九年级数学下学期3月月考试卷含解析

2015-2016学年云南省昆明市石林县鹿阜中学九年级（下）月考数学试卷（3
月份）
一、填空题
1．太阳的半径约为696300千米，这个数用科学记数法表示为千米．
2．函数y=中自变量x的取值范围是．
3．若x=﹣2是关x的一元二次方程x2﹣4mx﹣8=0的一个根，则另一个根是．
4．方程的解是．
5．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，按照图示的规律摆下去，则第n幅图中有个菱形．
6．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S△EFC=1
其中正确的序号是．
二、选择题（2013•高新区校级二模）﹣3的倒数是（）
A．﹣3 B．﹣C．3 D．±3
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
9．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．下列计算正确的是（）
A．a6÷a2=a3B． +=3 C．（a2）3=a6D．（a+b）2=a2+b2
11．2015年春节期间某市持续好天气，监测数据显示，2月7日至2月13日期间，该市空气质量均为良，空气污染指数如表：
日期7日8日9日10日11日12日13日
污染指数82 96 82 85 80 82 72
则这组数据的众数和中位数分别是（）
A．82，80 B．82，85 C．80，72 D．82，82
12．如图直线y=x+1与x轴交于点A，与双曲线y=（x＞0）交于点P，过点P作PC⊥x轴于点C，且PC=2，则k的值为（）
A．﹣4 B．2 C．4 D．3
13．某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．设第一组人数为x人，根据题意可列方程为（）
A． B． C． D．
14．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（）
A．（） B．（） C．（） D．（）
三、解答题（共9题，满分70分．必须写出运算步骤、推理过程或文字说明．）
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中x=﹣2．
17．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF，求证：AB=DE．
18．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出C2所经过的路径长．
19．为增强学生的身体素质，某校规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对该校九年级部分学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次调查的学生共人，表示户外活动时间为1小时的扇形圆心角度数是
度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级有学生800人，请估计该校九年级学生参加户外活动的时间不少于1小时的有多少人？
20．甲、乙两个口袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）请用列表或画树状图法，表示出点A（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求点A在第三象限的概率．
21．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？
（3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值．
22．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5，BD=2，求线段AE的长．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．
（1）直接写出抛物线的解析式：；
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年云南省昆明市石林县鹿阜中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．太阳的半径约为696300千米，这个数用科学记数法表示为 6.963×105千米．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将696300千米用科学记数法表示为6.963×105千米．
故答案为：6.963×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．函数y=中自变量x的取值范围是x≠3 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．若x=﹣2是关x的一元二次方程x2﹣4mx﹣8=0的一个根，则另一个根是 4 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】设一元二次方程x2﹣4mx﹣8=0的另一根为α，再由根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设一元二次方程x2﹣4mx﹣8=0的另一根为α，则﹣2α=﹣8，解得α=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=﹣，x1x2=是解答此题的关键．
4．方程的解是x=4 ．
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：原方程可化为： +=1，
方程的两边同乘（x﹣3），得
3+2﹣x=x﹣3，
解得x=4．
检验：把x=4代入（x﹣1）=3≠0．
∴原方程的解为：x=4．
故答案为x=4
【点评】本题考查了解分式方程：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
5．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，按照图示的规律摆下去，则第n幅图中有（2n﹣1）个菱形．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】注意分析各个数据和第几个图形的对应关系．
【解答】解：观察图形和所给的数据发现：第二个图中有3=2×2﹣1，第三个图中有5=2×3﹣1，以此类推，则第n个图中，有（2n﹣1）个菱形．
【点评】学生关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
6．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S△EFC=1
其中正确的序号是①②④．
【考点】四边形综合题．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据等边三角形的边长求得直角三角形的边长，从而求得面积可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
∴S△EFC=FC•EC=××=1
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
二、选择题（2013•高新区校级二模）﹣3的倒数是（）
A．﹣3 B．﹣C．3 D．±3
【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选B．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键．
9．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据平行线的性质得∠BEF=∠C=70°，然后根据三角形外角性质计算∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠C=70°，
∵∠BEF=∠A+∠F，
∴∠A=70°﹣30°=40°．
故选C．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
10．下列计算正确的是（）
A．a6÷a2=a3B． +=3 C．（a2）3=a6D．（a+b）2=a2+b2
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．
【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则、完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：A、a6÷a2=a4，故此选项错误；
B、+=3+，故此选项错误；
C、（a2）3=a6，正确；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的除法运算和幂的乘方运算、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11．2015年春节期间某市持续好天气，监测数据显示，2月7日至2月13日期间，该市空气质量均为良，空气污染指数如表：
日期7日8日9日10日11日12日13日
污染指数82 96 82 85 80 82 72
则这组数据的众数和中位数分别是（）
A．82，80 B．82，85 C．80，72 D．82，82
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：中位数是82；
数据82出现了3次，次数最多，所以众数是82．
故选D．
【点评】主要考查了众数，中位数的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
12．如图直线y=x+1与x轴交于点A，与双曲线y=（x＞0）交于点P，过点P作PC⊥x轴于点C，且PC=2，则k的值为（）
A．﹣4 B．2 C．4 D．3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】先把P点的纵坐标代入一次函数y=x+1中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线y=（x＞0）中可计算出k的值．
【解答】解：∵PC=2，
∴P点的纵坐标为2，
把y=2代入y=x+1得x=2，
所以P点坐标为（2，2），
把P（2，2）代入y=（x＞0）得2=，
解得k=4．
故k的值为4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．
13．某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．设第一组人数为x人，根据题意可列方程为（）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，
根据题意，得=+1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；解直角三角形．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据折叠的性质，OA=OA1，∠AOB=∠A1OB，从而求出∠A1OD，利用三角函数求出OD、A1D即可解答．
【解答】解：在Rt△AOB中，tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°．
而Rt△AOB≌Rt△A1OB，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
作A1D⊥OA，垂足为D，如图所示．
在Rt△A1OD中，OA1=OA=，∠A1OD=60°，
∵sin∠A1OD=，
∴A1D=OA1•sin∠A1OD=．
又cos∠A1OD=，
∴OD=OA1•cos∠A1OD=．
∴点A1的坐标是．
故选A．
【点评】此题主要考查图形对折的特征及点的坐标的求法．
三、解答题（共9题，满分70分．必须写出运算步骤、推理过程或文字说明．）
15．计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣1+3﹣4×=2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．先化简，再求值：，其中x=﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】首先通分计算小括号里的算式，然后把除法转化成乘法进行约分计算，最后再把x=﹣2代入计算即可．
【解答】解：
=（﹣）÷
=×
=
当x=﹣2时，
原式===﹣4．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF，求证：AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】由BF=CE可得BC=EF，由AC∥DF得∠ACB=∠DFE，继而根据“SAS”即可判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形性质知AB=DE．
【解答】解：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AB=DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
18．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出C2所经过的路径长．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出点坐标即可；
（2）分别作出各点绕点O逆时针旋转90°后得到的对称点，再顺次连接即可，根据弧长公式计算可得C2所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作三角形A1（﹣5，﹣4）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作三角形，
∵OC2==，
∴C2所经过的路径的长为=π．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换、旋转变换，作出各顶点轴对称变换和旋转变换的对应点是解答此题作图的关键．
19．为增强学生的身体素质，某校规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对该校九年级部分学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次调查的学生共50 人，表示户外活动时间为1小时的扇形圆心角度数是144 度；（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级有学生800人，请估计该校九年级学生参加户外活动的时间不少于1小时的有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用0.5小时的人数除以其所占百分比可得调查的总人数，再用户外活动时间为1小时的人数占总人数的比例乘以360°；
（2）用总人数乘以1.5小时所占百分比；
（3）用九年级总人数乘以户外活动的时间不少于1小时的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：10÷20%=50（人），
表示户外活动时间为1小时的扇形圆心角度数是×360°=144°，
故答案为：50，144；
（2）户外活动时间为1.5小时的人数为50×24%=12（人），补全条形图如下：
（3）800×（1﹣20%）=640（人），
答：估计该校九年级学生参加户外活动的时间不少于1小时的有640人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．甲、乙两个口袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）请用列表或画树状图法，表示出点A（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求点A在第三象限的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用表格列举即可解答；
（2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
【解答】解：（1）如下表，
﹣7 ﹣1 3
﹣2 （﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）（3，﹣2）
1 （﹣7，1）（﹣1，1）（3，1）
6 （﹣7，6）（﹣1，6）（3，6）
点A（x，y）共9种情况；
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）两种情况，
∴点A落在第三象限的概率是．
【点评】此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算，属于基础题．
21．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？
（3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值．
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，根据“买两个篮球和三个足球一共需要510元”列出方程，即可解答；
（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，根据“篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；
（3）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．
【解答】解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，由题意得：
2x+3（x﹣30）=510，
解得：x=120，
∴一个篮球120元，一个足球90元．
（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，
由题意可得：，
解得：40≤x≤50，
∵x为正整数，
∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴共有11种购买方案．
（3）由题意可得y=120x+90（100﹣x）=30x+9000（40≤x≤50）
∵k=30＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y有最小值，y最小=30×40+9000=10200（元），
所以当x=40时，y最小值为10200元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题．
22．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．
【解答】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．
∴在Rt△BDC中
DC=BC•cos30°=6•=9米，
∵CF=1米，
∴DF=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGE中，
BG=GE•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG﹣BG=10﹣3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
23．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5，BD=2，求线段AE的长．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连结OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，而∠ADC=∠B，则∠ODB=∠ADC；再根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到直线CD是⊙O的切线；
（2）先根据勾股定理计算出DA=，再根据三角形相似的判定方法证明△EAB∽△ADB，然后利用相似比即可计算出AE的长．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠ADC=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，
∴DA==，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△EAB∽△ADB，
∴=，即=
∴AE=．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．
（1）直接写出抛物线的解析式：y=﹣x2+x+4 ；
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式；
（2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标；
（3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），对称轴为直线x=1．
∴B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；
（2）由抛物线y=﹣x2+x+4可知C（0，4），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，
∴C′（2，4），
∴A′（0，0）．
（3）存在．
设F（x，﹣ x2+x+4）．
以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
①若AC为平行四边形的边，如答图1﹣1所示，则EF∥AC且EF=AC．
过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1，
∴DE1=2，DF1=4．
∴﹣x2+x+4=﹣4，
解得：x1=1+，x2=1﹣．
∴F1（1+，﹣4），F2（1﹣，﹣4）；
∴E1（3+，0），E2（3﹣，0）．
②若AC为平行四边形的对角线，如答图1﹣2所示．
∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴，
∴点C为点A关于x=1的对称点，
∴F3（2，4），CF3=2．
∴AE3=2，
∴E3（﹣4，0），
综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形；
点E、F的坐标为：E1（3+，0），F1（1+，﹣4）；E2（3﹣，0），F2（1﹣，﹣4）；E3（﹣4，0），F3（2，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等．解题关键是根据题意画出图形，根据图形解答问题．。