部编版高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)
单选题
1、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ）
A ．5−1sin1
B ．1sin1+32
C ．5sin11+sin1
D ．5+51+sin1
答案：C
分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.
设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20，
所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，
所以面积取最大值时R =5,α=2，
如下图所示：
设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点，
因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO =5，所以r +r sin1=5，
所以r =5sin11+sin1，
故选：C.
2、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．2π3
D ．π
答案：A
分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.
易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3
)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3
⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a 的最大值为π3. 故选：A.
3、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（ ）
A ．(0,0)
B ．(0,−
√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 答案：D
分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解.
解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6， 令k =0,∴x =π6， 所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).
故选：D
4、为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）
A ．向左平移π5个单位长度
B ．向右平移π5个单位长度
C ．向左平移π15个单位长度
D ．向右平移π15个单位长度 答案：D
分析：根据三角函数图象的变换法则即可求出．
因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．
故选：D.
5、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳
定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .
A ．2
B ．3
C ．5
D ．10
答案：C
分析：设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2，
依题意可得A =4，ω=
8π60=2π15，φ=−π6， 所以ℎ(t)=4sin(
2π15t −π6)+2， 令ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)=6，得sin(2π15t −π6)=1，得2π15t −π6=2kπ+π2，k ∈Z ，
得t =15k +5，k ∈Z ，
因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <
2π2π15=15， 所以k =0,t =5s .
故选：C
6、已知sinθ=45，则
sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（ ） A ．−169B ．169C ．−43D ．43
答案：B
分析：由诱导公式和同角关系
sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.
∵ sinθ=45， ∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925
则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θ
cos 2θ=169，
故选：B.
7、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα
，则tanα=（ ） A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153 答案：A
分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=
2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
∵tan2α=
cosα2−sinα ∴tan2α=sin2αcos2α=
2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα， ∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14，
∴cosα=√1−sin 2α=
√154，∴tanα=sinαcosα=√1515
. 故选：A.
小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα.
8、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ）
A ．π12
B ．π6
C ．π3
D ．2π3 答案：D
分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3
=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.
将y=2sin(x+π
3)向左平移m(m>0)个单位长度得：y=2sin(x+m+π
3
)，
∵y=2sin(x+m+π
3
)图象关于原点对称，
∴m+π
3=kπ(k∈Z)，解得：m=−π
3
+kπ(k∈Z)，又m>0，
∴当k=1时，m取得最小值2π
3
.
故选：D.
多选题
9、如图，正方形ABCD的长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f(x)，则下列说法正确的是（）
A．f(π
4)=1
2
B．f(x)在(π
2
,π)上为减函数
C．f(x)+f(π−x)=4D．f(x)图象的对称轴是x=π
2
答案：AC
分析：求出当0<tanx≤2时，函数f(x)的解析式，可判断A选项的正误；利用f(x)的单调性可判断B选项的正误；利用对称性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
对于A选项，当0<tanx≤2时，设OP交AB于点E，
tanx=tan∠AOE=|AE|
|OA|=|AE|，所以，f(x)=1
2
|OA|⋅|AE|=1
2
tanx，
∵0<tanπ
4≤2，∴f(π
4
)=1
2
tanπ
4
=1
2
，A选项正确；
对于B选项，当x∈(π
2
,π)时，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即
函数f(x)在(π
2
,π)上单调递增，B选项错误；
对于C选项，取BC的中点G，连接OG，
设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，
则∠FOD=x，所以，∠AOF=π−x，
将射线OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S=f(x)，
因为S+f(π−x)=4，即f(x)+f(π−x)=4，C选项正确；
对于D选项，由C选项可知，f(x)+f(π−x)=4，则f(π
4)+f(3π
4
)=4，
所以，f(3π
4)=4−f(π
4
)=7
2
≠f(π
4
)，
所以，函数f(x)的图象不关于直线x=π
2
对称，D选项错误.
故选：AC.
小提示：关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数f(x)的单调性时，需要充分利用f(x)的几何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定.
10、下列各式中值为1
2
的是（）．
A．2sin75°cos75°B．1−2sin25π
12
C．sin45°cos15°−cos45°sin15°D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°
答案：AC
分析：选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.
因为2sin75°cos75°=sin (2×75°)=12，故选项A 正确； 因为1−2sin 25π12=cos (2×5π12)=−√32，故选项B 错误；
因为sin45°cos15°−cos45°sin15°=sin (45°−15°)=12，故选项C 正确；
因为1=tan (20°+25°)=tan20°+tan25°1−tan20°tan25°，
整理得，tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1，故选项D 错误；
故选：AC.
11、已知函数f(x)=3sin(ωx +π3)(ω>0)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，则下列结论正确的是（ ） A ．f(x)的最小正周期为2π
B ．f(x)的图象关于(−π6,0)对称
C ．f(x)在(−5π12,π12)上单调递减
D ．f(x)的图象关于直线x =
7π12对称
答案：BD 分析：先利用f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出ω值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.
因为f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，
所以T 4=π4，即T =π，即选项A 错误； 由T =2πω=π，得ω=2，即f(x)=3sin(2x +π3
)， 因为f(−π6)=3sin(−π3+π3
)=3sin0=0， 所以f(x)的图象关于(−π6,0)对称，即选项B 正确；
当−5π12<x <π12时，则−π2<2x +π3<π2
， 所以f(x)=3sin(2x +π3)在(−5π12,π12)上单调递增，
即选项C 错误；
因为f(7π12)=3sin(7π6+π3)=3sin 3π2=−3，
所以f(x)的图象关于直线x=7π
12
对称，
即选项D正确.
故选:BD.
填空题
12、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosA(sinC−cosC)=cosB,a=2,c=√2，则角C大小为_____.
答案：π
6
解析：根据三角形内角和以及诱导公式将B转化为A,C，利用两角和公式，可求出A，再用正弦定理，即可求解.
因为cosA(sinC−cosC)=cosB,
所以cosA(sinC−cosC)=−cos(A+C),
所以cosAsinC=sinAsinC,所以sinC(cosA−sinA)=0,
因为C∈(0,π),∴sinC≠0，所以cosA=sinA，
则tanA=1，所以A=π
4
，
又a
sinA =√2
sinC
，则sinC=1
2
，
因为c<a，所以0<C<π
4，故C=π
6
.
故答案为:π
6
.
小提示：本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.
13、已知sinα−3cosα=0，则sin2α+sin2α=__________.
答案：3
2
##1.5
分析：首先根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
解：因为sinα−3cosα=0，所以tanα=sinα
cosα
=3，所以sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα
=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α
=tan2α+2tanαtan2α+1
=32+2×3
32+1
=
3
2
所以答案是：3
2。