2013版高中全程复习方略配套课件：4.3平面向量的数量积(数学文人教A版湖南专用)

【满分指导】平面向量主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理.
【解题指南】利用向量数量积证明，由
a2
uuur 2 BC
uuur (AC
uuur AB)2 ,
把
uuur (AC
Au展uBur开)2 利用
uuur uuur ACgAB
|代AuuCu入r ||，AuuBu即r |g可cosA
【例2】已知
a
(
1，
3
uuur )，OA
a
uuur b, OB
a
b，若△AOB是以
22
O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用
uuur uuur uuur uuur OA OB，| OA || OB |,
列出方程组，求出b.
【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则
2.利用数量积求解长度问题的处理方法 (1) a2 aga | a |2 或 | a | aga. (2) | a b | (a b)2 a2 2agb b2 . (3)若a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a,b满足 | a || b |1,
④ (a b)g(4a b) 18
() () () ()
【解析】① | a | | b | 12 (1)2 2故2 ①42真 . 2 2 5,
② cos agb 1 2 (1) 4② 真.2 10 ,
| a || b |
2g 20
2g2 5 10
③∵ a =b(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，
【即时应用】 (1)思考： (agb)c 与 a(bgc) 相等吗？ 提示：不一定相等，∵ agb,均bg为c 实数，∴ （agb）c∥c,
a(bgc，)∥所a 以 与(agb)c 不一a定(bg相c) 等. (2)若非零向量a,b满足 | a || b | ,(2a+b)gb 0, 则a与b的 夹角为_________.
3 y)2 2
解得
x
3
2或
y
1 2
x
3 2.
y
1 2
所以 b ( 3或, 1)
22
b ( 3 , 1). 22
方法二：设向量b=(x,y)，依题意，OuuAurgOuuBur 0，
|
uuur OA
||
Ou则uBur
|，
(a b)g(a b) 0，
| a b || a b |，
【即时应用】
(1)已知正三角形ABC的边长为1，则
①
uuur uuur ABgAC
=_________；
②
uuur AB
在
uuur AC
方向上的投影为__________.
(2)已知 | a | 1, | b | 2,agb 1 ，则向量 a、b 的夹角θ等于
__________.
【解析】(1)①
【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依 据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意 确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选 择易求夹角和模的基底进行转化.
平面向量的垂直问题 【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则 a b agb 0 ；若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2),则 a b ⇔x1x2+y1y2=0. (2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性 运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用 来解决几何中的线线垂直问题.
uuur AE
uuur AB
2
uuur AC
uuur AB，
∴
uuur uuur2 ADgBE
1
uuur (AB
uuur AC)g(
2
uuur AC
uuur AB)
3
2
3
=
1
uuur 2 AC
1
uuur 2 AB
1
uuur uuur ABgAC
3
2
6
= 1 1 1 cos60 1 .
326
4
∴ ag(a =(b2)λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，
∴λ=1,③真.
④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，
∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.
答案：①真 ②真 ③真 ④真
3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：agb bga; (2)数乘结合律：(a)gb =__(_a_gb_)__=__a_g(__b_)_; (3)分配律：ag(b c) =__a_gb___a_gc__.
【规范解答】(1)选B.∵ | a 2b |2 a2 4agb 4b2 12 4
( 1 ) 4 12 3， 2
∴ | a 2b | 3.
(2)由题意画出图形如图所示，取基底 AuuBur,，AuuCur结合图形可
得
uuur AD
1
uuur uuur uuur (AB+AC)，BE
| 2a b | 3 2,| a b | 3,
cos 9 2 , 3 23 2
又θ∈［0，π］，∴θ= .
4
(2)由 S | |g| | sin |可 |得sin， 1
2
sin 1 1 ,故［ , 5］.
2|| 2
66
答案：［ , 5］
66
【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积， 两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ， 要注意θ∈［0,π］.
uuur OA a b
( 1 x,
3
uuur y)，OB
a
b
(
1
x,
3 y)，
22
22
由题意可知,
uuur uuur OAgOB
uuur uuur 0，| OA || OB | ,
从而有：
(
1 2
x)(
1 2
x)
(
3 2
y)(
3 y) 0 2
,
(
1 2
x)2
(
3 2
y)2
( 1 x)2 ( 2
答案： 1
4
(3) 2a =b2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)， 由 a (2a得 b) a=g(120a + b(2) -k)=0, ∴k=12, ∴ =br (-1,12), ∴ (a b)g(a b) a2 b2 (22 12 ) ［(-1)2 122］ 140. 答案：-140
【即时应用】
(1)思考：若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？
提示：不一定，也可能是平角.
(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假(请在
括号内填“真”或“假”)
① | a | | b | 2 2 5 ②若θ为向量a、b的夹角，则 cos 10
10
③若 a (a b), 则λ=1
【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),
则2a+b与a-b的夹角等于( )
(A)
4
(B)
6
(C)
4
(D) 3
4
(2)(2011·浙江高考)若平面向量 α,β 满足 | α | 1,| β | 1，且以向
量 α,β 为邻边的平行四边形的面积为 1 ，则 α与β 的夹角θ的
| a || b | agb 0
agb x1x2 y1y2
cos
x1x2 y1y2
x12 y12 g
x
2 2
y
2 2
x1x2+y1y2=0
| agb | 与 | a || b | 的关系
| agb || a || b（| y12 g x22 y22
1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数 量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识 点交汇则以解答题为主.
1.平面向量的数量积 (1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 θ，则向量a与b的数量积是数量_|_a_||b_|_c_os___，记作a·b，即 a·b =__|a_||_b_|c_o_s__. (2)向量的投影 设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_|_a_| _co_s__； 向量b在a方向上的投影是__| _b_| _co_s____. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度 | a | 与__b_在_a_ _的_方__向__上__的_投 __影__|_b_|_c_o_s__的乘积.
第三节 平面向量的数量积
三年24考 高考指数:★★★★ 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系； 5.会用向量方法解决简单的平面几何问题.
uuur uuur ABgAC
|
uuur AB ||
uuur AC | cosA
11 cos60
1.
2
② AuuB在ur Au方uCur向上的投影为
c| AuouBusr A| =1·cos60°=
.
1 2
(2)∵ cos agb 1 1 ,
| a || b | 1 2 2
又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
agb 1 , 则 | a 2b | =(
2
(A) 2
(B) 3
) (C) 5
(D) 7
(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设
uuur uuur uuur uuur BC 2BD,CA 3CE,
则
uuur uuur ADgBE
=________.
(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),
所以 | a || b | 1,agb 0.
所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，
即有
1
x
2
3 2
y
0，
x2 y2 1
解得 b ( 3或, 1)
22
b ( 3 , 1). 22
【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满 足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量 问题数字化.
cos x1x2 y1y2 .
x12 y12 g
x
2 2
y22
(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用 正余弦定理，三角形的面积公式等求解. 【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°<θ≤180°)， 即a·b>0(<0)是θ为锐角(钝角)的必要而不充分条件.
a (2a b), 则 (a b)g(a b) =________.
【解题指南】(1)借助 | a 2b |2 (a 2求b)解g(a； 2b)
(2)用基向量
uuur AB
、表Auu示Cur 向量
；AuuDur
uuur 、BE
(3)借助 ag(2a b求) k0，进而求
(a b)g(a b).
答案：(1)① 1 ② 1(2)60°
2
2
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
结论 模
几何表示
| a | aga
坐标表示
| a | x12 y12
数量积
夹角
a b的 充要条件
agb | a || b | cos cos agb
平面向量的夹角的求法
【方法点睛】求向量夹角的方法
(1)利用向量数量积的定义知， cos agb 其中两向量夹
| a || b |
角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：
agb,| a |,| b | 或者找出这三个量之间的关系.
(2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2
取值范围是________.
【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐 标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹 角θ的范围. 【规范解答】(1)选C.∵ 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)， a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)， ∴ (2a b)g(a b) 3 0 33 9,
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵ (2a b)gb 0，2agb b2 0, ∴ 2 | a || b | cos | b |2 0, 又∵ | a |≠| b0|，0°≤θ≤180°， ∴cosθ=- ,1∴θ=120°.
2
答案：120°
平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积问题类型及求法 (1)已知向量a、b的模及夹角θ，利用公式 agb | a || b | cos 求解； (2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.