实验九 用单摆测量重力加速度--2025版高考总复习物理
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第8章 机械振动 机械波
(3)测量出多组周期 T、摆长 l 的数值后，画出 T2l 图线如图丙所示，此
图线斜率的物理意义是________。
A．g
B．1g
C．4πg 2
D．4πg 2
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第8章 机械振动 机械波
(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原
点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小________。
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第8章 机械振动 机械波
C．将石块拉开一个偏离竖直方向小于 5°的角度，然后由静止释放 D．从石块摆到最低点时开始计时，当石块下一次经过最低点时计为第 1 次，当石块第 30 次到达最低点时结束记录总时间 t，得出周期 T＝3t0 E．改变 ON 间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的 l 和 T F．求出多次实验中测得的 l 和 T 的平均值作为计算时使用的数据，代入 公式 g＝(2Tπ)2l 求出重力加速度 g
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第8章 机械振动 机械波
(4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角 无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因 _T_＝__2_π_____gl_是__单__摆__做__简__谐__运__动__的__周__期__公__式__，_当__摆__角__较__小__时__才__可__以__将__单__摆__ _的__运__动__视__为__简__谐__运__动____________________________________________。
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第8章 机械振动 机械波
[解析] (1)摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题
图(b)的信息可得，所对应的时刻为 t＝0.5 s。根据题图(b)的信息可得，
单摆周期 T＝1.6 s，由单摆周期公式 T＝2π
gl ，解得摆长为 l＝0.64m。
(2)单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受
高考第总8复章习机械物振动理 机教械科波 版 实验九 用单摆测量重力加速度
实验知识 自主落实
索
实验要点 互动探究
引
随堂检测 达标演练
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第8章 机械振动 机械波
01
实验知识 自主落实
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第8章 机械振动 机械波
一、实验目的 1．练习使用停表和刻度尺。 2．学会用单摆测定当地重力加速度。 二、实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T＝2π gl ，由此得到 g＝4πT22l，因此，只要测出摆长 l 和单摆的周期 T，就可以求出当地的重 力加速度 g 的值。
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下： ①将单摆上端固定在铁架台上。 ②测得摆线长度，作为单摆的摆长。 ③在偏角较小的位置将小球由静止释放。 ④记录小球完成 n 次全振动所用的总时间 t，得到单摆振动周期 T＝nt 。 ⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。 其中有一处操作不妥当的是___②_____(填写操作步骤前面的序号)。
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第8章 机械振动 机械波
六、误差分析
项目
产生原因
减小方法
测量时间(单摆周期) (1)多次测量再求平均值 偶然误差
及摆长时产生误差 (2)从单摆经过平衡位置时开始计时
(1)摆球要选体积小，密度大的金属
主要来源于单摆模型
系统误差
球
本身
(2)最大摆角不超过5°
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第8章 机械振动 机械波
七、注意事项 1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小 球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应用铁夹夹紧，以免摆动时发生 摆线下滑、摆长改变的现象。 3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°，可通过估算振幅的办 法掌握。 4．摆球摆动时，要使其保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
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第8章 机械振动 机械波
(1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约2 cm的铁球 D．直径约2 cm的塑料球 E．米尺 F．时钟 G．停表 实验时需要从上述器材中选择：__A_C_E__G__(填写器材前面的字母)。
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第8章 机械振动 机械波
l1＋g r，T2＝2π
联立解得 g＝4πT221(－l1－T22l2)。
l2＋r g
gl 可得
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第8章 机械振动 机械做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单
摆的运动视为简谐运动。
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第8章 机械振动 机械波
角度2 实验数据处理与分析 例2 某同学在用单摆测定重力加速度的实验中进行了如下的操作： (1) 用 游 标 卡 尺 测 量 摆 球 的 直 径 如 图 甲 所 示 ， 可 读 出 摆 球 的 直 径 为 __2_._0_6___cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，加上摆球半 径得到摆长l。
t
2t n
g
g
1 2
g1＝4πT212l1＝ g2＝4πT222l2＝
g ＝g1＋g32＋g3 ＝
3
g3＝4πT232l3＝
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第8章 机械振动 机械波
7.可以做更多次实验，由多组 T、l 值在坐标纸上作出 T2l 图像，利用图 像的斜率，算出重力加速度 g。 五、数据处理 1．公式法：将几次测得的周期 T 和摆长 l 代入公式 g＝4πT22l中计算重力 加速度，取平均值，即当地重力加速度的值。 2．图像法：由 g＝4πT22l得 l＝4πg 2T2，作出 l-T2 图像，求出图线的斜率 k， 可得重力加速度 g＝4π2k。
2．用量程 1 m 的刻度尺量出悬线长度 l′，用游标卡尺量出摆球的直径 d， 摆长 l＝l′＋d2。 3．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(5°左右)后释放。为了使摆球 只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放摆球且不要旋转。从摆球某次 通过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次数 n(摆 球第一次过平衡位置记为零)。用停表记下所用的时间 t，则单摆振动的 周期 T＝2nt。
重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项 B 正确。
(3)测得摆长应为 l＋d2，选项 B 错误；若让小球在水平面内做圆周运动， 则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆的周期，选项 D 错误。
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第8章 机械振动 机械波
创新点评 本题创新点体现如下： (1)利用拉力传感器记录拉力随时间变化的Ft图像。 (2)由Ft图像得到单摆振动的周期。
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第8章 机械振动 机械波
三、实验器材 带孔的小球、铁架台、游标卡尺、刻度尺、停表。 四、实验过程 1．让一根不易伸长的细线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大 的线结。线的另一端固定在铁架台上如图，把铁架台放在实验桌边，使 铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂。
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第8章 机械振动 机械波
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第8章 机械振动 机械波
(3)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球， 他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图乙)，以 下实验步骤中存在错误的是________(只填写相应的步骤代号即可)。 A．将大理石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点 B．用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长
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第8章 机械振动 机械波
(2)单摆运动的回复力是________。 A．摆球所受的重力 B．摆球重力在垂直摆线方向上的分力 C．摆线对摆球的拉力 D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
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第8章 机械振动 机械波
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。 A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上 B．用米尺量得细线长度l，即摆长为l C．在摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放小球 D．让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重 力加速度
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第8章 机械振动 机械波
5．计算单摆的振动次数时，应在摆动平稳后，摆球通过最低位置时开始 计时，且在数“零”的同时按下停表，开始计时和计数，以后每当摆球 从同一方向通过最低位置时计数一次。
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第8章 机械振动 机械波
02
实验要点 互动探究
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第8章 机械振动 机械波
题型一 教材原型实验 角度1 实验原理与操作 例1 实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实 验。
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第8章 机械振动 机械波
(2)由于图像没有通过坐标原点，求出的重力加速度 g 值与当地真实值相 比__不__变____(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用 g＝4πT22l，采用 公式法计算，则求出的重力加速度 g 值与当地真实值相比__偏__小____(选填 “偏大”“偏小”或“不变”)。
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第8章 机械振动 机械波
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同 摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和 对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你
4π2(l1－l2) 写出该测量值的表达式g＝____T_21－__T__22 _____。
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第8章 机械振动 机械波
题型二 创新拓展实验 角度1 实验器材创新 例3 在探究单摆运动的实验中： (1)图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传 感器连接的计算机屏幕所显示的Ft图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0 时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为___0_._5___s，摆长为__0_._6_4___m (取π2＝10，重力加速度大小g取10 m/s2)。
(3)根据单摆的周期公式 T＝2π
gl ，可得
4π2 T2＝ g l，所以
T2l
图线的斜
4π2 率 k＝ g ，选项 C 正确。
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第8章 机械振动 机械波
(4)因为Tl2＝4gπ2＝k(常数)，所以ΔΔTl2＝4gπ2＝k，若误将摆线长当作摆长，画 出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足Tl211－ －Tl222＝4gπ2＝k，所以由 图线的斜率得到的重力加速度不变。
A．偏大
B．偏小
C．不变
D．都有可能
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第8章 机械振动 机械波
[解析] (1)摆球的直径为 d＝20 mm＋6×110 mm＝ 20.6 mm＝2.06 cm。
(2)停表的读数为 t＝60 s＋7.5 s＝67.5 s，根据题意有 t＝60－2 1T＝529T，
所以周期 T＝529t ≈2.29 s。
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第8章 机械振动 机械波
(2)用停表测量单摆的周期。将摆球从平衡位置拉开一个很小的角度(小于 5°)，然后由静止开始释放摆球，使摆球在竖直平面内摆动。当单摆摆 动稳定且到达最低点时开始计时并记为1，单摆每经过最低点计一次数， 当 数 到 n ＝ 60 时 停 表 的 示 数 如 图 乙 所 示 ， 则 该 单 摆 的 周 期 是 T ＝ __2_.2_9____s(结果保留三位有效数字)。
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第8章 机械振动 机械波
角度2 数据处理创新 例4 在利用单摆测量重力加速度的大小的实验中，由单摆做简谐运动的 周期公式得到 g＝4πT22l，只要测出多组单摆的摆长 l 和运动周期 T，作出 T2l 图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上 T2l 图像是一条过坐 标原点的直线，而某同学根据实验数据作出的图像如图甲所示。 (1)由图像求出的重力加速度 g＝___9_.8_7___ m/s2(取π2＝9.87)。
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第8章 机械振动 机械波
[解析] (1)实验时需要从实验室的器材中选择：A.长约 1 m 的细线；C.
直径约 2 cm 的铁球；E.米尺； G．停表。故选 A、C、E、G。
(2)其中的第②步骤中应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长。
(3)设摆球的半径为 r，则根据 T＝2π
T1＝2π
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第8章 机械振动 机械波
4．根据单摆的周期公式，计算出重力加速度。 5．改变摆长，多做几次实验，计算出每次实验得到的重力加速度值。 6．把测得的数据和计算结果填入表中，求出几次实验得到的重力加速度 的平均值，即可把它看作本地区的重力加速度。
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第8章 机械振动 机械波
实验 l′
次数
d l′＋2d n
第8章 机械振动 机械波
(3)测量出多组周期 T、摆长 l 的数值后，画出 T2l 图线如图丙所示，此
图线斜率的物理意义是________。
A．g
B．1g
C．4πg 2
D．4πg 2
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第8章 机械振动 机械波
(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原
点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小________。
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第8章 机械振动 机械波
C．将石块拉开一个偏离竖直方向小于 5°的角度，然后由静止释放 D．从石块摆到最低点时开始计时，当石块下一次经过最低点时计为第 1 次，当石块第 30 次到达最低点时结束记录总时间 t，得出周期 T＝3t0 E．改变 ON 间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的 l 和 T F．求出多次实验中测得的 l 和 T 的平均值作为计算时使用的数据，代入 公式 g＝(2Tπ)2l 求出重力加速度 g
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第8章 机械振动 机械波
(4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角 无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因 _T_＝__2_π_____gl_是__单__摆__做__简__谐__运__动__的__周__期__公__式__，_当__摆__角__较__小__时__才__可__以__将__单__摆__ _的__运__动__视__为__简__谐__运__动____________________________________________。
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第8章 机械振动 机械波
[解析] (1)摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题
图(b)的信息可得，所对应的时刻为 t＝0.5 s。根据题图(b)的信息可得，
单摆周期 T＝1.6 s，由单摆周期公式 T＝2π
gl ，解得摆长为 l＝0.64m。
(2)单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受
高考第总8复章习机械物振动理 机教械科波 版 实验九 用单摆测量重力加速度
实验知识 自主落实
索
实验要点 互动探究
引
随堂检测 达标演练
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第8章 机械振动 机械波
01
实验知识 自主落实
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第8章 机械振动 机械波
一、实验目的 1．练习使用停表和刻度尺。 2．学会用单摆测定当地重力加速度。 二、实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T＝2π gl ，由此得到 g＝4πT22l，因此，只要测出摆长 l 和单摆的周期 T，就可以求出当地的重 力加速度 g 的值。
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下： ①将单摆上端固定在铁架台上。 ②测得摆线长度，作为单摆的摆长。 ③在偏角较小的位置将小球由静止释放。 ④记录小球完成 n 次全振动所用的总时间 t，得到单摆振动周期 T＝nt 。 ⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。 其中有一处操作不妥当的是___②_____(填写操作步骤前面的序号)。
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第8章 机械振动 机械波
六、误差分析
项目
产生原因
减小方法
测量时间(单摆周期) (1)多次测量再求平均值 偶然误差
及摆长时产生误差 (2)从单摆经过平衡位置时开始计时
(1)摆球要选体积小，密度大的金属
主要来源于单摆模型
系统误差
球
本身
(2)最大摆角不超过5°
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第8章 机械振动 机械波
七、注意事项 1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小 球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应用铁夹夹紧，以免摆动时发生 摆线下滑、摆长改变的现象。 3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°，可通过估算振幅的办 法掌握。 4．摆球摆动时，要使其保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
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第8章 机械振动 机械波
(1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约2 cm的铁球 D．直径约2 cm的塑料球 E．米尺 F．时钟 G．停表 实验时需要从上述器材中选择：__A_C_E__G__(填写器材前面的字母)。
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第8章 机械振动 机械波
l1＋g r，T2＝2π
联立解得 g＝4πT221(－l1－T22l2)。
l2＋r g
gl 可得
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第8章 机械振动 机械做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单
摆的运动视为简谐运动。
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第8章 机械振动 机械波
角度2 实验数据处理与分析 例2 某同学在用单摆测定重力加速度的实验中进行了如下的操作： (1) 用 游 标 卡 尺 测 量 摆 球 的 直 径 如 图 甲 所 示 ， 可 读 出 摆 球 的 直 径 为 __2_._0_6___cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，加上摆球半 径得到摆长l。
t
2t n
g
g
1 2
g1＝4πT212l1＝ g2＝4πT222l2＝
g ＝g1＋g32＋g3 ＝
3
g3＝4πT232l3＝
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7.可以做更多次实验，由多组 T、l 值在坐标纸上作出 T2l 图像，利用图 像的斜率，算出重力加速度 g。 五、数据处理 1．公式法：将几次测得的周期 T 和摆长 l 代入公式 g＝4πT22l中计算重力 加速度，取平均值，即当地重力加速度的值。 2．图像法：由 g＝4πT22l得 l＝4πg 2T2，作出 l-T2 图像，求出图线的斜率 k， 可得重力加速度 g＝4π2k。
2．用量程 1 m 的刻度尺量出悬线长度 l′，用游标卡尺量出摆球的直径 d， 摆长 l＝l′＋d2。 3．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(5°左右)后释放。为了使摆球 只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放摆球且不要旋转。从摆球某次 通过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次数 n(摆 球第一次过平衡位置记为零)。用停表记下所用的时间 t，则单摆振动的 周期 T＝2nt。
重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项 B 正确。
(3)测得摆长应为 l＋d2，选项 B 错误；若让小球在水平面内做圆周运动， 则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆的周期，选项 D 错误。
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创新点评 本题创新点体现如下： (1)利用拉力传感器记录拉力随时间变化的Ft图像。 (2)由Ft图像得到单摆振动的周期。
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第8章 机械振动 机械波
三、实验器材 带孔的小球、铁架台、游标卡尺、刻度尺、停表。 四、实验过程 1．让一根不易伸长的细线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大 的线结。线的另一端固定在铁架台上如图，把铁架台放在实验桌边，使 铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂。
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第8章 机械振动 机械波
(3)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球， 他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图乙)，以 下实验步骤中存在错误的是________(只填写相应的步骤代号即可)。 A．将大理石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点 B．用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长
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第8章 机械振动 机械波
(2)单摆运动的回复力是________。 A．摆球所受的重力 B．摆球重力在垂直摆线方向上的分力 C．摆线对摆球的拉力 D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
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(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。 A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上 B．用米尺量得细线长度l，即摆长为l C．在摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放小球 D．让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重 力加速度
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5．计算单摆的振动次数时，应在摆动平稳后，摆球通过最低位置时开始 计时，且在数“零”的同时按下停表，开始计时和计数，以后每当摆球 从同一方向通过最低位置时计数一次。
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02
实验要点 互动探究
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题型一 教材原型实验 角度1 实验原理与操作 例1 实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实 验。
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第8章 机械振动 机械波
(2)由于图像没有通过坐标原点，求出的重力加速度 g 值与当地真实值相 比__不__变____(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用 g＝4πT22l，采用 公式法计算，则求出的重力加速度 g 值与当地真实值相比__偏__小____(选填 “偏大”“偏小”或“不变”)。
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(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同 摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和 对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你
4π2(l1－l2) 写出该测量值的表达式g＝____T_21－__T__22 _____。
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题型二 创新拓展实验 角度1 实验器材创新 例3 在探究单摆运动的实验中： (1)图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传 感器连接的计算机屏幕所显示的Ft图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0 时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为___0_._5___s，摆长为__0_._6_4___m (取π2＝10，重力加速度大小g取10 m/s2)。
(3)根据单摆的周期公式 T＝2π
gl ，可得
4π2 T2＝ g l，所以
T2l
图线的斜
4π2 率 k＝ g ，选项 C 正确。
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(4)因为Tl2＝4gπ2＝k(常数)，所以ΔΔTl2＝4gπ2＝k，若误将摆线长当作摆长，画 出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足Tl211－ －Tl222＝4gπ2＝k，所以由 图线的斜率得到的重力加速度不变。
A．偏大
B．偏小
C．不变
D．都有可能
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[解析] (1)摆球的直径为 d＝20 mm＋6×110 mm＝ 20.6 mm＝2.06 cm。
(2)停表的读数为 t＝60 s＋7.5 s＝67.5 s，根据题意有 t＝60－2 1T＝529T，
所以周期 T＝529t ≈2.29 s。
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(2)用停表测量单摆的周期。将摆球从平衡位置拉开一个很小的角度(小于 5°)，然后由静止开始释放摆球，使摆球在竖直平面内摆动。当单摆摆 动稳定且到达最低点时开始计时并记为1，单摆每经过最低点计一次数， 当 数 到 n ＝ 60 时 停 表 的 示 数 如 图 乙 所 示 ， 则 该 单 摆 的 周 期 是 T ＝ __2_.2_9____s(结果保留三位有效数字)。
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角度2 数据处理创新 例4 在利用单摆测量重力加速度的大小的实验中，由单摆做简谐运动的 周期公式得到 g＝4πT22l，只要测出多组单摆的摆长 l 和运动周期 T，作出 T2l 图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上 T2l 图像是一条过坐 标原点的直线，而某同学根据实验数据作出的图像如图甲所示。 (1)由图像求出的重力加速度 g＝___9_.8_7___ m/s2(取π2＝9.87)。
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[解析] (1)实验时需要从实验室的器材中选择：A.长约 1 m 的细线；C.
直径约 2 cm 的铁球；E.米尺； G．停表。故选 A、C、E、G。
(2)其中的第②步骤中应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长。
(3)设摆球的半径为 r，则根据 T＝2π
T1＝2π
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第8章 机械振动 机械波
4．根据单摆的周期公式，计算出重力加速度。 5．改变摆长，多做几次实验，计算出每次实验得到的重力加速度值。 6．把测得的数据和计算结果填入表中，求出几次实验得到的重力加速度 的平均值，即可把它看作本地区的重力加速度。
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实验 l′
次数
d l′＋2d n