高三数学一轮复习课时作业17：定积分与微积分基本定理

第3节 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1.(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )
A.e ＋2
B.e ＋1
C.e
D.e －1
解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪
1
0)＝1＋e 1－1＝e.
答案 C
2.若⎠⎛1a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 ⎠⎛1
a ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2
＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，即a 2＋ln a ＝4＋ln 2，
故a ＝2. 答案 A
3.(2018·大连双基测试)π2
0⎰sin 2x
2d x 等于( )
A.0
B.π4－12
C.π4－14
D.π2－1
解析
π20
⎰
sin 2x
2d x ＝π2
⎰1－cos x 2
d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ＝π4－1
2.
答案 B
4.定积分⎠⎛02|x －1|d x 等于( )
A.1
B.－1
C.0
D.2
解析 ⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛1
2(x －1)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋(2－2)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－1＝1.
答案 A
5.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )
A.1
B.2
C.－1
D.－2
解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛
0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪
⎪a 0
＝a 3
，所以由f (f (1))＝1，得a 3＝1，a ＝1. 答案 A
6.由直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1 C.32 D. 3
答案 D
7.由y ＝x 2
，y ＝x 2
4，y ＝1所围成的图形的面积为( ) A.43 B.34 C.2 D.1
解析 如图所示，阴影部分的面积为 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛1
2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1
12＋2－112×23－1＋112＝43.
答案 A
8.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A.8
ln 3 B.8 C.
9
ln 3
D.9
解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点
E (2，9)，所以a 2
＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛
23x d x ＝
3x ln 3⎪⎪⎪20＝
8ln 3. 答案 A 二、填空题 9.⎠⎛1e ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋
1x d x ＝________. 解析 ⎠⎛1
e ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
2＋ln x ⎪⎪⎪e
1
＝e 22＋1－12＝e 2＋1
2.
答案 e 2＋12
10.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在1
2 s ～6 s 间的运动路程为________m.
解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨
⎪⎧2t （0≤t <1），
2 （1≤t ≤3），
13t ＋1 （3<t ≤6）.
由变速直线运动的路程公式，可得
所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是49
4 m.
答案 494
11.(2018·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，
e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围
成的封闭图形的面积为________.
解析 由题意知所求面积为⎠⎛－10
(x ＋1)d x ＋⎠⎛
01e x d x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪10
＝－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－1＋(e －1)＝e －12.
答案 e －1
2
12.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，
y ＝1，
解得x 1＝0，x 2＝2.
∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛0
2(－x 2＋2x )d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20
＝－83＋4＝43. 答案 43
能力提升题组 (建议用时：10分钟)
13.(2018·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），
x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )
A.π2＋4
3
B.π
2＋3
C.π4＋43
D.π4＋3
解析 ⎠⎛－12
f (x )d x ＝⎠⎛
－1
1
1－x 2d x ＋⎠⎛1
2(x 2－1)d x
＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 3－x ⎪⎪⎪21
＝π
2＋43.
答案 A
14.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )
A.－1
B.－13
C.13
D.1
解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，
设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，
∴f (x )＝x 2＋2m ，
⎠⎛0
1f (x )d x ＝⎠
⎛0
1(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪1
0 ＝1
3＋2m ＝m ，
∴m ＝－1
3. 答案 B
15.一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，
3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，
从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析 由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛2
4(3x ＋4)d x
＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42
＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J). 答案 36
16.(2018·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴
所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠
⎛0
1πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪
⎪
1
0＝π
3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.
解析 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π⎝ ⎛⎭⎪⎫e y 22
＝πe y ，积分
变量为y ，积分区间为『0，1』，即V ＝⎠⎛01πe y d y ＝πe y ⎪⎪⎪
1
0＝π(e －1).
答案 π(e －1)。