微分的概念与运算2-3
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
大学微分知识点总结
大学微分知识点总结一、导数与微分的概念1. 导数的定义函数y=f(x)在点x0处的导数，定义为：f'(x0) = lim Δx→0 (f(x0+Δx)-f(x0))/Δx如果这个极限存在，就称函数在点x0处可导，导数的值就是这个极限值。
2. 导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)，表示函数在这一点的切线的斜率，也就是函数在这一点上的瞬时变化率。
3. 微分的定义函数y=f(x)在点x0处的微分，定义为：dy = f'(x0)dx这个式子表示函数在某一点上微小的变化量dy与自变量的微小变化量dx之间的关系。
4. 微分的几何意义函数y=f(x)在点x0处的微分dy，是函数在这一点处的切线上的微小变化量，它与自变量的微小变化量dx之间存在着近似的线性关系，这个关系即为切线的斜率。
二、导数与微分的运算法则1. 基本导数常数函数的导数为0，幂函数的导数为nx^(n-1)，指数函数的导数为e^x，对数函数的导数为1/x，三角函数和反三角函数的导数等等都是微分学中比较基础的内容。
2. 导数的四则运算函数的和、差、积、商的导数与原函数的导数之间也有着一定的关系。
比如(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f' - g'， (fg)' = f'g + fg'， (f/g)' = (f'g - fg')/g^2。
3. 链式法则如果函数y=u(x)和v(x)都可导，那么复合函数y=u(v(x))的导数可以用链式法则表示：dy/dx = dy/du * du/dx4. 隐函数的求导当一个函数y=f(x)在方程F(x,y)=0中不能显式表示y时，此时的求导需要用到隐函数的求导方法。
5. 参数方程的求导当函数y=f(x)由参数方程x=x(t)，y=y(t)确定时，此时的求导需要用到参数方程的求导方法。
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
微分知识点总结
微分知识点总结一、微分的基本概念1. 导数的定义在微分的讨论中，导数是一个非常核心的概念。
在数学中，导数表示了函数在某一点的变化率，也可以理解成函数曲线在该点的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：\[ f'(x_0)=lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]2. 微分的概念微分是导数的一个相关概念，它主要研究了函数在某一点的局部线性变化。
设函数y=f(x)，在点x0处的微分dy定义为：\[ dy=f'(x_0)dx \]3. 微分形式微分dy=f'(x)dx这个等式称为微分形式，它表示了函数在某一点的微分。
在微分形式中，导数f'(x)表示了函数在该点的变化率，dx表示自变量x的变化量，dy表示因变量y的对应变化量。
4. 微分的几何意义从几何学的角度来看，微分表示了函数曲线在某一点处的切线斜率。
也就是说，微分可以帮助我们理解函数在某一点的局部变化规律，对于研究函数的极值、凹凸性、临界点等性质非常重要。
二、微分的性质1. 微分的线性性质设函数y=f(x)，g(x)分别在点x0处可导，常数a、b，则：\[ d(af(x)+bg(x))=af'(x)dx+bf'(x)dx \]这个性质表示了微分在加法、乘法和数乘方面的线性性质，这对于微分的运算和计算是非常重要的。
2. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)都分别在对应的点可导，那么复合函数y=f(g(x))在x0的微分为：\[ dy=f'(u)g'(x)dx \]链式法则是微分中的一个重要性质，它描述了复合函数的微分计算规则。
对于求解复合函数的微分非常有用。
3. 高阶微分高阶微分指的是对微分的多次计算，设函数y=f(x)，它的一阶微分为dy=f'(x)dx，二阶微分为d2y=f''(x)dx2，以此类推。
微分运算法则
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可微
可导
2. 微分运算法则
微分形式不变性 :
( u 是自变量或中间变量 )
3. 微分的应用
近似计算 估计误差
思考与练习
1. 设函数 处的
的图形如下, 试在图中标出的点
及
并说明其正负 .
2.
5. 设
求
由方程
解: 方程两边求微分,
得
当
时
由上式得
确定,
作业
与
是等价无穷小,
故当
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
当 很小时,
记
则有
自变量的微分,
从而
记作 导数也叫作微商
例如,
又如,
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(C 为常数)
5. 复合函数的微分 则复合函数分别Fra bibliotek微 , 的微分为
微分形式不变
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,
其
边长由
变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在
取
得增量
时, 面积的增量为
关于△x 的线
时为
性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
定义: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 的微分,
P123 1 ;
3 ; (4) , (7) , (8) , (9) , (10)
4 ; 5;
8 9 (1) ;
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用微分是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
在微分中，有一些运算法则可以帮助我们简化复杂的函数求导过程，而微分在近似计算中也有广泛的应用。
一、微分的运算法则1.常数微分法则：如果常数函数f(x)=C，其中C为常数，那么它的导数f'(x)=0。
2.幂微分法则：如果函数f(x) = x^n，其中n为常数，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3.和差微分法则：如果函数f(x)=g(x)±h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)±h'(x)。
4.乘积微分法则：如果函数f(x)=g(x)*h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
5.商微分法则：如果函数f(x)=g(x)/h(x)，那么它的导数f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^26.复合函数微分法则：如果函数f(x)=g(h(x))，那么它的导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
7.反函数微分法则：如果函数y=f(x)有反函数x=g(y)，那么f'(x)*g'(y)=1，也就是说f'(g(y))=1/g'(y)。
微分在近似计算中有很多应用，以下介绍其中的几种常见应用。
1.切线近似法：利用微分的定义，可以得出函数在其中一点的切线方程。
利用切线方程，我们可以近似得到函数在该点附近的函数值。
这在物理学中常用于速度和加速度的计算中。
2.极值问题的求解：在求解函数的极值问题时，可以利用函数在临界点附近的导数信息。
通过求导找到函数的临界点，计算函数在这些临界点处的函数值，比较函数值的大小，就可以得到函数的极值。
3.弧长的计算：将弧长表示为函数关于自变量的微分形式，通过计算微分形式的积分，就可以得到两个点之间的弧长。
微积分的基本概念与运算
三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式 ，如f(x)=sin(x)，则 f'(x)=cos(x)。
四则运算法则及复合函数求导法则
01
四则运算法则
02
复合函数求导法则
包括加法、减法、乘法、除法的导数运算法则，如 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)等。
若y=f(u)且u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为 y'={f[g(x)]}'=f'(u)*g'(x)。
导数几何意义及应用
导数几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。对于一元函数y=f(x)，其在点x0处的导数f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率。
导数应用
导数在数学、物理、工程等领域有广泛应用。例如，在求函数的极值、判断函数的单调性、解决最优 化问题等方面都需要用到导数。此外，在物理学中，速度、加速度等概念也与导数密切相关。
通过求导可以得到物体的瞬时速度和加速度 ，进而研究物体的运动状态。
微分方程在力学中的应用
利用微分方程可以描述物体的运动规律，如 牛顿第二定律的微分方程形式。
振动与波动问题的分析
微积分在振动与波动问题的分析中有着广泛 的应用，如简谐振动的微分方程描述。
经济学中边际分析和弹性分析问题
边际分析
在经济学中，边际分析是一种重 要的决策方法，通过求导得到边 际成本、边际收益等经济量，进 而研究经济现象的变化规律。
积分几何意义及应用
积分几何意义
定积分的几何意义是曲线与x轴所围成的面积，而不定积分的几何意义则是求 曲线在某一点处的切线斜率。
培训学习资料-微分的概念_2022年学习资料
依次下去，可由n-1阶微分求n阶微分：-d”y=dd”-1y=dfn-xdx”-=fmxdx".-对n≥2 n阶微分均称为高阶微分.高阶微分不-具有形式不变性.当x是自变量时，y=∫x的二-阶微分是-d-y=f"x x2;-6-当x是中间变量y=fx,x=pt时，二阶微分-ppt课件-15
d2y =df'xdx=f"xdxdx+f'xddx-=f"xdx2+f'xd2x.-7-它比（⑥式多了一 ∫'xdx,当x=pt时，-dx=p"tdt2不一定为0，而当x为自变量时，-d2x=0.-例4设y=fx sinx,x=pt=t2,求d2y.-解法一先将x=pt代入y=fx,得y=sint2,-于是y'=2 t cost2,y”=2cost2-4t2sint2.由6得-ppt课件-16
更通俗地说，dy是△y的线性近似.-定理1函数f在点x。可微的充要条件是∫-点o可导，且dfxx=n=f' oAr.-证（必要性）如果f在点xo可微，据1式有-△y=A+01.-△X-于是-f'xo=lim-Ay1imA+o1=A,-△x-→0△X-△x→0-ppt课件-5
即f在点x,可导，且f'xo=A.-充分性设∫在点xo处可导，则由∫的有限增量-公式△y=∫'xoAx+o x,说明函数增量△y可-表示为△x的线性部分f'xo△x,与关于△x的高-阶无穷小量部分0（公x之和.所以 在点xo可微，-且dyx=,=f'xoA.-微分概念的几何解释，示于下图：-ppt课件-6
d2y =2cost2-4t2sint2dt2.-解法二依7式得-d2y=f"xdx2+f'xd2x-=inxdx2+cosxd2x-=-sint2.2t dt2+cost2.2dt2-如果将f'xdx漏掉就会 生错误-ppt课件-17
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分
第二节 微分§2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。
例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。
如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。
因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy?假设f ′(x)存在，则0x lim→∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆x y∆∆＝f ′(x ０)，有 xy∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx∆∆∂＝０(1)即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。
从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。
二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。
则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。
三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。
因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。
一、微分的概念
f ( x ) (Δ x )2 f ( x ) (d x )2 .
或写作 d 2 y f ( x )d x 2 , 称为 f 的二阶微分.
注 由于 Δ x 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 d(Δ x )
d(d x ) d 2 x 0, 它与 d x 2 (d x )2 , d( x 2 ) 2 x d x
sin x x, tan x x, ln1 x x , e x 1 x .
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). π π π ), 取 f ( x ) sin x , x0 , 解 sin 33 sin( 6 60 6 x π , 由公式 (9) 得到 60
果已知测量值 x0 的误差限为 x , 即
| Δ x | | x x0 | x ,
则当 x 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:
| Δ y | | f ( x ) f ( x0 ) | | f ( x0 )Δ x | | f ( x0 ) | x .
Δ x 的线性部分 2 xΔ x 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因
此, 当边长 x 增加一个微小量 Δ x 时, Δ S 可用 Δ x
的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于
2 ( Δ x ) 的高阶无穷小量 , 即以 Δ x 为边长的小 Δx
正方形(如图).
x2
2
xΔ x
Δx
xΔ x
d (sin x ) cos x dx ;
ห้องสมุดไป่ตู้
d (a ) a ln a dx .
x
x
二、微分的运算法则
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
微分与导数的基本概念及其几何意义
微分与导数的基本概念及其几何意义微分与导数是微积分的基础概念，它们在数学和物理等领域中具有重要的应用。
本文将详细讨论微分与导数的基本概念，以及它们的几何意义。
1.微分的基本概念微分是函数微分学的重要概念之一，它表示函数在某一点附近的线性逼近。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，在x点处，如果存在一个常数k，使得当x趋近于x点时，有以下逼近关系成立：f(x + △x) ≈ f(x) + k△x其中，△x表示x的变化量。
如果k存在且唯一，那么称k为函数f(x)在x点处的微分，记作df(x)。
微分df(x)表示函数f(x)在x点处的变化量。
2.导数的基本概念导数是函数微分学中的另一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，在x点处，如果以下极限存在：lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x))/△x= f'(x)〗那么，该极限值f'(x)称为函数f(x)在x点处的导数，也可以记作dy/dx。
导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
3.微分与导数的关系微分和导数是紧密相关的概念，它们之间有以下关系：df(x) = f'(x)dx这个关系式表明，微分和导数是一一对应的关系。
微分df(x)是函数f(x)在x点处的变化量，而导数f'(x)是函数f(x)在x点处的变化率。
微分和导数互为逆运算。
4.微分与导数的几何意义微分和导数的几何意义可以通过函数图像来解释。
(1) 微分的几何意义微分可解释为函数图像在某一点处的切线斜率。
任意函数的导数可以从该函数的微分中获取。
微分df(x)可以表示函数f(x)在x点附近的线性逼近，那么df(x)的斜率即为f(x)在x点处的导数。
(2) 导数的几何意义导数可解释为函数图像上各点处的切线斜率。
函数曲线在某一点处的切线斜率就是该点处的导数值。
导数描述了函数在各点处的瞬时变化率。
通过几何意义，我们可以直观地理解微分和导数的含义。
02-3微分法 二阶导数和二阶微分(1)
证(1)、(2)略. 证(3)
u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) f ( x h) f ( x ) lim f ( x ) lim h 0 h 0 h h u( x h)v ( x ) u( x )v ( x h) lim h 0 v ( x h)v ( x )h
u( x ) 设 f ( x) , (v ( x ) 0), v( x )
[u( x h) u( x )]v ( x ) u( x )[v ( x h) v ( x )] lim h 0 v ( x h)v ( x )h u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) v ( x ) u( x ) h h lim h 0 v ( x h)v ( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) [v ( x )]2
则 y f ( u0 )u u
y u u lim lim [ f ( u0 ) ] x 0 x x 0 x x u u f ( u )( x ). f ( u0 ) lim lim lim 0 0 x 0 x x 0 x 0 x
y f ( x )的微分形式总是
微分形式的不变性
dy f ( x )dx
例1 设 y ln( x e ), 求dy. 解 dy 例2
x 1 2 xe d ( x e ). dx . x2 2 xe x ex
2
x2
1
x2
设 y e 1 3 x cos x, 求dy.
例3 求函数 y 解 y
微分总结归纳
微分总结归纳微分是微积分的基础概念之一，是研究函数局部变化的工具。
通过微分运算，我们能够获得函数在某一点的斜率，进而揭示函数的特点和规律。
本文将对微分的基本概念、计算方法以及应用进行总结归纳。
一、微分的基本概念微分的基本概念可以用极限的思想来解释。
对于函数y=f(x)，在点x处的微分记作dy，表示函数在该点附近的一个小区间内的增量。
微分dy与自变量增量dx之间的关系可以用以下式子表示：dy = f'(x)dx其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数值，也称为函数的斜率或变化率。
微分的概念意味着我们可以用导数来描述函数在某一点的变化情况。
二、微分的计算方法微分的计算方法是微积分的重点之一。
根据函数的不同形式，我们可以采用不同的方法来进行微分计算。
1. 基本函数微分对于常见的基本函数，我们可以直接利用导数的定义和常用的导数公式进行微分计算。
例如，对于幂函数y=x^n，我们有如下的微分公式：dy/dx = nx^(n-1)2. 复合函数微分当函数是由多个基本函数复合而成时，我们需要运用链式法则进行微分计算。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
通过链式法则，我们可以逐步求解复杂函数的微分。
3. 隐函数微分当函数表达式中含有隐含的关系时，我们需要借助隐函数微分来求解函数的导数。
隐函数微分要求我们将含有导数的各项分离，并利用导数间的关系进行计算。
隐函数微分的思想在实际问题中具有广泛的应用。
三、微分的应用微分不仅是一种数学工具，同时也具有广泛的应用价值。
微分在物理学、经济学、生物学等领域都发挥着重要作用，以下是微分在几个典型应用中的体现。
1. 极值问题微分可以帮助我们判断函数的极值点。
通过求解导数为0的方程，我们可以找到函数取得极大值或极小值的点。
在实际问题中，极值问题是一类常见的优化问题，微分的方法为我们提供了寻找最优解的思路。
2. 斜率问题微分可以描述函数在某一点的斜率，从而帮助我们研究函数的变化趋势。
第三节微分理解微分的概念了解微分的几何意义掌握微分形式不变性和微分的运算法则会求函数的微分了解
第三节微分理解微分的概念了解微分的几何意义掌握微分形式不变性和微分的运算法则会求函数的微分了解微分是微积分的核心概念之一，是研究函数局部变化的工具。
本节将从理解微分的概念、了解微分的几何意义以及掌握微分形式不变性和微分的运算法则来探讨微分的性质，并展示如何求解函数的微分。
一、微分的概念微分是函数的局部变化率，表示函数在其中一点附近的变化情况。
在函数f(x)中，若f(x)在x0点处可导，则f(x)在x0处的微分为df=f'(x0)dx。
其中dx表示自变量x的微小增量，f'(x0)表示函数f(x)在x0点处的导数。
二、微分的几何意义微分的几何意义是切线的斜率。
对于函数f(x)，若f(x)在x0点处可导，则其切线的斜率就是该点处的导数f'(x0)。
因此，微分可以用来刻画函数的局部变化情况。
三、微分形式不变性微分形式不变性指的是在函数变量的代换下，微分不会改变。
比如函数y=f(x)，若x=g(t)，则dy=f'(x)dx=f'(g(t))g'(t)dt。
这说明无论是用哪个自变量求微分，结果都是一样的。
四、微分的运算法则1.和差法则：（f±g）'(x)=f'(x)±g'(x)2.常数倍法则：(af)'(x)=af'(x)，其中a为常数3.乘法法则：(f×g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)4.除法法则：(f/g)'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)，其中g(x)≠0五、求函数的微分1.对于多项式函数：若f(x)=a⋅x^n，其中a和n都是常数，则f'(x)=na⋅x^(n-1)。
2.对于指数函数：若f(x)=a^x，其中a是常数，则f'(x)=ln(a)⋅a^x。
3.对于对数函数：若f(x)=log_a(x)，其中a是常数，则f'(x)=1/（x⋅ln(a)）。
微分与积分的基本概念与运算法则
积分的几何意义
面积：定积分表示曲线下面积 高度：不定积分表示曲线下的高度 体积：三重积分表示空间物体的体积 流速：曲线积分表示流速场中某点的流速
积分具有线性性质，即积分可按照 线性组合进行计算。
积分的基本性质
积分具有可积性，即如果函数在区 间[a,b]上连续，则该函数在此区间 上可积。
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应用：在微分方程、泰勒级数展开 等场合中应用广泛。
积分的运算分具有线性性质，即对于函数的和或差的积分，可以 分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
积分的基本运算法则：包括乘积法则、幂函数法则、正弦函数和余弦函数 法则等，这些法则可以帮助我们简化积分的计算过程。
积分的几何意义：积分的结果可以理解为函数图像与x轴所夹的面积，即定 积分的结果为面积的代数和。
积分的物理意义：在物理中，积分可以用来计算变力的做功、流体的流量 等物理量。
乘积的积分法则
乘积的积分法则：∫(uv)dx = ∫(u)dx * ∫(v)dx 应用场景：适用于两个函数的乘积的积分计算 推导过程：根据积分性质，将乘积分解为两个函数的积分相乘 注意事项：在使用乘积的积分法则时，需要注意函数的定义域和积分的上下限
微分与积分的基本 概念与运算法则
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目录
01 单击此处添加目录标题内容 03 积分的概念 05 积分的运算法则
02 微分的基本概念 04 微分的运算法则 06 微积分的应用
添加章节标题
微分的基本概 念
微分是函数在某一点的变化率的近 似值
微分的定义
微分是一种线性逼近函数的方法， 可以用于估计函数在某点的变化趋 势
复合函数的微分法则
乘积法则：描述了两个函数 的乘积的导数计算方法
微分与积分的基本性质与运算规则
微分与积分的基本性质与运算规则微分与积分是微积分学的基础概念，它们的基本性质和运算规则对于求解各种数学问题至关重要。
本文将对微分与积分的基本性质和运算规则进行详细的介绍与阐释。
一、微分的基本性质与运算规则1. 微分的定义：微分代表了函数对自变量的变化率。
设函数y=f(x)，当自变量x在某一点x₀发生微小变化Δx时，对应的函数值变化量为Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)。
微分dy定义为当Δx趋近于0时Δy的极限，即dy=lim(Δx→0)(Δy/Δx)，也可用更加简洁的形式表示为dy=f'(x₀)dx。
2. 运算规则：a. 常数微分法：对常数C，其微分为dC=0。
b. 基本函数微分法：对于基本函数的导数，有以下规则：- 导数和差积法则：设u(x)和v(x)是可导函数，常数k，有(d/du(u+v))=du+dv和(d/du(u−v))=du−dv；- 常数倍法则：对于y=kf(x)，有(d/dx(y))=k(df(x)/dx)；- 幂函数：对于函数y=x^n，有(d/dx(y))=nx^(n-1)；- 指数函数和对数函数：对于函数y=a^x和y=log_a(x)，有(d/dx(y))=a^x·ln(a)和(d/dx(y))= 1/(xln(a))。
3. 高阶微分：在函数的微分的基础上，还可以进行高阶微分。
如果函数f(x)的一阶导数f'(x)可导，那么f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，以此类推。
二、积分的基本性质与运算规则1. 积分的定义：积分代表了函数下方曲线与x轴之间的“面积”。
设函数y=f(x)，在区间[a, b]上的积分是由x=a到x=b之间的所有小矩形的面积之和的极限，记为∫[a, b]f(x)dx。
2. 运算规则：a. 常数积分法：对常数C，其积分为∫Cdx=Cx；b. 基本函数积分法：对于基本函数的积分，有以下规则：- 常数倍法则：∫k·f(x)dx=k∫f(x)dx；- 恒函数积分法：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是常数；- 幂函数积分法：对于y=x^n，当n≠-1时，有∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C；- 指数函数和对数函数积分法：对于y=e^x和y=1/x，它们的积分分别为∫e^xdx=e^x+C和∫1/x dx=ln|x|+C。
x02-3微分法二阶导数和二阶微分
微分法 二阶导数和二阶微分
一、四则运算法则
定理 如果u 函 (x),数 v(x)在点 x处可 ,则 导它 们的和、差 (分、 母积 不 )在 、 为 点 x商 处 零也 可,导 并且
(1)[u(x)v(x)]u(x)v(x); (2)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x); (3)[u v((xx))]u(x)v(xv)2(xu)(x)v(x) (v(x)0).
求y.
ox(t1x2)2xcsxc (1x2)2
coxt(1x2)2x 2csxc
(1x2)2
反函数的导数
定理 如果函数 x(y)在某区间Iy内单调、可导 且(y)0, 那末它的反函数 yf(x)在对应区间
Ix内也可导, 且有 f(x) 1 .
(y)
证 任x取 Ix, 给x以增x量( x 0 ,x x I x )
(e x ) e x (ln x ) 1
x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
h
h 0
v(xh )v(x)
u(x)v(x)u(x)v(x)
[v(x)2]
f(x)在x处可. 导
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdud
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
可以先计算导数,再计算微分dy=f’(x)dx 也可以先计算微分再计算导数
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绝对误差与 x0 的比值
x x0 x0
为 x0 的相对误差。
在实际问题中，精确值 x 是不知道的，故 绝对误差、相对误差无法求得，只能根据测量 仪器的精度等因素，设法确定误差的范围， x x0 x 称 x 为绝对误差限，
16
x 为相对误差限。 x0
微分运算提供了：先测量 x 的值，再根据关系式 y = f (x) 来计算 y ，这就要求根据 x 的误差范围 估计 y 的误差范围的估计方法。
3）f (x) 在点 x = 0 附近的近似值
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x f ( x ) f (0) f (0) x
常用的近似公式 （ x 很小时） 1 n 1) 1 x 1 x n 2) sin x x （x 为弧度）
y
17
例14：正方形边长为 2.41 0.005 米, 求出它
的面积, 并估计绝对误差与相对误差。
18
y dy f ( x0 )x f ( x0 ) x
取 y f ( x0 ) x
f ( x0 ) x x0 f ( x0 ) x f ( x0 ) x0 y0 f ( x0 ) x0 f ( x0 ) * * y x f ( x0 )
2）函数的近似值 f (x) 在点 x = x0 附近的近似值 由微分定义可知： f ( x0 x ) f ( x0 ) df ( x ) x x0 o( x )
f ( x0 )x
x 的高阶无穷小
12
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x
2. d ( fg ) gdf fdg
1
f gdf fdg 3. d ( ) ( g 0) 2 g g dy 1 4. dx [ f ( y)]dy f ( x )
5. d[ f ( g ( x ))] f ( u) g( x )dx
2
二、一阶微分形式的不变性 设函数 y = f (x) 有导数 f ( x ) 1）若 x 是自变量，则 dy f ( x )dx
§3 微分运算
一、基本初等函数的微分公式 对可微函数 y = f (x) ，其微分 dy f ( x )dx 由求导公式和求导运算法则，可直接得到如下 微分公式和微分运算法则。
1）基本初等函数的微分公式（p67） 2）微分运算法则 设 f 和 g 均是可微函数， , 是常数，
则 1. d ( f g ) d ( f ) d ( g ) df dg
2）若 x 是中间变量时，即另一变量 t 的可微函数
函数 x (t ) ，则
dy ( f )(t )dt f [ (t )] (t )dt f ( x )dx
所以，无论 x 是自变量还是中间变量， 函数 y = f (x) 的微分形式
dy f ( x )dx 始终保持不变。
令 x0 0 x x
3) tan x x （x 为弧度） 4) e x 1 x 5) ln(1 x ) x
13
注意：
1）正确选择 x0 和 x (or x x0 ) ，原则上所选 x0 , 使 f ( x0 )、f ( x0 ) 易计算，相应的 x (or x x0 ) 尽可能的小。 2）自变量增量 x 可取负值。
隐函数：y 与x 的关系不易或不能相互显表示，
而是由一个解析式表示 F ( x, y ) 0 2 2 x y 如： 2 2 1, cos xy Inxy 2 0 a b
隐函数的 F (x, y) = 0 求导法则： 用复合函数求导法则同时对方程两边求导。
6
cos xy Inxy 2 0 求 y 例 5、
例11、计算 例12、计算
3
998.5 的近似值。
3 的近似值。
14
2、微分的实际应用 微分的真正作用是“自然规律的数学表示”， 也即“自然规律的数学模型”。
例13、矩阵水闸门的压力研究 求水利工程中，矩阵闸门上的总压力。
0
x
x x
F
h
b
15
3、误差估计 1）绝对误差 如果某个量得精确值为 x ，它的近似值为 x0 ， 那么 x x0 为 x0 的绝对误差。 2）相对误差
例10、设曲线 由极坐标方程 r r ( ) 所确定 上点 e , 处的切线的直角坐标方程。 2
10
思考题
( t ) x (t ) 设 ， 由 y x ( t ) y (t )
( ( t ) 0)
( t ) ，对吗？ 可知 y x ( t )
11
五、微分的应用 1、近似计算 1）函数增量的近似值 若 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 0 ， 且 x 很小时，y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x
d 2 y d dy d ( t ) dt 2 dx dx dx dt ( t ) dx ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 [ ( t )]2 ( t )
9
x a cos 3 t d2y 例9、求由方程 表示的函数的 2 3 dx y a sin t
x 2t y 例 8、 求 2 y t
8
问题：消去参数困难或无法消去参数时，如何求导？ x (t ) 设在方程 中， y (t ) 若函数 x (t ), y (t ) 都可导，且 (t ) 0, dy dy ( t ) dt 则曲线的切线的斜率： ( t ) dx dx dt 若函数 x (t ), y (t ) 二阶可导， 则
3
2x y In (1 e ) 求 dy 例 1、
例2、对于 y = f (x) 求 d y .
2
4
dy 例3、设 y arctan(1 e ) ，求 d tan x
x
例4、设 y = f (x) 由方程 xy2 sin x 3 y 3 x 确定， 求 dy .
5
三、隐函数求导 函数 y 可用变量 x 的方程来表示 y = f (x) 显函数：
例6、设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy ，求过 C 上 3 3 点 ( , ) 的切线方程，并证明曲线 C 在该点的 2 2 法线通过原点。
例7、 x xy y 1 求 y 在点 (0, 1) 处的值。
4 4
7
四、参数方程求导 平面直角坐标系中，一般曲线可以用参数给出， x (t ) t [ , ] 确定 y 与x 间的函数关系， y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数。