《刘大有版数据结构》 chapter 8 递归

以下三种情况，利用递归求解问题是非常有效的 以下三种情况，利用递归求解问题是非常有效的. 1.问题的定义是递归的，例如数学上常用的阶乘函数、 问题的定义是递归的， 问题的定义是递归的 例如数学上常用的阶乘函数、 幂函数和斐波那契数列. 幂函数和斐波那契数列
例8.1 求解阶乘函数的递归过程 long Factorial（long n） （ ） { if （n = = 0） // 递归终止条件 ） return 1； ； else return n *Factorial（n-1）； // 递归调用过程 （ ） }
为了把上述递归过程转化为迭代过程， 为了把上述递归过程转化为迭代过程，我们使用一个堆栈 S，用它来存储递归调用的返回路径．栈S的元素是一个 ，用它来存储递归调用的返回路径． 的元素是一个 四元组（ ， ， ， ），意为从i柱的上部移 个圆盘到k柱 ），意为从 柱的上部移n个圆盘到 四元组（n，i，j，k），意为从 柱的上部移 个圆盘到 柱 （j柱作为中间柱）. 柱作为中间柱） 算法HI（ ） 算法 （m） HI1[建立堆栈 建立堆栈] 建立堆栈 CREATS（S）． （ ） HI2[堆栈初始化 堆栈初始化] 堆栈初始化 S（m，1，2，3）． ， ， ， ） HI3[利用栈实现递归 利用栈实现递归] 利用栈实现递归 WHILE NOT（StackEmpty（S）） ））DO （ （ ）） （（n， ， ， ） （（ ，i，j，k） S． ． IF n = 1 THEN MOVE（i，k） （， ） ELSE（S（n-1，j，i，k）. （ - ，，， ） S（l，i，j，k） ． ，，， ） S（n-1，i，k，j）） ▌ - ， ， ， ））
第八章 递归
8.1 什么是递归 8.2 基本递归过程 8.3 递归过程的实现：堆栈与递归 递归过程的实现： 8.4 递归到非递归的转换 8.5 递归的应用
8.1 什么是递归
定义8.1 如果一个对象部分地包含它自己，或者利用自己定 如果一个对象部分地包含它自己， 定义 义自己的方式来定义或表述，则称这个对象是递归的 对象是递归的； 义自己的方式来定义或表述 ， 则称这个 对象是递归的 ； 如果一个过程直接或间接地调用自己， 如果一个过程直接或间接地调用自己 ， 则称这个过程是 一个递归过程 递归过程. 一个递归过程 任何一个有意义的递归总是由两部分组成： 任何一个有意义的递归总是由两部分组成 ： 递归调用 与递归终止条件. 与递归终止条件.
Fib(n) =
n Fib(n 1) + Fib(n 2)
n = 0或1 n≥2
下图是求Fib（5）时的递归调用树，从而可以计算出算法 （ ）时的递归调用树， 下图是求 的复杂度为○ 的复杂度为○(2k).
Fib（5）
Fib（4）
Fib（3）
Fib（3）
Fib（2）
Fib（2）
Fib（1）
该函数无返回值，有四个形参，无局部变量， 该函数无返回值，有四个形参，无局部变量，每个工作记 录包含五个数据（返回语句标号，四个形参） 录包含五个数据（返回语句标号，四个形参）. 递归过程 中包含两个递归调用语句，需要设0， ， ， 四个语句标 中包含两个递归调用语句，需要设 ，1，2，3四个语句标 根据上述变换规则，可以将算法8.7改写成算法 改写成算法8.8的 号，根据上述变换规则，可以将算法 改写成算法 的 非递归过程. 非递归过程 塔非递归过程的C++语言描述 例8.8 Hanoi 塔非递归过程的 语言描述 void hanoi（int n，char x，y，z） （ ， ， ， ） { struct levelstr { int adr，ptrn； ， ； char xp，yp，zp； ， ， ； } currentp； ；
8.4 递归到非递归的转换
递归过程结构清晰，程序易读，正确性容易证明，但是 递归过程结构清晰，程序易读，正确性容易证明， 运行的效率比较低， 运行的效率比较低，无论是时间和空间都比非递归程序更 至少在两种情况下，消除递归是有意义的：（ ：（1 费.至少在两种情况下，消除递归是有意义的：（1）程序 中频繁调用的部分；（ ；（2 程序设计语言不允许递归调用. 中频繁调用的部分；（2）程序设计语言不允许递归调用. 本书介绍一种利用基本语句模拟递归调用的变换方法， 本书介绍一种利用基本语句模拟递归调用的变换方法， 它适用于大多数递归过程（或函数） 它适用于大多数递归过程（或函数）. 虽然由此变换得到 的非递归过程结构不够清晰，但是， 的非递归过程结构不够清晰，但是，如果这个递归过程被 证明是正确的，并且保证每一步的变换也是正确的， 证明是正确的，并且保证每一步的变换也是正确的，则所 得非递归过程也是正确的。 得非递归过程也是正确的。 本书介绍了9条递归过程（函数）转换为非递归的通用 本书介绍了9条递归过程（函数） 变换规则。 变换规则。
假定用MOVE（i，j）表示把 柱最靠上的圆盘移到 柱上这 （ ， ）表示把i柱最靠上的圆盘移到 柱最靠上的圆盘移到j柱上这 假定用 一过程，则由上述递归过程， 一过程， 则由上述递归过程，就很容易给出如下的递归算 法． 例8.5 算法 HR（n，i，j，k） （ ，，， ） // 把原柱 上的 个圆盘移到目标柱 上，圆柱 是中间柱 把原柱i上的 个圆盘移到目标柱k上 圆柱j是中间柱 上的n个圆盘移到目标柱 HR1[递归出口 递归出口] 递归出口 IF n = 1 THEN（MOVE（i，k）．RETURN） ． （ （， ） ） HR2[递归调用 递归调用] 递归调用 HR（n-l，i，k，j） ． （ ，， ，） MOVE（i，k） ． （， ） HR（n-l，j，i，k） ▌ （ ，，， ）
作为递归过程的另一个例子，我们讨论 塔问题。 作为递归过程的另一个例子，我们讨论Hanoi塔问题。 塔问题 该问题要求把圆柱1 称为原柱）上的n个圆盘移到圆柱3 该问题要求把圆柱1（称为原柱）上的n个圆盘移到圆柱3 目标柱） 并保持原来圆柱1上的次序； （目标柱）上，并保持原来圆柱1上的次序；移动过程中 可使用圆柱2 中间柱），但必须保证在任何时刻， ），但必须保证在任何时刻 可使用圆柱2（中间柱），但必须保证在任何时刻，大圆 盘不能放在小圆盘之上。 盘不能放在小圆盘之上。 Hanoi塔问题可用如下的递归过程来解决： 塔问题可用如下的递归过程来解决： 塔问题可用如下的递归过程来解决 l） 如果n l，即只有一个圆盘， （l） 如果n = l，即只有一个圆盘，则可直接从原柱移到目 标柱上； 标柱上； 个圆盘按上述要求移到中间柱上； （2） 对于 ） 对于n≥2，先把前 -l个圆盘按上述要求移到中间柱上； ，先把前n- 个圆盘按上述要求移到中间柱上 然后把第n个圆盘移到目标柱上； 最后把中间柱上的n-l个 然后把第 个圆盘移到目标柱上 最后把中间柱上的 - 个 个圆盘移到目标柱 圆盘按上述要求移到目标柱上（ 圆盘按上述要求移到目标柱上 （ 此时原柱作为中间柱使 用）。
(1) BS( A, i, m1 ), BS( A, i, mid), (3)BS( A, m1 +1, mid), (2) 合并 BS( A, mid +1, m2 ), (4) BS( A, i, j), (7) BS( A, mid +1, j), (6) BS( A, m2 +1, j), (5) 合并 合并
局部变量
返回地址 参 数 …… 局部变量 返回地址 参 数
递归方法虽然在解决某些问题时，是最直观、 递归方法虽然在解决某些问题时， 是最直观 、 最方便的方 但却并不是一种高效的方法， 法，但却并不是一种高效的方法，主要原因在于递归方法 过于频繁的函数调用和参数传递. 在这种情况下， 过于频繁的函数调用和参数传递 在这种情况下 ， 若采用 循环或递归算法的非递归实现， 循环或递归算法的非递归实现，将会大大提高算法的执行 效率. 效率 以计算斐波那契数列的递归函数Fib（n）为例， 它的递归 （ ）为例， 以计算斐波那契数列的递归函数 定义公式如下： 定义公式如下：
本章把第二章的例2.3算法 作为例 中给出,显然算法 本章把第二章的例 算法BS作为例 中给出 显然算法 算法 作为例8.4中给出 BS就是一个递归过程。该递归算法的子过程的调用过程和 就是一个递归过程。 就是一个递归过程 子过程完成的先后次序如下图所示，可见， 子过程完成的先后次序如下图所示，可见，子过程的产生 到完成正好是这些子过程进栈、出栈的次序。 到完成正好是这些子过程进栈、出栈的次序。
下面举例说明上述变换法则的使用方法. 下面举例说明上述变换法则的使用方法 塔递归过程的C++语言描述 语言描述. 例8.7 Hanoi塔递归过程的 塔递归过程的 语言描述 void hanoi（int n，char x，y，z） （ ， ， ， ） { if （n = = 1） move（x，1，z）；ห้องสมุดไป่ตู้） （ ， ， ） else { hanoi（n-1，x，z，y）； （ - ， ， ， ） move（x，n，z）； （ ， ， ） hanoi（n-1，y，x，z）； （ - ， ， ， ） } }
利用“递归工作栈”保存信息，每执行一次递归调用， 利用“递归工作栈”保存信息，每执行一次递归调用， 系统就需要建立一个新的工作记录， 系统就需要建立一个新的工作记录，并将其压入递归工作 每退出一层递归， 栈；每退出一层递归，就从递归工作栈中弹出一个工作记 录.栈顶的工作记录必定是当前正在执行的这一层递归调用 栈顶的工作记录必定是当前正在执行的这一层递归调用 的工作记录，所以又称之为“当前活动工作记录” 的工作记录，所以又称之为“当前活动工作记录”
Fib（2）
Fib（1 ）
Fib（1） Fib（0）
Fib（1）
Fib（0）
Fib（1） Fib（0）
如果我们采用简单的循环语句计算斐波那契数列的第n项 如果我们采用简单的循环语句计算斐波那契数列的第 项， 则算法的复杂度为 ○(n) . 例8.3 计算斐波那契数列的非递归函数 long CalFib（long n） （ ） { if（n < = 1） （ ） return n； ； else { long f1 = 1，f2 = 0，f = 0； ， ， ； for（ int i = 2；i < = n；i++） （ ； ； ） { f = f1+f2；f2 = f1；f1 = f；} ； ； ； return f； ； } }
8.3 递归过程的实现：堆栈与递归 递归过程的实现：
通过自己设计的栈， 通过自己设计的栈，我们可以用非递归的基于栈的算法代 替递归算法求解这些问题. 替递归算法求解这些问题 对于堆栈，如下的几个操作是必须的： 对于堆栈，如下的几个操作是必须的： (1) CREATS（S）建立空堆栈 ； （ ）建立空堆栈S； (2) SA把元素 压入堆栈 ； 把元素A压入堆栈 把元素 压入堆栈S； (3) xS删除栈顶节点，并赋值给 ； 删除栈顶节点， 删除栈顶节点 并赋值给x； (4) StackEmpty（S）若S为空，则返回 ，否则返回 ． 为空， （ ） 为空 则返回1，否则返回0
2. 问题所涉及的数据结构是递归的，例如链表就是 问题所涉及的数据结构是递归的， 一种递归的数据结构. 一种递归的数据结构
例8.2 template <class T> void Search（Node <T> *p，T item） （ ， ） { if（p = = NULL） （ ） {cerr <<“Can not find the item .” ；return ；} if （p->data = = item） ） Dealwith（p）； （ ） else Search（p->next，item）； （ ， ） }
3. 问 题 的 解 法 满 足 递 归 的 性 质 ， 典 型 的 例 子是 Hanoi塔问题 塔问题. 塔问题
8.2 基本递归过程
递归调用分为内部调用与外部调用，调用的方式不同， 递归调用分为内部调用与外部调用，调用的方式不同，调 用结束时返回的方式也不相同. 用结束时返回的方式也不相同. 每次递归过程调用时，必须做地址保存、参数传递等工作 每次递归过程调用时，必须做地址保存、参数传递等工作. 需要保存的信息构成一个工作记录，通常包括如下内容： 需要保存的信息构成一个工作记录，通常包括如下内容： （1）返回地址，即本次递归过程调用语句的后继语句的地 ）返回地址， 址； （2）本次调用中与形参结合的实参值，包括函数名、引用 ）本次调用中与形参结合的实参值，包括函数名、 参数与数值参数等； 参数与数值参数等； （3） 本次递归调用中的局部变量值 ） 本次递归调用中的局部变量值.