吉林省东北师范大学附属中学2019届高三数学第四次模拟考试试题理(含解析)

吉林省东北师范大学附属中学2019届高三数学第四次模拟考试试题
理（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.集合{}0,1,2,3,4A =，{}
2,B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=（ ） A. {}4,2 B. {}0,2,4
C. {}2,0
D. {}0,4
【答案】B 【解析】 【分析】
由k Z ∈可知B 是偶数集，再根据集合的交运算得到最后结果。

【详解】因为集合B 是偶数集，所以{}0,2,4A B ⋂=，故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题。

2.设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（ ） A. 1a b +=-
B. 1a b -=-
C. 0=-b a
D.
0=+b a
【答案】D 【解析】 【分析】
将2
2
()z a bi =+,再和2i -的实部和虚部对比，得出结果.
【详解】因为2
2
2
2
()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，
解得11a b =⎧⎨=-⎩
或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0=+b a ，故选D.
【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。

3.已知向量1a =，1
(,)2
b m =，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）
A. 12
±
C.
12
D. 2
3±
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量的几何意义，因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，再运用向量积的运算得到参数m 的值.
【详解】因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，所以2
2
0a b
-=，将1a =和
2
221()2b m =+代入，得出234m =，所以m = D.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

4.根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）
A. 1
B. e
C. 1-e
D. 2e -
【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值。

【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<，程序运行结束，得1
y e -=，
故选C 。

【点睛】本题考查程序框图，是基础题。

5.已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤=（ ）
A. 0.3413
B. 0.6826
C. 0.1587
D. 0.0794
【答案】A 【解析】
依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872
100.34132
P ξ-⨯-<≤==．
故选A ．
6.已知点(A 在双曲线()22
21010x y b b
-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）
B.
2
D. 【答案】C 【解析】 【分析】
将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.
【详解】将x =y =代入方程()22
21010x y b b
-=>得b =，而双曲线的半实轴
a =，所以10c ==，得离心率c
e a
=
=故选C. 【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.
7.如图，己知函数()f x 的图像关于坐标原点O 对称，则函数()f x 的解析式可能是（ ）
A. ()3
ln f x x x =
B. ()ln f x x x =
C. ()x
e
f x x
=
D.
()ln x
f x x
=
【答案】D 【解析】 【分析】
抓住奇函数的判定性质()()f x f x =--，代入，即可。

【详解】根据()f x 关于原点对称可知该函数为奇函数, 对于A 选项()()2
ln f x x x f x -==,为偶函数,不符合;
对于B 选项定义域不对;
对于C 选项当x>0的时候，()0f x >恒成立不符合该函数图像，故错误； 对于D 选项，()()ln x f x f x x
-=
=--，符合判定，故选D 。

【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住()()f x f x -=-，即可，难度中等。

8.已如定义在R 上的函数()f x 的周期为6．且()[]
()()11,3,02,0,3x
x x f x f x x ⎧⎛⎫-+∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩
，则
()()78f f -+=（ ） A. 11 B.
134
C. 7
D.
114
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数()f x 是周期函数这一性质求得(7)f -和)8(f .
【详解】根据()f x 的周期是6，故1
1(7)(1)(1)14
2f f -⎛⎫-=-=--+= ⎪⎝⎭，2
1(8)(2)(2)(2)172f f f -⎛⎫
==-=--+= ⎪⎝⎭
，所以(7)(8)11f f -+=,故选A.
【点睛】此题考查周期函数的性质，属于基础题.
9.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年美国数学家阿佩尔与哈肯证明了四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域（如区域D由两个边长为1的小正方形构成）上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A、B、C、D、E、F标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是
A.
1
15
B.
4
15
C.
3
15
D.
11
15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相邻的两个区域必须是不同的数字这一规则，逐个区域进行判断。

区域C相邻给定的标记为1,2,3的区域，从而可以最先判断。

最后可根据几何概型的概率求法来求得概率。

【详解】因为区域C相邻标记1，2，3的区域，所以区域C标记4。

进而区域D相邻标记2,3,4的区域，从而推出区域D标记1。

区域A相邻标记1,2,4的区域，所以区域A标记3。

区域E 相邻标记2,3,4的区域，从而区域E标记1。

区域F相邻标记1,3,4的区域，从而标记2。

区域B相邻标记为1,2,3的区域，所以标记4。

所以只有B,C标记为4，共占8个边长为1的正方形，面积为8。

总共的区域面积为30，所以在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记
为4的区域的概率是84
3015
,故选B.
【点睛】此题除了考查概率的基础知识外，更重要考查处理问题的能力。

10.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，公差0d >，6a 和8a 是函数()2151
ln 842
f x x x x =+-的极值点，则8S =（ ） A. 38- B. 38
C. 17-
D. 17
【答案】A 【解析】 【分析】
先用函数极值条件，来计算6a 和8a ，再根据等差数列性质和求和公式算出8S . 【详解】由题()
215115
8()()15422'84x x x x f x x x
x
x
-+
--=+-=
=，又因为公差0d >，所以
2
16=
a ,815
2a =。

经计算，117a =-。

所以1888()382a a S +=
=-，故选A. 【点睛】本题考查函数极值和导数的计算，还有等差数列求和公式，属于综合题，但难度不高,属于中档题.
11.在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且V ABC
为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为（ ）
A.
14
B.
7
21
2 C.
14
D.
12
【答案】D 【解析】 【分析】
题中要求点O 到棱DB 的距离，需要计算出外接圆半径r 和棱DB 的长度，再用勾股定理计算。

棱DB 很容易求得，半径则需要找到一个截面圆来确定。

注意到平面ODA 截外接球是一个很好的截面圆，因为它正好是外接球和四棱锥的对称面.
【详解】作平面ODA 交平面BC 于E ，交BC 于F ，设平面ODA 截得外接球是O ，D,A,F 是O
表面上的点，又⊥DF 平面ABC ，∴ 90=∠DAF ，∴DF 是O 的直径，因此球心O 在DF
上，AF 是
O 的直径，连结BD,BF
，
BF DA ⊥，AB BF ⊥，∴BF ⊥平面DAB ，
∴90DBF ∠=
，
90DHO ∠=，∴//OH BF ，又DO=OF ，∴OH 是 DBF △的中位线，
12OH HF =
,故1
2
OH =.故选D.
【点睛】本题是三棱锥外接球的典型问题，是有难度的一类问题。

一般这类问题需要用平面截外接球所得的外接圆，将立体问题转化为平面问题。

12.已知A 、B 是抛物线()2
20=>y px p 上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，
射线BF 交抛物线的准线于点C ，且AB =，AFC △的面积为2，则p 的值为（ ）
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义，即抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。

注意到
AFC
ABC
AFB
S
S
S
=-，然后结合三角形的面积来列出方程解出p .
【详解】过点A 做AH 垂直于准线，垂足为H ，做CG 垂直于AB ，垂足为G ，根据抛物线的定义AH=AF ，//CE AB ，因此DE=AH=CG=AF ， 由AFC
ABC
AFB S
S
S
=-，1
2
ABC
S
AB CG AD CG =
=，1
2
AFB
S AB DF AD DF =
=得()()AFC
S
AD CG AD DF AD CG DF AD DE DF AD EF =-=-=-=
又DE AF ==，则1)EF DF =，2
AD DF EF ==
=，可得
2AFC
S
EF =
，又因2AFC
S =，所以EF=2，因为EF 正好是焦点到准线的距离，
即2p =.故选
C.
【点睛】本题考查了抛物线的性质和利用三角形剖分和切补来计算其面积，是一道有难度的综合题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.若实数x ，y 满足：2211y x y x y x ≥-⎧⎪
≥-+⎨⎪≤+⎩
，则3z x y =-的最大值是________；
【答案】5 【解析】 【分析】 根据可行域求z
最大值。

详解】由题意作图
可知，在点（3,4）处取得最大值，5z =。

【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。

14.已知等比数列{}n a 的
前n 项和为n S ，满足11a =，33=S ，则n S =________；
【答案】
()123
n
--或n
【解析】 【分析】
根据1q ≠和q=1两种情况求n S 的值。

【详解】由题当1q ≠时，3213(1)(1)(1)
311a q q q q S q q
--++=
==--，解得(q+2)(q-1)=0，得q=2，此时()123n
n
S --=；得当q=1时，11a =，33=S ，满足题意，则此时n S n =；综上
()123
n
n S --=
或n 【点睛】本题考查等比数列求和。

15.已知函数()()(
)
sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的图象过点,012P π⎛⎫
⎪⎝⎭
，且图象上与点P 最近的一个最高点是,23Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的
3πϕ
倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是________；
【答案】()22,233k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先利用给出的特殊点求出()f x 图像，再根据函数伸缩变换规律求出()g x ，进而求出()g x 的单调递增区间.
【详解】因为函数()()()
sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的图像过,012P π⎛⎫
⎪⎝⎭
，又因为图象上与点P 最近的一个最高点是,23Q π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2A =并且,P Q 的横坐标差14
个周期，所
以
22
4312πωππ=
=⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，故()()2sin 2f x x ϕ=+ ，将3
x π=
代入()()2sin 2f x x ϕ=+得
2sin 223πϕ⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，又因为ϕπ<，故6πϕ=-，故(
)2
s i n 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
.现将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的
3π
ϕ
=2倍得到函数()g x 的图象，那么
()2sin 2()2sin 266x g x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，故
它的单调递增区间是
()22,233k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭
【点睛】此题灵活的考查了正弦曲线各种性质和函数图像的伸缩变换，是一道好的三角函数综合题.
16.已知'()f x 是函数cx bx ax x f ++=
2
32
131)(的导函数，且1'(1)2f a =-，322a c b >>，
则下列说法正确的是___________. ①)0(0f '>； ②曲线()y f x =在2b
x a
=-
处的切线斜率最小； ③函数()f x 在(,)-∞+∞存在极大值和极小值； ④'()f x 在区间)2,0(上至少有一个零点. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】
根据()f x 的导数'()f x 的正负性来判断()f x 的单调性，逐个选项进行判断. 【详解】因为cx bx ax x f ++=
2
32
131)(，所以2'()f x a x b x c =++，那么
1
'(1)2f a b c a =++=-，即3220a b c ++=，又因为322a c b >>，所以0a >，0b <.①中
()00f 'c =>不能从条件判断出来，比如2,2,1a b c ==-=-和2,4,1a b c ==-=均符合题
中函数，但是c 可正可负.，所以①错误。

②曲线()y f x =的曲线切线斜率最小即'()f x 的函数值最小，又由0a > 知道二次函数'()f x 的开口朝上，所以'()f x 在对称轴即2b
x a
=-的值最小，所以②正确.
③函数()f x 在(,)-∞+∞是否存在极大值和极小值取决于'()f x 的正负性，而'()f x 是开口朝上的二次函数，又因为1
'(1)02
f a =-
<，所以2'()f x ax bx c =++存在12,x x 两个零点，并且在1(,)x -∞上'()0f x >，在12(,)x x 上'()0f x <，在2(,)x +∞上'()0f x >.可知()f x 在1x x =取得极大值,在2x x =取得极小值,所以③正确。

④1
'(1)02
f a =-
<，而0()f 'c =， '(2)42322()f a b c a b c a c a c =++=+++-=-，所以'(0)'(2)0f f a +=>，那么'(0),'(2)f f 之间至少有一个数为正，而'(1)0f <因为'()f x 的图像是一条连续的曲线，所
以若)0(0f '>，'(1)0f <可得在'()f x 在(0,1)至少有一个零点，若'(2)0f >，'(1)0f <可得在'()f x 在(1,2)至少有一个零点，所以'()f x 在区间)2,0(上至少有一个零点. ④正确。

所以此题①错误，②③④正确。

【点睛】此题是函数，导数，不等式的综合题，难度较高，属于拔高题。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. 17.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos sin 2cos sin A A c B B b +=且50
9
． （1）求角B ；
（2）求ABC ∆周长L 的最大值． 【答案】（1）︒=60B （2）9 【解析】 【分析】
（1）用正弦定理将已知等式化为正弦，余弦角的关系，化简整理可得角B 。

（2）三角形周长
L=a+b+c ，已知b=3，根据余弦定理建立a ，b ，c 三边的关系，由不等式性质可得周长最大值。

【详解】解：（1）
cos sin 2cos sin A A c
B B b
+=，由正弦定理得 cos sin cos sin 2sin cos sin sin A B B A C
B B B
+=，
即
()sin 2sin cos sin sin A B C
B B
B
+=
，
又()sin sin 0A B C +=≠， 所以1
cos 2
B =
，又()0,B π∈，得︒=60B （2）在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 9b a c ac B a c ac =+-=+-=， 所以()
2
2
93932a c a c ac +⎛⎫
+=+≤+ ⎪⎝⎭
，
即6a c +≤，所以9L a b c =++≤， 当3===c b a 时，ABC ∆的周长L 最大值为9．
【点睛】本题考查正，余弦定理和用均值不等式求最大值，是常见考点。

18.2019年是扶贫的关键年，作为产业扶贫的电商扶贫将会迎来更多的政策或扶持．京东、阿里、拼多多、抖音、苏宁等互联网公司都纷纷加入电商扶贫．城乡各地区都展开农村电商培训，如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训．某部门组织A 、B 两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查，从获取的有效问卷中，针对25至55岁的人群，接比例随机抽取400份，进行数据统计，具体情况如下表：
（1）先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本，将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去。

①这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数；
②调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人，安排进入抖音公司参观学习，求这3人恰好是A 组的人数X 的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄（记作m 岁）有关”的结论．请列出22⨯列联表，用独立性检验的方法，通过比较2K 的观测值的大小，判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小？
（参考公式：()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
，其中n a b c d =+++）
【答案】（1）8（2）①见解析②35m = 【解析】 【分析】
（1）①由分层抽样可得；②“参加培训年龄达到45岁”的A 组4人，B 组4人，可得分布列和期望；（2）分别做出35岁和45岁的列联表，根据公式计算两者的概率k ，比较概率大小，即可得出结论。

【详解】解：（1）①.400人中抽取80人，其中年龄达到45岁且参加培训的有80
408400
⨯
=人， ②.抽取的A 组人年龄达到45岁参加培训的有4人，所以抽取的3人中A 组人数X 的可能取值为0，1，2，3
()3
4381
014C P x C ===，()124438317C C P x C ==
=， ()214438327C C P x C ===，()34381
314
C P x C ===
所以
X 的分布列为：
()3313
12377142
E x =⨯+⨯+⨯=
（2）按年龄是否达到35岁，整理数据得到如下列联表：
所以35m =时，2K 的观测值()2
140095155451052500140260200200
91
k ⨯⨯-⨯=
=
⨯⨯⨯
按年龄是否达到45岁，整理数据得到如下列联表：
所以45m =时，2K 的观测值()2
24001608012040400280120200200
21
k ⨯⨯-⨯=
=
⨯⨯⨯ 因为21k k <，欲使犯错误的概率尽可能小，取35m =．
【点睛】此题考查运用概率和数理统计知识解决实际问题的能力，覆盖了大量的知识点，是一道很好的综合题。

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
90ADC DCB ∠=∠=︒，3PA BC ==，2AD =，60ABC ∠=︒，E 为侧棱PA （包含端点）
上的动点.
（Ⅰ）当2
5
AE AP =
时，求证：//PC 平面BDE ； （Ⅱ）当直线BE 与平面CDE 所成角的正弦值为
3
4
时，求二面角C DE B --的余弦值.
【答案】（1）见解析（2 【解析】 【分析】
（1）通过做辅助线，根据线线平行，推得线面平行；（2）建立直角坐标系，根据线面角正弦值为
3
4
，可得平面CDE 的法向量，再计算出平面BDE 的法向量，即可求二面角余弦值。

【详解】解析：（1）连结AC 交BD 于O ，连结OE ； 由题意，//AD BC ，2
3
AO AD OC BC ==； 因为25AE AP =
，所以23
AE AO EP OC == 所以PC OE //
因为OE ⊂平面ADE ，PC ⊄平面BDE 所以//PC 平面BDE ．
（2）过A 作AF BC ⊥于F ，则在Rt ABF 中，1BF =，tan AF BF ABF =⋅∠=2cos BF
AB ABF
=
=∠；
以A 为原点，分别以AF uuu r 、AD 、AP uu u r
的方向为x 轴、y 轴和z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，设()03AE a a =≤≤． 则()0,0,0A
，)
1,0B
-
，)C ，()0,2,0D ，()0,0,E a ；
()BE a =，(
)
3,0,0DC =
，()0,2,DE a =-
，()
BD =；
设向量()111,,x y z =m 为平面CDE 的一个法向量，则由m DC ⊥且m DE ⊥，
有1110
20
y az =-+=⎪⎩，令a y =1，得()0,,2m a =； 记直线BE 与平面CDE 所成的角为θ， 则233
sin cos ,44
a BE m a θ==
=+，2a =，此时，()0,2,2m =； 设向量(),,n x y z =为平面BDE 的一个法向量，则由n DE ⊥且n
BD ⊥，有30
220
y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，
令
1y =，得)
n =
；
cos ,m n m n m n ⋅=
== 所以二面角C DE B -
-
．
【点睛】本题考查直线和平面的位置关系，用建系的方法求两平面夹角余弦值，是常见考题。

20.已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>
>与y 轴正半轴交于点(M ，离心率为12．直线l
经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）．
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=
，当0t <≤
时，求λ的取值范围． 【答案】（1）1342
2=+y x （2
）λ⎛∈ ⎝⎦
【解析】 【
分析】
（1）根据椭圆的性质可得其标准方程；（2）由P ，Q 两点可得直线l 的方程，与椭圆方程联立消去x 得到关于y 的方程，且∆>0，由A P P B λ=可得()()1122,,t x y x t y λ--=-，通过已知将其化为只含有λ和t 的等式，再根据t 的范围可得λ的范围。

【详解】解析：1．由题意，2
1
==
a c e
且b =2a =，
所以椭圆E 的标准方程为1342
2=+y x ．
2．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为
1t -，设1
:1l y x t
=-+，将其代入椭圆方程13
42
2=+y x 中，
消去x 得()
2222
3463120t y t y t +-+-=，
当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，
则2122634t y y t +=+……①，2122312
34
t y y t -=+……②
因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得
()
2
2
2124141t λ
λ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
-．
当0t <≤时，()[)2
221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-
，解351,λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭
⎝⎦
由()2
1222
61034
t y y y t
λ+=-=>+且20y <， 故1>λ，所以λ⎛∈ ⎝
⎦． 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知
识。

21.已知函数
()ln 1f x x ax =-+．
（1）讨论函数()
f x 的
单调性；
（2）设函数()()()21x
g x x e f x b =-+--，当1a ≥时，()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立，
求满足条件的b 最小的整数值． 【答案】（1）见解析（2）3- 【解析】 【分析】
（1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出()g x 的具体形式，然后分离参数，进而讨论函数最值的范围，得出整数参量b 的取值范围. 【详解】解：Ⅰ．由题意，函数的定义域为()0,∞+，()1
'f x a x
=
- 当0a ≤时，()1
'0f x a x
=
->，()f x 单调增区间为：()0,∞+ 当0a >时，令()1'0f x a x =
-=，a
x 1= 由()'0f x >，得10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，()'0f x <，1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为：1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
Ⅱ．由()()2ln x
g x x e x ax b =-+--，
因为()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立
()2ln x b x e x ax ≥-+-当1a ≥时对任意的1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，
1a ≥，0x >
()()2ln 2ln x x x e x ax x e x x ∴-+-≤-+-
只需()2ln x
b x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立即可。

构造函数()()2ln x
h x x e x x =-+-
()()()11'111x x h x x e x e x x ⎛
⎫=-+
-=-- ⎪⎝
⎭ 1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，10x ∴-< 且()1
x
t x e x
=-
单调递增， 1
21202t e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()110t e =-> ∴一定存在唯一的01,12
x 骣÷çÎ÷ç÷ç桫，使得()00t x = 即0
1
x e
x =
，00ln x x =-. ()h x ∴单调递增区间01,3
x ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，单调递减区间()0,1x ．
()()()()000000max 012ln 124,3x h x h x x e x x x x ⎛⎫
∴==-+-=-+∈-- ⎪⎝
⎭
b ∴的最小的整数值为3-
【点睛】本题考查用导数讨论函数单调性和函数的最值问题，其中用构造函数，属于函数导数不等式的综合题，难度较大。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.
22.在平面真角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2
22x t y t ⎧=⎨=⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴，建立根坐标系．曲线2C 的极坐标方程为2
sin cos a ρθθ
=+．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，直线OM 和ON 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k +的值．
【答案】（1）sin cos 2a ρθρθ+=，20ax y +-=（2）1 【解析】 【分析】
（1）消去t 即可得1C 的普通方程，通过移项和cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得2C 的普通方程；（2）由y x 可
得t
1的几何意义是斜率，将1C 的参数方程代入2C 的普通方程，得到关于t 的方程且∆>0，1212
11
k k t t +=
+由韦达定理可得。

【详解】解：1．由2
22x t y t
⎧=⎨=⎩，（t 为参数），消去参数t ，得22y x =，即1C 的都通方程为2
2y x =，
由2
sin cos a ρθθ
=
+，得()sin cos 2a ρθθ+=，即sin cos 2a ρθρθ+=，
将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入，得20ax y +-=，即2C 的直角坐标方程为20ax y +-=．
2．由222x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数），得()10y x x t =≠，则t 1的几何意义是抛物线22y x =上的点（原点
除外）与原点连线的斜率．由题意知0a ≠，
将2
22x t y t
⎧=⎨=⎩，（t 为参数）代入20ax y +-=，得210at t +-=． 由0a ≠，且041>+=∆a 得4
1
-
>a ，且0a ≠． 设M ，N 对应的参数分别为1t 、2t ，则121t t a +=-，121
t t a
=-，
所以12
121212
111t t k k t t t t ++=+=
=． 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程和参数方程在几何问题中的应用。

23.已知()()0f x x a a =->．
（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；
（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求12
3m n
+的最小值．
- 21 - 【答案】（1）6（2）2
【解析】
【分析】
（1）将f(x)和f(2x)代入F(x)，去绝对值得出分段函数，找出取得最小值的点，即可求出a ；
（2）将a=2代入函数，由绝对值不等式可得k 的值，再根据均值不等式可求得
123m n
+的最小值。

【详解】解：（1）0a >，2a a ∴<，∴函数()()3222
232x a x a a F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩
∴当2
a x =时，函数()F x 的最小值为322a a F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=． （2）当2a =时，()22g x x x =--+，
()()22224x x x x --+≤--+=，4k ∴=，所以234m n +=
因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
⎝
， 所以当343n m m n =
，即2n =-1m =
时，123m n +最小值为2 【点睛】本题考查分段函数，绝对值不等式和均值不等式
2
a b +≥a>0，b>0），是常见题型。