损伤与断裂力学第4章(矿大)高峰

图4-9 非平面应变的R曲线
韧性断裂阻力曲线
例如在韧性断裂时，裂纹扩 展阻力往往是呈曲线的。一旦达 到并稍为超过裂纹开始扩展的条 件时，若外力仍维持不变，则较 长的裂纹(例如图中的裂长a2受到 2作用时)有可能稍为扩展，然后 很快地停止下来。只有当外力较 大时，才有可能引起失稳扩展。
图4-9 非平面应变的R曲线
的关系式。
其余裂纹类型情况
上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。若假设
II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则
有：
GII
K
2 II
E1
GIII
(1
)
K
2 III
E
如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型
裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放
率为 ：
G
GI
GII
K场区
在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场 时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端 的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应 力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外 则须加上高次项。
关于K场区和断裂过程区
如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算 应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端 区是不实用的。
3.如图所示，在上下表面，有位移v=±v0和τxy=0，即被刚
体固接。此时横向位移u不受约束。求在平面应力时的
应力强度因子。
4-3 断裂判据
断裂过程区 断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤 达到临界程度时才发生的。在此小区域中材料 的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的 地方。这个小区域就叫做断裂过程区FPZ (fracture process zone)。
思考题 为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强 度因子却不能?
习题 试建立II型和III型裂纹的应力强度因子和能量释放率 之间的关系 。
4-2 柔度法
柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质， 用测量的方法来得到G，然后再利用G与K的关系来得 到K值。
由于I型裂纹的G与K的关系式是精确的，并且I型裂纹 容易施加载荷，所以柔度法一般只用在I型裂纹。
2． 在习题1中，若发现的裂纹是长为200 mm，深为4 mm的内表面横向(圆周向)裂纹。试求出习题1中的两 个问题。
4-4 阻力曲线
能量释放率可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量， 又称为裂纹扩展力。裂纹扩展力必须大于裂纹扩展阻 力，裂纹才有可能扩展。对平面应变的脆性断裂来说， 裂纹扩展阻力由KIC确定，是个常数值，不随裂纹增长 而变。但对不同厚度的平板，尤其是厚度小于平面应 变所要求的厚度时，裂纹扩展阻力不再是常数。为了 说明裂纹扩展阻力的观念，现在以平面应变无限大平 板I型中心裂纹为例，
幸运的是，许多高强度合金和工程材料在发 生脆性断裂时，多是K场区强度起支配作用的。因 此，应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆 性断裂。
断裂判据
对于一个单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量释放率的 关系，可有断裂判据：
K Kcr
I型裂纹是最常见的裂纹型，其失稳断裂开始的临界点Kcr，通常 与试件(或构件)的厚薄、大小有关。当试件(或构件)厚到某一程
恒载荷柔度法
一块很长的矩形板，板厚为B，板下边固定，上边某点 有拉力P，载荷点位移为δ。拉力P方向垂直裂纹面。在 裂长为a时，拉力P可产生位移δ(a)，当裂纹增至
a a 时，位移也增至 (a a) :
(a a) (a) a
a
U 1 P P a P2 C a
因为位2移和拉2 力 a有 如下2 关 a系P∶ CP,C是柔度 ,于是：
韧性断裂阻力曲线
阻力曲线的测定一般是针对裂纹扩展阻力不为常 数值时才实施。脆性材料平面应变的恒载荷试验时， 试件一启裂就立即失稳扩展。但对阻力随裂纹扩展增 量而变的情形，达到启裂点后不一定会发生扩展，即 使扩展也不一定是失稳扩展。当扩展力稍稍超过启裂 点时，往往有一段稳定扩展(也叫做亚临界裂纹扩展)。
s y (r,0)v(s r, )Bdr
0
2
B为平板的厚度
能量释放与应力强度因子
按照Griffith能量释放的观点，裂纹长度延长s时， 此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。 因此，按照I型裂纹能量释放率GI的定义 :
GI
lim 2 s0 Bs
s y (r,0)v(s r, )Bdr
脆性断裂阻力曲线
如果将x轴改为代表裂纹扩展增量Δa，则可以改画成 下图。 Δa ＞0部分才是真正扩展。 Δa ＜0部分即表示不 扩展，而以负方向离原点的距离表示裂纹半长度的大小 。
韧性断裂阻力曲线
在板厚较薄而不合乎平 面应变条件时，裂纹扩展
阻力R随Δa增加而增加。
图(4－9)的例子仍是Griffith 裂纹，此时裂纹扩展阻力 是一曲线。此曲线叫做阻 力曲线或R曲线。
第4章 线弹性断裂力学 的基本理论
4-1 应力强度因子概念和能量释放观点的统一
假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其 它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在 裂端释放以形成新的裂纹面积。下面以带有穿 透板厚的I型裂纹的平板为例，来建立应力强度 因子和能量释放率间的关系。
裂纹尖端正前方的应力分布
裂纹长度(或裂
(2) 求出不同裂纹长度下的柔度C，，柔度C是直线Pδ斜率的倒数。把柔度与裂长的关系画在图中。若是数 据点足够多，可用最小二乘法把数据点拟合成一条多项 式表示的曲线。
BEC
b0
b1
(
a h
)
b2
(
a h
)
2
b3
(
a h
)
3
b4
(
a h
)
4
G
U Ba
P2 2B
C a
P
GB2 Eh P2
1 2 [b1
度和大到某一程度，脆性材料的Kcr值达到极小值，以后尺寸厚度
再增加， Kcr仍维持此极小值，此极小值用符号代表即为KIC ，其
相应的GIC值称为平面应变的断裂韧度。因此，I型裂纹保守的判
据为:
K I K IC
断裂判据可以解决下列两个问题
(1)当知道工作载荷时，可以计算出断裂时的临界 裂纹尺寸；
(2)当知道裂纹尺寸和位置时，可计算出可能引起 断裂的载荷。
(
C 1 a
)
c
2 c
2B
(
C 1 a
)
应该指出，载荷与位移之间的正比关系是建立在 材料服从虎克定律的基础上，因此要求裂纹尖端的塑 性区是微小的，如果裂端塑性区大到不可忽略时，则 载荷与位移之间的线性关系不再成立，这时属于弹塑 性断裂力学的范围。
柔度法一般应用于恒载荷时平板的I型裂纹问题， 要求裂纹前沿整齐，有相同的能量释放率。整个应力 强度因子标定的步骤如下∶
反过来，若K场区尺寸比断裂进行区尺寸大几 倍以上，则断裂进行区是否会发生断裂，受其外 部的K场区强度所制约，因此，断裂判据可建立在 K场区强度是否达到临界条件这个基础上。
由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑 性区，而塑性区内的应力是有界的。因此，应力 强度因子断裂判据成立的条件是，塑性区尺寸比K 场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。
2
cr
a KIC
于是：
cr
K IC 2 a
447(MN/m2 )
习题
1． 有一平均半径为800mm，壁厚10mm的圆柱壳形 高压容器，所用钢材具有KIC值130MN/m3/2,现发现 有一长为12mm、最深为4mm的内表面半椭圆轴向 裂纹。问(A)内压多达时才会发生断裂?(B)若内压只是 临界内压的1/4，并假设裂纹形状不变，问裂纹扩展 至多大才会发生断裂?
GIII
K
2 I
K
2 II
E1
(1
)
K
2 III
E
提示
?
实验结果指出，除I型裂纹可以沿原方向 扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。 因此总能量释放率只是近似估计式。如果要 考虑裂纹真正的扩展方向来计算，这已不是 解析的方法所能做到，必须要用数值解法， 同时还要一套断裂理论指出裂纹开裂的方向。
练习
3.图(4－9)中，若裂纹很短(例如为a1)，裂纹扩展力为G1 的概念在什么情况下是正确的?什么情况下是不正确 的?
4-5 应变能密度因子
考虑二维的裂纹问 题，受到I、II、III型三 种载荷中的任一种或两 种以上载荷的作用。裂 纹前缘是平直的，即整 个前缘各点的应力强度 因子值都相同，如图所 示，裂纹端点区附近的 一点P处有体积元，其 应力场为三种裂纹应力 场的叠加 ：
v(s-r,π)：
2v
KI
r
2
1/ 2
(
1)
2 cos2
2
sin
2
v(s r, ) 1 2
sr
2
[
K
I
]a
s
裂纹形成时外力做功
当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才
真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位 移同向，当裂纹长度延长s时，作用力对裂纹上表面所做的 功为：
例题
例题 34GrNi3Mo钢所制成的粗轴，探伤检查发现主要的 缺陷是内部有一半径为40mm的圆裂纹，裂纹面的法线 方向与轴向平行。已知轴半径远大于裂纹尺寸，同时 测得钢的KIC为99.2MN/m3/2,试问要是发生断裂，轴向 拉伸应力至少有多大?
解答
因为粗轴半径远大于圆裂纹半径，可采用无限大弹性体 有圆裂纹的应力强度因子的解。于是临界条件为：
脆性断裂阻力曲线
当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增加而线 性上升。在1时，裂纹半长度为a1就达到裂纹扩展阻力值 GIC。超过a1 ，就发生失稳断裂；低于a1 ，则裂纹不扩展。
脆性断裂阻力曲线
以小于1的拉伸应力2作用时，必须超过较长的a2才
会发生断裂。图中带箭头的直线代表裂纹扩展力，只有 当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=KIC，才会发生失稳断 裂。
a 2b2 ( h )
3b3
(
a h
)
2
4b4
(a)3] h
GI
K
2 I
E1
K
P
1
[b1
2b2
(a) h
3b3
(
a h
)
2
4b4
(
a h
)
3
]
1 2
B(2h) 2
习题
1.求恒拉力下双悬臂梁试件的应力强度因子。
2.有限大小弹性圆柱体含有位于中心的圆裂纹时，试求在
拉力作用下类似
G
P2 2B
C a
P
的能量释放率表达式。
I型裂纹是最 危险的。
恒载荷和恒位移时G的表达式
G d (W U ) dA
当边界是给定位移时，外界对系统不做功，则
G dU dA
这是恒位移时能量释放率的表达式 。 若系统边界某范围是给定载荷 ， dW Pd 2dU
G dU dA p
这是恒载荷时的能量释放率表达式。 柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应 力强度因子的标定
0
2
当s→0时，有[KI]a+s→ KI，经过积分得：
GI
1 8
K
2 I
简化的统一形式
对于平面问题，若取有效弹性模量E1和有效泊松比ν1，而
平面应力
E
E1
E
平面应变
1 2
1
1
则平面应力和平面应变状态下的本构关系及其解均将完全相同 。
于是：
GI
K
2 I
E1
这就是著名的能量释 放率与应力强度因子
一般情况下的裂纹尖端应力场
x
k1 2r
cos
2
1
sin

2
cos
3
2
k2 2r
sin
当达到失稳断裂时，这时的Δa量已达到不可忽略了，
对于有稳定扩展阶段的断裂韧度测试中，若监测启裂 点不容易时，可以用阻力曲线的测量，然后用外推法 得出启裂点。
思考题
1.在带裂纹平板的表面铆接或焊接一块平板，把裂纹覆盖 起来(此称为加筋板)。试根据阻力曲线的原理，讨论 裂纹可能的扩展行为。
2.如果已测量到一组(R, Δa)数据，这里R是裂纹扩展阻力 。你如何得到启裂时的R值?
纹半长度)为a的裂纹 端点正前方r处有使
裂纹面撑开的拉伸 应力:
y (r,0)
KI
2r
y
KI
2r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
裂纹面上的位移
在初始应力如上
式给出的情形下，
设裂纹可以延长a长
度，即把裂端前方
撑开成长度为a+s的
裂纹。此时在原坐
标系的x=r处或离新
裂纹端点s-r处，新
裂纹上表面的位移
(1) 选定一标准试件－长条板单边裂纹试件，用薄刀片加 工，制成长为a1的I型裂纹。然后材料试验机上拉伸， 画出拉力和加载点位移关系线。此时关系应是线性的。
拉力值不得大到使P-δ关系产生非线性。下一步， 再度使裂纹稍稍延长至长度a2，有在同一张纪录纸上 记下此时的P-δ关系。如此进行至少十多次，裂纹长度 已相当长时才停止。
G
U Ba
P2 2B
C a
P
恒位移柔度法
长矩形板如图，一边固定，另一边强迫作位移 后c 也 加以固定。假设裂纹长度 a由增至 a ，a则应变能的改
变是△OBC减去△OAC，即等于负的△OAB的面积，。
此时，载荷改变量△P也是负值。
U
1 2
c
P;
P
C 1
G
dU dA
1 2
c
P
Ba
c 2B