华东师大版九年级数学下册教案全册

华东师大版
九年级数学下册全册教案
第26章 二次函数
26．1 二次函数
教学目标：
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问
题．
教学重点：解二次函数的有关概念 教学难点：解二次函数的有关概念的应用 本节知识点
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学过程
（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． 实践与探索
例1． m 取哪些值时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02
≠-m m ．
解： 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．
解得
0≠m ，且1≠m ．
因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2
的函数只有在0≠a
的条件下才是二次函数．
探索 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62
>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意，得 )0(42
>=x x y π
，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得
10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），
其中y 是x 的一次函数；
（4）由题意，得
)260(132
1
)26(212<<+-=-=
x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2
15
0(4225415222<
<-=-=x x x S
； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．
课堂练习
1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02
=-x y （2）2
)1()2)(2(---+=x x x y
（3）x
x y
12+
= （4）322
-+=x x y 2．当k 为何值时，函数
1)1(2
+-=+k
k
x k y 为二次函数？
3．已知正方形的面积为)(2
cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． 课外作业
A 组
1． 已知函数
7
2)3(--=m x
m y 是二次函数，求m 的值．
2． 已知二次函数2
ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x
为3，求此时的y ．
4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系
式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．2
2
)1(x m y -= B ．2
2
)1(x m y += C ．2
2
)1(x m y += D ．2
2
)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2
（0≠a
）模型的是 （ ）
A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 课堂小结： 教学反思：
26.2 二次函数的图象与性质（1）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节要点
会用描点法画出二次函数2
ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学过程：
我们已经知道，一次函数
12+=x y ，反比例函数x
y 3
=
的图象分别是 、 ，那么二次函数2
x y =的图象是什么呢？
（1）描点法画函数2
x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？
（2）观察函数2
x y =的图象，你能得出什么结论？ 实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1）2
2x y = （2）2
2x y -=
解 列表
分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1． 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：2
2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在
对称轴的右边，曲线自左向右上升．
22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；
在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知4
2
)2(-++=k k
x k y
是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+0
22
42k k k ， 解得k=2．
（2）二次函数为2
4x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴． 例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(16
12
>=
C C S ． 列表：
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 课堂练习
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）2
3x y = （2）2
3x y -= （3）2
3
1x y =
2．（1）函数
2
3
2x y =
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数
24
1
x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图． 课外作业
A 组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）2
4x y -= （2）24
1x y =
2．填空：
（1）抛物线2
5x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线m m x m y --=2
)1(开口向下．
（3）已知函数1
222
)(--+=k k
x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大
而增大． 3．已知抛物线
10
2-+=k k kx
y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线2
ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．
B 组
5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3． 6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 27．
一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）．
（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． 课堂小结： 教学反思：
26．2 二次函数的图象与性质（2）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质 本节知识点
会画出k ax y +=2
这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
教学过程
同学们还记得一次函数
x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？
，你能由此推测二次函数2
x y =与12
+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2
x y =与22
-=x y 的图象之间又有何关系？ ． 实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出函数2
2x y =与222
+=x y 的图象． 解 列表．
描点、连线，画出这两个
函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数2
2x y =与222
-=x y 的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数12
+-=x y 与12
--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12
+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解 列表．
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．
可以看出，抛物线
12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两
个单位得到的．
回顾与反思 抛物线12
+-=x y 和抛物线12
--=x y 分别是由抛物线2
x y -=向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线42
+-=x y ，应将抛物线12
--=x y 作怎样的平移？
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与2
2
1x y =
相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22
>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=
a ， 解得3=a ．
故所求函数关系式为232
-=x y ．
回顾与反思 k ax y +=2
（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
课堂练习
1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
221x y =
， 2212+=x y ， 22
1
2-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线
k x y +=
2
2
1的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412
-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛
物线2
41x y =向 平移 个单位得到的．
3．函数332
+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 课外作业
A 组
1．已知函数
231x y =
， 3312+=x y ， 23
1
2-=x y ． （1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）试说出函数
53
12
+=
x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数2
4
1x
y -=通过怎样的平移得到的．
3．若二次函数22
+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？
B 组
4．在同一直角坐标系中b ax y +=2
与)0,0(≠≠+=b a b ax y
的图象的大致位置是( )
5．已知二次函数7)1(82
-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． 课堂小结： 教学反思：
26．2 二次函数的图象与性质（3）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节知识点
会画出2
)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程
我们已经了解到，函数k ax y +=2
的图象，可以由函数2
ax y =的图象上下平移所得，那么函数
2)2(21-=
x y 的图象，是否也可以由函数22
1
x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221x y =
，2)2(21+=x y ，2)2(2
1
-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线
2)2(2
1
+=
x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得
最 值，最 值y= ．
探索 抛物线2)2(21+=
x y
和抛物线2)2(2
1-=x y 分别是由抛物线221
x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2
)4(21-=x y ，应将抛物线22
1x y =作怎样的平移？
例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2
)2(3+-=x y 之间的关系吗
解 抛物线2
3x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2
)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线2
3x y -=与2
)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线
2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．
回顾与反思 2
)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
课堂练习
1．画图填空：抛物线2
)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2
x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
课外作业
A 组
1．已知函数
221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(2
1
--=x y ．
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线
22
1
x y -=得到抛物线
2)1(21+-=x y 和2)1(2
1
--=x y ？
3．函数2
)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
4．不画出图象，请你说明抛物线2
5x y =与2
)4(5-=x y 之间的关系．
B 组
5．将抛物线2
ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． 课堂小结： 教学反思：
26．2 二次函数的图象与性质（4）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质 本节知识点
1．掌握把抛物线2
ax y =平移至2
)(h x a y -=+k 的规律；
2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程
由前面的知识，我们知道，函数2
2x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222
+=x y 的图象；函数2
2x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2
)3(2-=x y 的图象，那么函数
22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？
实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221x y =
，2)1(21-=x y ，2)1(2
1
2--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示． 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填
空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2
)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数2
)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2
x y =，求b 、c 的值．
分析 抛物线2
x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2
的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．
解 c bx x y ++=2
c b b bx x +-++=44222
4
)2(2
2b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(2
2+-
++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24
)42(22
+-
+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24
,42(2
+-
--b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则 解得
⎩⎨
⎧=-=14
8
c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2
向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2
x y =，也就意味着把抛物线2
x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2
．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． 课堂练习
1．将抛物线1)4(22
--=x y 如何平移可得到抛物线2
2x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线
22
3
x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式
为 ． 3．抛物线
22121x x y -
+=可由抛物线22
1
x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到． 课外作业
A 组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．将抛物线522
++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线
23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线322
1
2++-=x x y ？
B 组
4．把抛物线c bx x y ++=2
向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532
+-=x x y ，则有 （ ） A ．b =3，c=7 B ．b= -9，c= -15 C ．b=3，c=3 D ．b= -9，c=21
5．抛物线c bx x y ++-=2
3是由抛物线132
+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．
6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的
抛物线的函数关系式． 课堂小结： 教学反思：
26．2 二次函数的图象与性质（5）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质 本节知识点
1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2
化成2
)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象． 教学过程
我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数2
2x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22
+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232
-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ 实践与探索
例1．通过配方，确定抛物线6422
++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 6422
++-=x x y
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
描点、连线，如图26．2．7所示．
回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．
（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索 对于二次函数c bx ax y ++=2
，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．
例2．已知抛物线9)2(2
++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．
解 9)2(2
++-=x a x y 4
)2(9)22(2
2+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-+4)2(9,2
22a a ．
当顶点在x 轴上时，有
02
2
=+-
a ， 解得 2-=a ．
当顶点在y 轴上时，有 04
)2(92
=+-
a ， 解得
4=a 或8-=a ．
所以，当抛物线9)2(2
++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8． 课堂练习
1．（1）二次函数x x y 22
--=的对称轴是 ．
（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）抛物线642
--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22
的顶点是)1,3
1
(-，则a 、c 的值是多少？ 课外作业
A 组
1．已知抛物线
2
5
3212+-=
x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
2．利用配方法，把下列函数写成2
)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）162
++-=x x y
（2）4322
+-=x x y
（3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=2
3．已知
6
22
)2(-++=k k
x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．
B 组
4．当0<a
时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．
5. 已知抛物线h x x y +-=42
的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．
课堂小结： 教学反思：
26．2 二次函数的图象与性质（6）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质 本节知识点
1．会通过配方求出二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学过程
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数
2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解
决吗 实践与探索
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）5322
--=x x y ； （2）432
+--=x x y ．
分析 由于函数5322--=x x y 和432
+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322
--=x x y 中的二次项系数2＞0， 因此抛物线5322
--=x x y 有最低点，即函数有最小值． 因为5322
--=x x y =8
49
)43(22-
-x ， 所以当43=
x
时，函数5322
--=x x y 有最小值是8
49-． （2）二次函数432
+--=x x y 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线432
+--=x x y 有最高点，即函数有最大值． 因为432
+--=x x y =4
25
)23(2+
+-x ， 所以当23-=x
时，函数432+--=x x y 有最大值是
4
25
． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322
--=x x y 的最大值或最小值．
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日
销售利润是多少？
分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．
设每日销售利润为s 元，则有
1600)160()120(2+--=-=x x y s ．
因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤
x ．
所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．
例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ． （1）用含y 的代数式表示AE ；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；
（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此
y DF AC AE -=-=8．
（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =
，即8
84y
x -=， 所以，
x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．
（3）8)2(282)28(2
2
+--=+-=-==x x x x x xy S ， 所以，当x=2时，S 有最大值8． 课堂练习
1．对于二次函数m x x y +-=22
，当x= 时，y 有最小值．
2．已知二次函数b x a y +-=2
)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ） A ．a ＜b B ．a=b C ．a ＞b D ．不能确定
3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 课外作业
A 组
1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）x x y 22
--=； （2）1222
+-=x x y ． 2．已知二次函数m x x y +-=62
的最小值为1，求m 的值．，
3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：
)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．
（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？
B 组
4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622
的函数值总是正值，求m 的取值范围． 5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．
（1）求S 与x 的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥
AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ． （1）求线段EF 的长；
（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ， 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围， 并求出S 的最小值． 课堂小结： 教学反思：
26 . 2 二次函数的图象与性质（7）
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质 本节知识点
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． 教学过程
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系
式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数
)0(≠=
k x
k
y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？ 实践与探索
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是
)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2
<=a ax y ，得 所以 4
15-
=a ． 因此，函数关系式是
2
4
15x y -
=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；。