北师大版数学选修课时分层作业4 分析法

课时分层作业(四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A ．综合法
B ．分析法
C ．比较法
D ．归纳法
B [由分析法和综合法定义可知选B.]
2．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( )
A ．ab >0
B ．b >a
C ．a <b <0
D ．ab (a －b )<0
C [由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b 3不能推出a <b <0，
∴a <b <0是1a 3>1b 3的一个充分不必要条件．]
3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2
－1－a 4＋b 42≤0 C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
D [要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.]
4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )
A ．a 2<b 2＋c 2
B ．a 2＝b 2＋c 2
C ．a 2>b 2＋c 2
D ．a 2≤b 2＋c 2
C[由余弦定理得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2<a2．]
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”，则索的因应是()
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
C[b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－
c)(a－b)>0.]
二、填空题
6．设A＝1
2a＋
1
2b，B＝
2
a＋b
(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
A≥B[∵A－B＝a＋b
2ab－
2
a＋b
＝
(a＋b)2－4ab
2ab(a＋b)
＝
(a－b)2
2ab(a＋b)
≥0，∴A≥B.]
7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是______．
a>b>0[要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b 应满足a>b>0.]
8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
B1D1⊥A1C1(答案不唯一)[要证明A1C⊥B1D1，
只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C .
因为CC 1⊥B 1D 1，
只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，
从而得B 1D 1⊥A 1C 1．]
三、解答题
9．当a ＋b >0时，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．
[证明] 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .
因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，
所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．
因此不等式得证．
10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S .
[证明] 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，
只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ，
即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，
因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，
只需证a 2＋b 2≥2ab ，
显然上式成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .
[能力提升练]
1．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d ，则( )
A.a
b<
a＋c
b＋d
<
c
d B.
a＋c
b＋d
<
a
b<
c
d
C.a
b<
c
d<
a＋c
b＋d
D．以上均可能
A[先取特殊值检验，∵a
b<
c d，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则a＋c
b＋d
＝
2
5，满足
a
b<
a＋c
b＋d
<
c
d.
∴B，C不正确．
要证a
b<
a＋c
b＋d
，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.
只需证a
b<
c
d，而
a
b<
c
d成立，
∴a
b<
a＋c
b＋d
.同理可证
a＋c
b＋d
<
c
d.故A正确，D不正确．]
2．下列不等式不成立的是()
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.a＋b>a＋b(a>0，b>0)
C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)
D.2＋10>2 6
D[对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab ＋bc＋ca；
对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；
对于C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3<a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a(a－3)<2a－3＋
2(a －2)(a －1)，即a (a －3)<(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2．因为0<2显然成立，所以原不等式成立；
对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．]
3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是_______．
12 [由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1，
即p <(3＋22－1)2，
所以p <12＋46－42－23，
由于12＋46－42－23≈12．7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12．]
4．若直线2ax ＋by －4＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－2x －4y －8＝0的面积，则2a ＋1b 的最小值为________．
32＋2 [由条件知直线过圆心(1,2)，∴2a ＋2b －4＝0，即a ＋b ＝2．∴2a ＋1b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )×12 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋1＋a b ＋2b a ≥12(3＋22)
＝32＋ 2.]
5．求证：以过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p 2相
切．
[证明] 如图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需
证|MM′|＝1
2|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝1
2(|AA′|＋|BB′|)．
根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的
弦为直径的圆必与直线x＝－p
2相切．。