2020年高考数学模拟广东省广州市天河区高考(理科)数学二模试卷 含解析

2020年高考数学二模试卷（理科）
一、选择题
1．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∪B等于（）A．∅B．R C．（3，+∞）D．（0，+∞）
2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角形式：e iθ＝cosθ+i sinθ，（i为虚数单位），根据该式，计算eπi+1的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．i
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＝30，a10＝4，则a9＝（）
A．2 B．3 C．4 D．8
4．函数f（x）＝A sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g（x）＝A cosωx的图象，只需将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
5．已知直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限围成的封闭图形的面积为a，则（﹣）5的展开式中，x的系数为（）
A．5 B．﹣5 C．20 D．﹣20
6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设a＞b＞0，a+b＝1，且x＝（）b，y＝ab，z＝a，则x、y、z的大小关系是（）
A．y＜z＜x B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．y＜x＜z
8．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）
A．B．C．D．
9．函数f（x）＝x sin x+﹣在区间[﹣2π，2π]上的大致图象为（）A．B．
C．D．
10．以双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于双曲线C的一个焦点F（c，0），与y轴交于P，Q两点，若|PQ|＝c，则双曲线C的离心率是（）
A．B．C．2 D．
11．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动（P点异于B、C1点），则下列四个结论：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变：
②A1P∥平面ACD1：
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）
A．3B．18 C．3﹣1 D．19﹣6
二、填空题
13．已知x与y之间的一组数据：
x0 2 4 6
y a 3 5 3a
已求得关于y与x的线性回归方程＝1.2x+0.55，则a的值为．
14．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝．
15．已知四棱锥S﹣ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于．
16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2），若对任意的正偶数k，λ（S k﹣3k）≥4恒成立，则实数λ的最小值为．
三、解答题：共70分．解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，.每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C ＝．
（1）求角C的大小；
（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求△ABC的周长．
18．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，∠ABD＝∠BCD＝90°，EC ＝．AB＝BD＝2．
（1）证明：平面EFC⊥平面BCD；
（2）若二面角D﹣AB﹣C为45°，求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．
19．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F1、F2为椭圆C左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由
20．已知函数f（x）＝﹣a（x﹣1）2+（x﹣2）e x（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性：
（2）若关于x的方程f（x）+a＝0存在3个不相等的实数根，求实数a的取值范围．21．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次：②混合检验，将其中k（k∈N*且k ≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
（i）若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）：
（ii）若，试讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.09．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选-一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l1，l2相互垂直，与曲线C分别相交于A，B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．
（1）求曲线C和射线12的极坐标方程；
（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∪B等于（）A．∅B．R C．（3，+∞）D．（0，+∞）
【分析】求定义域得集合A，求值域得集合B，根据并集的定义写出A∪B．
解：集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，
B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，
则A∪B＝{x|x＞0}．
故选：D．
2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角形式：e iθ＝cosθ+i sinθ，（i为虚数单位），根据该式，计算eπi+1的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．i
【分析】利用公式e ix＝cos x+i sin x，代入化简即可得出．
解：由e ix＝cos x+i sin x，
则e iπ+1＝cosπ+i sinπ+1＝0，
故选：B．
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＝30，a10＝4，则a9＝（）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S15＝30，a10＝4，
∴15a1+d＝30，a1+9d＝4，
联立解得：a1＝﹣5，d＝1，
则a9＝﹣5+8＝3．
故选：B．
4．函数f（x）＝A sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g（x）＝A cosωx的图象，只需将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【分析】由题意利用诱导公式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：∵函数f（x）＝A sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为＝，
∴ω＝3，f（x）＝A sin（3x+）．
要得到函数g（x）＝A cos3x＝A sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位，
故选：A．
5．已知直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限围成的封闭图形的面积为a，则（﹣）5的展开式中，x的系数为（）
A．5 B．﹣5 C．20 D．﹣20
【分析】定积分表示围成的图形的面积，然后计算求出a的值，根据二项式展开的公式将二项式展开，令x的幂级数为1，求出r，从而求解．
解：两个图形在第一象限的交点为（2，8），
所以曲线y＝x3与直线y＝4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx＝（2x2﹣x4）|02＝8﹣4＝4，
则（﹣）5展开式的通项公式为T r+1＝（﹣1）r C5r45﹣r x，
由﹣5＝1，解得r＝4，
则展开式中的系数为（﹣1）4C544＝20，
故选：C．
6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用祖暅原理可得：A、B在等高处的截面积恒相等”，可得：A、B的体积相等．即可判断出p与q的关系．
解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．
由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．
因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．
即p⇒q，反之不成立．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．
7．设a＞b＞0，a+b＝1，且x＝（）b，y＝ab，z＝a，则x、y、z的大小关系是（）
A．y＜z＜x B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．y＜x＜z
【分析】由已知得到a，b的具体范围，进一步得到ab，，的范围，结合指数函数与对数函数的性质得答案．
解：由a＞b＞0，a+b＝1，得0，，且0＜ab＜1，
则，，a＜，
∴x＝（）b＞0，
y＝ab＝﹣1，
0＝＞z＝a＞＝﹣1，
∴y＜z＜x．
故选：A．
8．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．
解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×＝，
其中比赛进行了3局的概率为×+×＝，
∴所求概率为＝，
故选：B．
9．函数f（x）＝x sin x+﹣在区间[﹣2π，2π]上的大致图象为（）A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，排除AD，求出f（）的值，排除B，即可得答案．
解：根据题意，f（x）＝x sin x+﹣，则f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；
当x＝时，f（）＝﹣（）+﹣＜0，排除B；
故选：C．
10．以双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于双曲线C的一个焦点F（c，0），与y轴交于P，Q两点，若|PQ|＝c，则双曲线C的离心率是（）
A．B．C．2 D．
【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x＝c，代入双曲线的方程，可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|＝2＝c，
可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
解：由题意可设F（c，0），
MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，
设x＝c，代入双曲线的方程可得y＝b＝，
即有M（c，），
可得圆的圆心为M，半径为，
即有M到y轴的距离为c，
可得|PQ|＝2＝c，
化简可得3b4＝4a2c2，
由c2＝a2+b2，可得3c4﹣10c2a2+3a4＝0，
由e＝，可得3e4﹣10e2+3＝0，
解得e2＝3（舍去），
即有e＝．
故选：A．
11．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动（P点异于B、C1点），则下列四个结论：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变：
②A1P∥平面ACD1：
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解．
解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，
故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；
对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，
所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．
12．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）
A．3B．18 C．3﹣1 D．19﹣6
【分析】由题意可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径的圆上，（x﹣a）2+（lnx ﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程求得切点，圆心和切点的距离d，可得距离的最小值为d﹣r，可得所求值．
解：（a+2）2+（b﹣3）2＝1，
可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径r的圆上，
（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，
设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，
可得•＝﹣1，
即有lnm+m2+2m＝3，
由f（m）＝lnm+m2+2m在m＞0递增，且f（1）＝3，
可得切点为（1，0），
圆心与切点的距离为d＝＝3，
可得（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（3﹣1）2＝19﹣6，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，
13．已知x与y之间的一组数据：
x0 2 4 6
y a 3 5 3a
已求得关于y与x的线性回归方程＝1.2x+0.55，则a的值为 2.15 ．
【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a的值．
解：＝3，＝a+2，
将（3，a+2）带入方程得：
a+2＝3.6+0.55，解得：a＝2.15，
故答案为：2.15．
14．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝ 6 ．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，
|FN|＝2|FM|＝2＝6．
故答案为：6．
15．已知四棱锥S﹣ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于π．
【分析】根据四棱锥S﹣ABCD的三视图，把四棱锥S﹣ABCD补成长方体，点S是所在棱的中点，设长方体的上下底面的对角线的交点分别为O1，O2，所以四棱锥S﹣ABCD的外接球的球心O在线段O1O2上，由三视图的数据可知：AB＝4，BC＝2，SC＝3，长方体的高O1O2＝，CO2＝，SO，设四棱锥S﹣ABCD的外接球的半径为R，得到，从而求出半径R，得到球O的表面积．
解：根据四棱锥S﹣ABCD的三视图，把四棱锥S﹣ABCD补成长方体，点S是所在棱的中点，
设长方体的上下底面的对角线的交点分别为O1，O2，
所以四棱锥S﹣ABCD的外接球的球心O在线段O1O2上，如图所示：
，
由三视图的数据可知：AB＝4，BC＝2，SC＝3，
∴长方体的高O1O2＝，CO2＝，
SO，
设四棱锥S﹣ABCD的外接球的半径为R，
∴在Rt△SOO1中：OO1＝，在Rt△COO2中：OO2＝，
∴，
化简得：R，
∴球O的表面积为：4πR2＝π，
故答案为：π．
16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2），若对任意的正偶数k，λ（S k﹣3k）≥4恒成立，则实数λ的最小值为8 ．
【分析】直接利用数列的通项公式的应用，递推关系式的应用，恒成立问题的应用求出结果．
解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．
则：，
所以数列{a n﹣3}是以a1﹣3＝1为首项，﹣为公比的等比数列．
所以，整理得，
所以，
所以＞0，
故对于任意的正偶数n，，恒成立．
等价于，对于任意的正偶数n恒成立．
由于，
所以，
所以，只需满足λ≥8．
故答案为：8．
三、解答题：共70分．解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，.每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C ＝．
（1）求角C的大小；
（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求△ABC的周长．
【分析】（1）由已知式化简可得，进而得到，由此即可求得角C的大小；
（2）由向量与共线结合正弦定理可得b＝2a，再利用余弦定理建立关于a的方程，解出即可求得周长．
解：（1）∵sin（C﹣）•cos C＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又C为△ABC的内角，
∴；
（2）∵向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，
∴sin B﹣2sin A＝0，
由正弦定理可知，b＝2a，
由（1）结合余弦定理可知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即，
∴，
∴△ABC的周长为．
18．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，∠ABD＝∠BCD＝90°，EC ＝．AB＝BD＝2．
（1）证明：平面EFC⊥平面BCD；
（2）若二面角D﹣AB﹣C为45°，求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．
【分析】（1）由勾股定理可证AC⊥CD，又CD⊥BC，则CD⊥平面ABC，得到CD⊥AB，又AB⊥BD，得到AB⊥平面BCD，进而得到EF⊥平面BCD，由此即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式即可求得余弦值．解：（1）证明：∵E，F分别是线段AD，BD的中点，AB＝BD＝2，
∴EF＝FD＝1，且EF∥AB，
∵∠ABD＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴，
又，
∴AC⊥CD，
又∠BCD＝90°，即CD⊥BC，
又AC∩BC＝C，且AC，BC均在平面ABC内，
∴CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AB，
又AB⊥BD，CD∩BD＝D，且CD，BD均在平面BCD内，
∴AB⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD，
又EF在平面EFC内，
∴平面EFC⊥平面BCD；
（2）由（1）可知，∠DBC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，即∠DBC＝45°，
过点B作BB′∥CD，如图，以B为坐标原点，BB′，BD，BA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），E（0，1，1），∴，，
设平面ACE的一个法向量为，则，可取；
设平面BCE的一个法向量为，则，可取；
如图可设二面角A﹣CE﹣B的平面角为锐角θ，则
，
即二面角A﹣CE﹣B的余弦值为．
19．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F1、F2为椭圆C左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由
【分析】（Ⅰ）由题意可得方程＝•2c•b＝4，e＝＝，且a2＝b2+c2；
从而联立解出椭圆C的方程为+＝1；
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个
交点M、N，则可得•＝0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，
联立方程组可得x1+x2＝﹣，x1x2＝；y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝；从而再由x1x2+y1y2＝0可得3m2﹣8k2﹣8＝0，从而可
解得m≥或m≤﹣；从而解出所求圆的方程为x2+y2＝；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．
解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0），
由题意可得，
＝•2c•b＝4，e＝＝，且a2＝b2+c2；
联立解得，；
故椭圆C的方程为+＝1；
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，
使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，
∵|+|＝|﹣|，
∴•＝0；
设M（x1，y1），N（x2，y2），
当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，
解方程组得，
（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；
即8k2﹣m2+4＞0；
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝；
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝；
要使•＝0，
故x1x2+y1y2＝0；
即+＝0；
所以3m2﹣8k2﹣8＝0，
所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；
解得m≥或m≤﹣；
因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝；
故r＝；
即所求圆的方程为x2+y2＝；
此时圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣；
而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆+＝1的两个交点为（，±），（﹣，±）；
满足•＝0，
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2＝满足条件．
20．已知函数f（x）＝﹣a（x﹣1）2+（x﹣2）e x（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性：
（2）若关于x的方程f（x）+a＝0存在3个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解；
（2）转化为相应的函数的交点问题，结合导数研究函数的特征，然后结合图象可求．
解：（1）f′（x）＝﹣a（x﹣1）+（x﹣1）e x＝（x﹣1）（e x﹣a），
∵a＞0，由f′（x）＝0可得x＝1或x＝lna，
（i）当0＜a＜e时，1＞lna，
在（1，+∞），（﹣∞，lna）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（lna，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
（ii）当a＝e时，lne＝1，f′（x）＞0在R上恒成立，即f（x）在R上单调递增；
（iii）当a＞e时，lna＞1，
在（lna，+∞），（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，lna）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
（2）∵f（x）+a＝＝（x﹣2）（e x﹣）＝0有3个实数根，x＝2显然是方程的一个解，故e x﹣＝0有2个实数根且x≠0，x≠2，
即a＝（x≠2），
令g（x）＝（x≠2），则，
当x∈（﹣∞，0），（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当∈（1，2），（2，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＜0时，g（x）＜0，x＝1时，g（x）取得极小值，g（1）＝2e，
又g（2）＝e2，则2e＜a＜e2或a＞e2．
21．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次：②混合检验，将其中k（k∈N*且k
≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，
因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
（i）若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）：
（ii）若，试讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.09．
【分析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）（i）由E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由E（ξ
）＝E（ξ2）求得p的值；
1
（ii）由题意得，即，设，
利用导数判断f（x）的单调性，求得k的最大值，即可得出结论．
解：（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，
则P（A）＝＝．
（2）（i）E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，
计算，，
所以，
由E（ξ1）＝E（ξ2），得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，所以（k∈N*且k≥2）．（ii），，所以，即．
设，，x＞0，
当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．
且f（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2＞0，，
所以k的最大值为8；
所以k∈[2，8]时，混合检验方式好，k∈[9，+∞）时，逐份检验方式好；
（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选-一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l1，l2相互垂直，与曲线C分别相交于A，B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．
（1）求曲线C和射线12的极坐标方程；
（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．
【分析】（1）由曲线C的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α，能求出l2的极坐标方程．
（2）依题意设，则，同理，由此能法语出△OAB的面积的最小值及此时α的值．解：（1）由曲线C的参数方程为，（t为参数），得普通方程为4y＝x2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得4ρsinθ＝ρ2cos2θ，
所以曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ，[或]
过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．
故l2的极坐标方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴＝
∵，∴0＜α＜π，∴＝≥16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
△OAB的面积的最小值为16，此时sin2α＝1，
得，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，去掉绝对值，求出a的范围即可；
（Ⅱ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可．
解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，
当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞，
当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，
当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜，
综上，a的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）＜b，
∴|x﹣a|+x＜b，
当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜，
当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，
由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈一、选择题*，故a＝1，b＝2．。