ACC ′＝180°－30°
2＝75°，
事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°， 构成事件总的区域μΩ＝90°， 所以P (D )＝
μD μΩ＝15°90°＝1
6
.
题型一 与长度、角度有关的几何概型
1．(2016·全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310 答案 B
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58
，故选B.
2.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE
，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．
答案 1
3
解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线
段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝1
3
.
3．(2018届铁岭月考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2
的概率为________． 答案 23
解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2
.由12x －x 2
<32，
即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12. 在数轴上表示，如图所示．
由几何概型概率公式，得所求概率为812＝2
3.
思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
题型二 与面积有关的几何概型
命题点1 与平面图形面积有关的问题
典例 (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
答案
π
8
解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π
2
，所以
由几何概型知，所求概率P ＝S 黑
S 正方形＝π24＝π8
.
命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题
典例 由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x －2≤0
确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2
确
定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为______． 答案
7
8
解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，
易知C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率 P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝S △OAB －S △BCD
S △OAB ＝2－
142＝78
.
思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
跟踪训练 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，
y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4n m
B.2n m
C.4m n
D.2m n
答案 C
解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝m
n
，
∴π＝4m
n
，故选C.
(2)(2017·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
y ≥0
的平面内随机取一点M (x 0，
y 0)，设事件A ＝“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )
A.1
4 B.34 C.13 D.23
答案 B
解析 作出不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0
的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0<2x 0”表示的区域为
△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34
.
题型三 与体积有关的几何概型
典例 (1)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得
V P —ABC <1
2
V S —ABC 的概率是( )
A.78
B.34
C.12
D.14 答案 A
解析 当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，
P ＝1－18＝78
.
(2)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于1
6
的概率为________．
答案 12
解析 过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于1
6，
只要M 在截面以下即可小于16，当V M —ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝1
2，即点M 到底
面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×
1
21×1×1＝1
2.
思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
跟踪训练 (2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( ) A ．1－π4
B.π12
C.π4 D ．1－π12
答案 A
解析 鱼缸底面正方形的面积为22
＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π
4
，故选A.
几何概型中的“测度”
典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．
(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1
2的概率为( )
A.14
B.12
C.34
D.78 错解展示
(1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为30°90°＝13
.
(2)当两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为1
2.
答案 (1)1
3 (2)B
现场纠错
解析 (1)∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ，
则所求概率为
33
a a
＝
33
. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.
由题意知|x －y |<1
2，所以所求概率为
P ＝1－2×12×12×
121＝3
4.
答案 (1)
3
3
(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．
(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．
1.(2018届潍坊检测)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正
方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
2
3
，则阴影区域的面积为( )
A.
4
3
B.
8
3
C.
2
3
D．无法计算
答案 B
解析正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P＝
S阴影
S正方形
＝
2
3
，即
S阴影
4
＝
2
3
，解得S阴影＝
8
3
.
2．设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.
3
4
＋
1
2π
B.
1
4
－
1
2π
C.
1
2
－
1
π
D.
1
2
＋
1
π
答案 B
解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y≥x 的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为
P＝
1
4
π×12－
1
2
×12
π×12
＝
π
4
－
1
2
π
＝
1
4
－
1
2π
.
3．(2018·石家庄模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB
→
＋PC
→
＋2PA
→
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A.14
B.13
C.23
D.12 答案 D
解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →
＝0， 所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，
由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的1
2，
所以S △PBC ＝1
2
S △ABC ，
所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为
S △PBC S △ABC ＝1
2
，故选D. 4．已知在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23
答案 C
解析 如图，当BE ＝1时，
∠AEB 为直角，则当点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则当点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝1
2
.
5．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12≤1”发生的概率为( )
A.34
B.23
C.13
D.1
4 答案 A
解析 由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋1
2≤2，
得0≤x ≤3
2
.
由几何概型的概率计算公式，得所求概率
P
＝
3
2
－0
2－0
＝
3
4
.
6．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.
π
12
B．1－
π
12
C.
π
6
D．1－
π
6
答案 B
解析记“点P到点O的距离大于1”为A，
P(A)＝
23－
1
2
×
4
3
π×13
23
＝1－
π
12
.
7．(2017·江苏)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案
5
9
解析设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P(A)＝
5
9
.
8．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为________．
答案
1
2
解析由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为
1
2
.
9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥
A —A 1BD 内的概率为______．
答案 16
解析 因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝1
3AA 1×S △ABD
＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝1
6V 长方体， 故所求概率为
VA －A 1BD V 长方体＝1
6
. 10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2
n
2＝1表示焦点在x
轴上的椭圆的概率是________． 答案 12
解析 ∵方程x 2m 2＋y 2
n
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .
如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的
概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝1
2
.
11．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，求函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π2
有零点的概率．
解 由函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π2
有零点，可得Δ＝(2a )2
－4(－b 2
＋π2
)≥0，整理得a
2
＋b 2
≥π2
，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2
＝4π2
.
事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2
＋b 2
≥π2
}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2
－π3
，
故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2
＝1－π
4
. 12．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，
所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a ·b ＝－1的概率为
336＝1
12
. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，
y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．
满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足a ·b <0的概率为21
25
.
13.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，则在运行过程中，点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为________．
答案
512
解析 根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32
－
22
)＝5π.圆环总面积为π(42
－22
)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512
.
14．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2
－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －8≤0，x >0，
y >0
内的
一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解 ∵函数f (x )＝ax 2
－4bx ＋1的图像的对称轴为直线x ＝2b a
，
要使f (x )＝ax 2
－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2b
a
≤1，
即2b ≤a .
如图所示，事件的全部结果所构成的区域为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(a ，b )⎪⎪⎪
⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＋b －8≤0，a >0，
b >0，构成所求事件的区域为三角形部分(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b －8＝0，b ＝a 2
，得交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫163，83，
故所求事件的概率为P ＝12×8×8312
×8×8＝1
3.
15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y
≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤1
2”
的概率，则( ) A ．p 1<p 2<1
2
B ．p 2<1
2<p 1
C.1
2<p 2<p 1 D ．p 1<12
<p 2
答案 D
解析 在直角坐标系中，依次作出不等式 ⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12
和⎩⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1，xy ≤12
的可行域如图所示：
依题意知，p 1＝
S △ABO
S 四边形OCDE
，p 2＝
S 曲边多边形OEGFC
S 四边形OCDE
，
而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12
<p 2.故选D. 16．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤
y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达
2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，
x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．
A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P (A )＝A 的面积
Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2
×
12242
＝506.5576＝1 0131 152
.。