新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．若关于x 的不等式342
x
x a
+-在[0x ∈，1
]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(-∞，1
]2
-
B ．(0，1]
C ．1
[2
-，1]
D ．[1，)+∞ 2．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x
=
在区间I 上是减函数，那
么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数
()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[)2,+∞
C ．[]0,1
D ．[]1,2
3．已知函数()2,1
25,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()
12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R
4．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-
D ．()
(),13,-∞+∞
5．已知函数()3
1,03,0
x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()2
32f x f x ->的解集为（ ）
A ．()(),31,-∞-⋃+∞
B ．()
3,1-
C ．()
(),13,-∞-+∞
D ．()1,3- 6．如果函数()()()2
121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则
32a b +的最大值为（ ）
A ．4
B ．1-
C ．
23
D ．6
7．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7
8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，2
2
()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)
1
,4
⎡+∞⎢⎣
B ．)
1
,2
⎡+∞⎢⎣
C ．(
10,4⎤
⎥⎦
D ．(
10,2⎤
⎥⎦
9．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:
①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确
B ．①错误②错误
C ．①正确②错误
D ．①错误②正确
10．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且
(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )
A ．(2,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．(1,)-+∞
11．已知函数()2
f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,
上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关
D ．与a 无关，且与b 无关
12．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()2
8,
,63⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ） A ．
18
11
B ．3
C ．
4811
D ．4
二、填空题
13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数() 2
f x f x =的定义域是__________.
14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()
g x =
______．
15．设函数()x f x e =()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________.
16．已知函数()2
(1)m
f x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数
m =________.
17．若对任意02x ≤≤，恒有2
x ax b c ++≤成立，则当c 取最小值时，函数
()24f x x a x b x c =-+-+-的最小值为________．
18．若函数2()f x x k =+，若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则实数k 的取值范围是________.
19．若函数21
1
x y x -=
-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____. 20．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则
(2)g -=______．
三、解答题
21．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >． （1）求12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式2
()(86)1f x f x >--．
22．已知二次函数()2
f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭是偶函
数.
（1）求()f x 的解析式；
（2）已知2t <，()()2
13g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和
最小值；
23．已知奇函数()()2?
2,1,1x
x
f x a x -=+∈-． （1）求实数a 的值；
（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；
（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围． 24．已知函数()2
1
ax b
f x x +=+（其中a >0）为奇函数． （1）求实数b 的值；
（2）证明：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，
上是减函数； （3）若存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为[]
m n ，，求a 的取值范围．
25．已知a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．
（1）若不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，且函数()f x 的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值； （3）函数()f x 在区间[1,1]a +的最大值为()g a ，求()g a 的表达式． 26．已知函数()()9
0f x x x x
=+
≠. （1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性； （2）求不等式()()2
330f x
f x +≤的解集.
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1．D 解析：D 【分析】
利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【详解】
解：由题意知，342x
x a +-
在(0x ∈，1
]2上恒成立，设3()42
x f x x =+-，
则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222
f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：
本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.
2．D
解析：D 【分析】 求得
()4
2f x x x x
=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】
由二次函数的基本性质可知，函数()2
24f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.
设()()4
2f x g x x x x
=
=+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.
任取1x 、[
)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，
()()()121212121244
4422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()
21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，
122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，
所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]
0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)
(][]1,0,21,2I =+∞=.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.
3．A
解析：A 【分析】
首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =
，分别在12
a <和12a
≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】
当1x ≤时，()2
f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2
a
x =
的二次函数， ①当
12a
<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a
≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图
所示：
即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.
4．D
解析：D 【分析】
根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式
()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解
出x 的范围 【详解】
解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，
由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，
所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，
故选：D 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把
()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得
10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 5．B
解析：B 【分析】
先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =
在R 上单调递增，所以31
3
y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为x
y e =在R 上单调递增，所以x
y e =在[)0,+∞上单调递增，且
031
1003
e =>=⋅，
所以()f x 在R 上单调递增， 又因为(
)()2
32f x f x ->，所以2
32x
x ->，解得()3,1x ∈-，
故选：B. 【点睛】
思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.
6．C
解析：C 【分析】
分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得
32a b +的最大值. 【详解】
分以下几种情况讨论：
（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得
20b +<，
解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，
由于函数()()()2
121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()
2
121b a +-
≤-，
可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，
当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当23
43a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
则2423232333a b ⎛⎫
+≤⨯-+⨯= ⎪
⎝⎭
； （3）当10a ->时，即当1a >时，
由于函数()()()2
121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()
2
221b a +-
≥-，可得
42a b +≤，即24b a ≤-，
2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.
综上所述，32a b +的最大值为23
. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.
7．A
解析：A 【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 8．C
解析：C 【分析】
由于22
()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数
画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】
由题得， 当0x ≥时，2
2
()f x x a a =--，故写成分段函数
222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得2
22
,0()2,x x a f x x a x a
⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：
又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则
222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104
a <≤
. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】
①错误，可举反例：21()31
x
x f x x x ⎧=⎨
-+>⎩，
230
()30121x x g x x x x x +⎧⎪
=-+<⎨⎪>⎩
，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；
但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②
()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；
()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；
()f x ∴为奇函数；
同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．
10．A
解析：A 【分析】
由题可得[][]1122()()0f x x f x x ---<,可构造函数()()F x f x x =-是R 上的增函数,原不等式可转化为()()213F x F ->,再结合增函数的性质可求出答案. 【详解】 由题
意,[][]121211221122()()()()()()0f x f x x x f x x f x x f x x f x x -<-⇔-<-⇔---<, 因为12,R x x ∈且12,x x <所以函数()()F x f x x =-是R 上的增函数.
()3(3)31F f =-=,
因为(21)2(21)(21)1f x x f x x ->⇔--->,所以()()213F x F ->, 则213x ->,解得2x >. 故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的单调性的应用,构造函数()()F x f x x =-是解决本题的关键,属于中档题.
11．B
解析：B 【解析】
函数()2
f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2
a
x =-
为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22
a
-
<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （
） 在区间[]
2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当
022
a
≤-≤ ，即40a -≤≤ 时，
函数f x （）在区间[2]2a
--， 上递增，在[2]2
a -， 上递减， 且22f f -<（
）（） ， 此时2
322424
a a M m f f a -=---=--（）（），
故M m - 的值与a 有关，与b 无关
③当
202
a
-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2
a -，上递减，在[2]2
a --，上递增， 且22f f <-（）（）
此时2
22424
a a M m f f a -=--=-+（）（），
故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
12．C
解析：C 【分析】
首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2y
x ，8
3
y x =
，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.
由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
，解得1848,1111⎛⎫
⎪⎝⎭A . 所以()h x 的最小值为48
11
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定 解析：](1,2
【分析】
求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得 【详解】
因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤ 故答案为：](
1,2 【点睛】
对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出；
(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．
14．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义
解析：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】
根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =
.
【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()
g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得3
12x <≤， 即函数()
g x =
31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
求抽象函数定义域的方法：
已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式
()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；
已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数
()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.
15．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上
解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【分析】
首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围； 【详解】
解：因为x
y e =、y =
42y x =-在定义域上单调递减，所
以根据复合函数的单调性可得y =
在定义域上单调递减，所以
()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以
()()
001min f x f e ===-
对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立， 则只需()()12min min f x g x >
因为()g x mx =，[]
1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意； 当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；
当0m <时，()g x mx =，在[]
1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以
210
m m <-⎧⎨
<⎩解得1
2m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
16．2【分析】由函数是幂函数求得或结合幂函数的性质即可求解【详解】由题意函数是幂函数可得即解得或当时函数此时在上单调递增符合题意；当时函数此时在上单调递减不符合题意故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数
解析：2 【分析】
由函数()2
(1)m
f x m m x =--是幂函数，求得2m =或1m =-，结合幂函数的性质，即
可求解. 【详解】
由题意，函数()2
(1)m
f x m m x =--是幂函数，
可得211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-，
当2m =时，函数()2
f x x =，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意；
当1m =-时，函数()1
f x x -=，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，
故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的定义，结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键，着重考查运算能力.
17．【分析】由题意结合二次函数的图象与性质可得当c 可取最小值时再由零点分段法可得分段函数的解析式即可得解【详解】令由题意知当时c 可取最小值此时解得则所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数
解析：
198
【分析】
由题意结合二次函数的图象与性质可得当c 可取最小值时，2a =-、1
2
==b c ，再由零点分段法可得分段函数()f x 的解析式，即可得解. 【详解】
令()2
h x x ax b =++，由题意知当()()()021h h h ==-时，c 可取最小值，
此时()421b a b b a b =++⎧⎨=-++⎩，解得2
12a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，则()102c h ==，
所以()11
2422422
f x x a x b x c x x x =-+-+-=++-
+- 171,41132,84153,2871,2
x x x x x x x x ⎧
+≥⎪⎪
⎪+<<
⎪=⎨⎪-+-<≤
⎪⎪
⎪--≤-⎩， 所以()f x 的最小值为15193888f ⎛⎫
=-+= ⎪
⎝⎭
. 故答案为：19
8
. 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质与应用，考查了零点分段法的应用及分段函数最值的求解，属于中档题.
18．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得
解析：31,4⎡
⎫--⎪⎢⎣
⎭
【分析】
根据二次函数的单调性得出2
()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a b
f b a
=⎧⎨
=⎩，整
理得22a k b b k a
⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记
2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.
【详解】
∵函数2
()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a b
f b a =⎧⎨=⎩
，即
22
a k b
b k a
⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=， 由0a b <≤，且(1)b a =-+得112
a -≤<-
， 故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣
⎭内有实数解， 记2
()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪
⎪⎝
⎭⎩，即
()()221110
111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣
⎭.
【点睛】
关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.
19．【分析】先计算当和时的值然后分析原函数的图象性质根据函数的图象性质判断定义域【详解】令得令得函数则原函数在上单调递减在上递减画出函数的图象如图所示：由函数的图象可知当值域为时定义域应为故答案为：【点
解析：(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
【分析】
先计算当0y =和3y =时x 的值，然后分析原函数的图象性质，根据函数的图象性质判断定义域． 【详解】 令2101x y x -=
=-得1
2x =，令2131
x y x -==-得2x =，
函数212211
2111
x x y x x x --+=
==+---，则原函数在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上递
减，画出函数21
1
x y x -=
-的图象如图所示：
由函数21
1
x y x -=
-的图象可知，当值域为()[),03,-∞+∞时，定义域应为
(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
． 故答案为：(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
解答本题时，要先根据函数值域的端点求出自变量的值，然后通过原函数的图象及性质分析自变量的取值情况，其中将原函数解析式化为1
21
y x =+-，结合反比例函数的图象性质分析21
1
x y x -=
-的性质是关键． 20．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-
【分析】
分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】
令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，
所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-.
【点睛】
结论点睛：已知()(),0n
f x x a n Z n =+∈≠，
（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.
三、解答题
21．（1）1-； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）3
{|14
x x <<或3}x >. 【分析】
（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==
，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1
()12
f =-. （2）函数()f x 为增函数，证明如下： 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==
，根据题意，可得2
121()()()x f x f f x x +=，即2211
()()()x f x f x f x -=，
又由1x >时，()0f x >， 因为
2
11x x >，可得21
()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性.
（3）由题意和（1）可得1
1(86)1(86)()[(86)](43)2
2
f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2
()(86)1f x f x >--，即2
()(43)f x f x >-，
可得243430
x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >，
即不等式2
()(86)1f x f x >--的解集为3
{|14
x x <<或3}x >. 【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略：
解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.
利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 22．（1）()2
11f x x x =++；（2）见详解.
【分析】
（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线1
2
x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；
（2）先由（1）得到()222,0
2,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，
10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值. 【详解】
（1）因为二次函数()2
f x x bx c =++的图象经过点()1,13，
所以131b c =++，即12b c +=①； 又函数12y f x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭关于y 轴对称，
因此()y f x =关于直线1
2
x =-对称；
所以1
22
b -
=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()2
11f x x x =++； （2）由（1）()2
11f x x x =++，
所以()()()22
2
22,0111322,0
x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，
因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()2
2g x x x =-在[],2t 上单调递增；
所以()()max 20g x g ==，()()2
min 2g x g t t t ==-；
当01t ≤<时，()2
2g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；
所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；
当10t <时，因为0x <时，()2
2g x x x =-+在[),0t 上单调递增，
则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []
0,2x ∈时，()2
2g x x x =-在()0,1上
单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；
当1t <时，因为0x <时，()2
2g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以
(
)(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，
所以()()max 20g x g ==，()()2
min 2g x g t t t ==-+；
综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为
(
)2min
22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪
=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩
. 【点睛】 方法点睛：
二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 23．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案； （2）根据单调性的定义证明即可；
（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】 解：()
1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，
()0010f a ∴=+=，，
1a ∴=-，
此时().
22x x f x -=- 任取()()()
()112
222x
x x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．
故1a =-.
()()2f x 在()11-，上是增函数；
证明：由()1可知()1
22
x
x f x =-
，， 任取1211x x -<<<，则
()()121212112222x x x x f x f x ⎛
⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()
12121
1222
2x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
(
)
()
1212
121212
22122
22122
x x x x x x x x x x ++-⎛
⎫
=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 因为121211,20x x
x x +-<<><
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，
所以()f x 在()11-，上单调递增．
()()3f x 为奇函数，
()()f x f x ∴-=-．
由已知()f x 在()11-，上是奇函数， ()()1120f m f m ∴-+-<，
可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，
又由()2知()f x 在()11-，上单调递增，
11211m m ∴-<-<-<．
解得
213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫
⎪⎝⎭
， 【点睛】
本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解. 24．（1）0；（2）证明见解析；（3）（1，2）． 【分析】
（1）依题意可得()00f =，即可求出参数b 的值，
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）依题意结合（2）中函数的单调性，即可得到方程组，即可求出参数的取值范围； 【详解】
解：（1）由题意可知函数()2
1
ax b
f x x +=
+的定义域为R ，且为奇函数，所以()00f b ==，
经检验满足题意，所以b =0； （2）证明：由（1）知b =0，所以
()211ax a
f x x x x
=
=
++，则任取12x x <，则
12110x x -
>，因为12x x <，所以当()01x ∈，时，210x x ->，12
110x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则()f x 在()01，上是增函数；当()1x ∈+∞，时，210x x ->，()()1
f x +∞，，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，[]
m n ，上是减函数，
综上：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，
上是减函数； （3）由（2）知()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，
上是减函数，又存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为()22
1112am
m m an m n a f n ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=≤⎪⎩
，则221112a m a n a n ⎧=+⎪
⎪
=+⎨⎪
≤⎪⎩，化简得221
112a m a n a n
⎧=+⎪
⎪=+⎨⎪
≤⎪⎩，因为
0<m <n ，所以1<a <2，所以a 的取值范围为（1，2）． 【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
25．（1
）(a ∈
；（2）2；（3）()g a 2
62,2
6,2a a a a ->⎧=⎨-⎩
． 【分析】
（1）利用二次函数的性质列出关系式求解即可．
（2）根据二次函数定义域和值域之间的关系进行判断即可． （3）对对称轴分类讨论，得到最大值． 【详解】
解：（1）a R ∈，函数2
()25f x x ax =-+．开口向上，不等式()0f x >对任意的
x ∈R 恒成立，
可得：24200a -<
，解得(a ∈
．
（2）函数2
()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，则函数在[1,]a 上为减函数，
函数的值域为[1,]a ，∴()1f a =，即22251a a -+=，即24a =，
解得2a =-（舍)或2a =．
（3）函数2
()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上，
①当12
a
a +，即2a 时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为2(1)6f a a +=-； ②2a >时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为(1)f 62a =-．
所以()g a 2
62,2
6,2a a a a ->⎧=⎨-⎩
． 【点睛】
方法点睛：求二次函数的最值或值域时，关键在于确定二次函数的对称轴与所求的区间的关系，也即是二次函数在所求区间上的单调性，利用单调性求得值域． 26．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-. 【分析】
（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可； （2）法一：根据函数()()9
0f x x x x
=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.
法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2
330f x
f x +≤转化为解
()()2
33f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()
2
33f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集. 【详解】
解：（1）设123x x <<，
则()()()()
121212121212
999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭
因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增. （2）法一：原不等式可化为2
233
330x x x x
+
++， 即2
1120x x x x ⎛
⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
所以1
21x x -+
， 当0x >时，1
2x x
+，不合题意，舍去；
当0x <时，只需解12x x
-+
，可化为2
(1)0x +，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-.
法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增， 又()f x 为奇函数，()()2
330f x f x +≤，
所以()()()2
333f x
f x f x ≤-=-，
当0x >时，2
(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去； 当1x =-时，上式成立；
当1x <-时，2333x x >->，则()()2
33f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；
当10x -<<时，2
0333x x <<-<，则()()2
33f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；
综上所述，不等式的解集为{}1-. 【点睛】
确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；
（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；
（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.。