2017-2018学年吉林省长春外国语学校高一(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年吉林省长春外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015春•长春校级期中）sin30°cos15°+cos30°sin15°的值是（）
A．B．C．D．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用两角和的正弦公式化简所给的式子，可得结果．
解答：解：sin30°cos15°+cos30°sin15°=sin（30°+15°）=sin45°=，
故选：C．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
2．（5分）（2015春•长春校级期中）若向量=（1，2），=（﹣2，3）分别表示向量与，则|+|=（）
A．B．25 C．2D．26
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的坐标运算得出+=（﹣1，5），利用向量的模的公式求解即可．
解答：解：∵向量=（1，2），=（﹣2，3）分别表示向量与，
∴+=（﹣1，5），
∴|+|==，
故选：A．
点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题，计算准确即可．
3．（5分）（2015春•长春校级期中）若，，与的夹角为60°，则=（）A．2 B． 1 C．2D． 4
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：利用平面向量的数量积公式直接可得．
解答：解：因为，，与的夹角为60°，则==2×1×=1；
故选：B．
点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的数量积；属于基础题．
4．（5分）（2015春•长春校级期中）设=（+5），=﹣2+8，=3（﹣），则
共线的三点是（）
A．A，B，C B．B，C，D C．A，B，D D．A，C，D
考点：平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：由于==，即可得出．
解答：解：∵=﹣2+8+3（﹣）==，
∴共线的三点是A，B，D．
故选：C．
点评：本题考查了向量的运算、共线定理，属于基础题．
5．（5分）（2015春•长春校级期中）在等差数列{a n}中，a1+a19=10，则a10的值为（）A．5 B． 6 C．8 D．10
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质可得2a10=a1+a19=10，解方程可得．
解答：解：由等差数列的性质可得2a10=a1+a19=10，
解得a10=5，
故选：A．
点评：本题考查等差数列的通项公式和等差数列的性质，属基础题．
6．（5分）（2015春•长春校级期中）已知{a n}为等比数列，a4=2，a7=16，则a5+a3=（）A．7 B． 2 C． 5 D．﹣7
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可得到结论．
解答：解：由a4=2，a7=16，得，
解得，则a5+a3==×16+=4+1=5，
故选：C
点评：本题主要考查等比数列的应用，根据条件求出首项和公比是解决本题的关键．
7．（5分）（2015春•长春校级期中）若实数a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax2+2bx+c 的图象与x轴交点的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据a，b及c为等比数列，得到b2=ac，且ac＞0，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数．
解答：解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，且ac＞0，
令ax2+2bx+c=0（a≠0）
则△=4b2﹣4ac=4ac﹣4ac=0，
所以函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是1个．
故选：B．
点评：本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点个数，属于基础题．
8．（5分）（2015春•长春校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=（）
A．1 B．C．D．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据条件求出B=，再利用余弦定理解决即可．
解答：解：∵A+C=2B，
∴A+C+B=3B=π，
则B=，
则b2=a2+c2﹣2accosB，
即3=1+c2﹣2c×，
即c2﹣c﹣2=0，
解得c=2或c=﹣1（舍），
则a2+b2=c2．即△ABC为直角三角形，
∠C=，即sinC=1．
故选：A
点评：本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理是解决本题的关键．
9．（5分）（2015春•长春校级期中）在各项均不为零的等差数列{a n}中，若
，则等于（）
A．4030 B．2015 C．﹣2015 D．﹣4030
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：通过等差中项的性质可得2a n=a n﹣1+a n+1，同时利用
，结合题意即得等差数列{a n}为常数列，进而可得结论．
解答：解：∵数列{a n}为等差数列，
∴2a n=a n﹣1+a n+1，
又∵，
∴2a n=，
解得：a n=2或a n=0，
又∵数列{a n}中各项均不为0，
∴a n=2，
即等差数列{a n}为常数列，
∴=2015×2=4030，
故选：A．
点评：本题考查等差数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．（5分）（2015春•长春校级期中）已知，，且∥，则钝角θ等于（）
A．45° B．135° C．150° D．120°
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量平行的坐标表示出两者的关系，再由θ为钝角最终确定范围．
解答：解：，，且∥，
∴2×﹣（1﹣cosθ）（1+cosθ）=0，
解得sinθ=±，
∵θ为钝角，
∴θ=135°，
故选：B．
点评：本题主要考查平行向量的坐标表示．属基础题
11．（5分）（2015春•长春校级期中）设S n为数列{a n}的前n项和，a n=1+2+22+…+2n﹣1，则S n 的值为（）
A．2n﹣1 B．2n﹣1﹣1 C．2n﹣n﹣2 D．2n+1﹣n﹣2
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：运用等比数列的求和公式，求出a n，再运用分组求和方法，再由等比数列的求和公式，即可得到结论．
解答：解：a n=1+2+22+…+2n﹣1
==2n﹣1，
则S n=（2﹣1）+（22﹣1）+…+（2n﹣1）
=（2+22+…+2n）﹣n
=﹣n=2n+1﹣2﹣n．
故选D．
点评：本题考查等比数列的通项和求和公式及运用，考查分组求和的方法，考查运算能力，属于中档题．
12．（5分）（2015春•长春校级期中）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=1，△ABC的面积为，f（x）=2sin（2x+）+1，且f（B）=2，则的值为（）A．2B． 2 C．2D． 4
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的求值．
分析：由f（B）=2，求出B，利用，△ABC的面积为，求得c的值，再利用余弦定理求
得b，可得的值．
解答：解：在△ABC中，由f（x）=2sin（2x+）+1，且f（B）=2，可得2sin（2B+）
+1=2，即sin（2B+）=，
∴2B+=，B=．
∵，△ABC的面积为•ac•sinB=•=，∴c=2．
由余弦定理可得b==，∴==2，
故选：B．
点评：本题主要考查余弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2015春•长春校级期中）已知且，则sin2x=．
考点：二倍角的正弦．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：由已知利用同角三角函数关系式可求cosx，利用二倍角的正弦函数公式即可求值．
解答：解：∵且，
∴cosx=﹣=﹣=﹣．
∴sin2x=2sinxcosx=2×=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式的应用，属于基础题．
14．（5分）（2015春•长春校级期中）已知数列{a n}，a1=1且点（a n，a n+1）在函数y=2x+1的图象上，则a3=7．
考点：数列的函数特性．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：根据点在直线上建立条件关系即可得到结论．
解答：解：∵点（a n，a n+1）在函数y=2x+1的图象上，
∴2a n+1=a n+1，
∵a1=1，
∴a2=2a1+1=3，
a3=2a2+1=7，
故答案为：7．
点评：本题主要考查数列的函数性质，根据条件得到一个递推数列是解决本题的关键．
15．（5分）（2015春•长春校级期中）若||=4，与反向且||=2，则=﹣2．
考点：平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量共线直接写出答案即可．
解答：解：∵||=4，与反向且||=2，
∴=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了向量共线的问题，属于基础题．
16．（5分）（2015春•长春校级期中）已知数列{a n}中，S n=4n2﹣n，则a4=27．
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由S n=4n2﹣n可得a n=8n﹣5，从而求a4即可．
解答：解：∵S n=4n2﹣n，
当n=1时，a1=S1=4﹣1=3，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1
=（4n2﹣n）﹣（4（n﹣1）2﹣（n﹣1））
=8n﹣5，
当n=1时时上式也成立，
故a n=8n﹣5，
故a4=8×4﹣5=27；
故答案为：27．
点评：本题考查了由S n求通项公式的应用，属于基础题．
三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）
17．（12分）（2015春•长春校级期中）已知向量=（4，3），=（﹣3，﹣1），点A（﹣1，
﹣2）．
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点P（2，y）满足P=λ（λ∈R），求y与λ的值．
考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出．
解答：解：（1）设B（x，y）．∵A（﹣1，﹣2），
∴=（x+1，y+2）=（4，3），
∴，解得
即B（3，1）．
同理可得D（﹣4，﹣3）．
∴线段BD的中点M的坐标为（﹣，﹣1），
（2）∵=（1，1﹣y），=（﹣7，﹣4），
∴由=λ得（1，1﹣y）=λ（﹣7，﹣4），
∴解得y=，λ=﹣．
点评：熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键．
18．（12分）（2015春•长春校级期中）已知等差数列{a n}中，a1=﹣29，S10=S20．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）问数列前多少项之和最小；并求出最小值．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设等差数列{a n}的公差是d，利用等差数列的前n项和公式化简S10=S20，求出公差d的值，再代入等差数列的通项公式化简即可；
（2）由（1）和等差数列的前n项和公式求出S n，利用二次函数的性质求出S n的最小值和对应的n的值．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差是d，
由a1=﹣29，S10=S20得，10×（﹣29）+=20×（﹣29）+，
解得d=2，
∴a n=﹣29+2（n﹣1）=2n﹣31；
（2）由（1）得，S n=﹣29n+=n2﹣30n，
∴当n=15时，前n项之和最小，且（S n）min=﹣225．
点评：本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出S n的最小值，属于中档题．
19．（15分）（2015春•长春校级期中）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a2=（2b+c）b+（2c+b）c．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）利用余弦定理即可求A的大小；
（2）求出B+C=60°，利用两角和差的正弦公式即可求sinB+sinC的最大值．
解答：解：（1）∵2a2=（2b+c）b+（2c+b）c．
∴2a2=2b2+2c2+2bc．
即b2+c2﹣a2=﹣bc，
则cosA==，
∴A=120°
（2）∵A=120°，
∴B+C=60°，0°＜B＜60°
则sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=sinB+cosB﹣sinB
=cosB+sinB=sin（B+60°），
∵0°＜B＜60°，
∴60°＜B+60°＜120°，
即当B+60°=90°，
即当B=30°时，sinB+sinC最大，最大值为1．
点评：本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
20．（15分）（2015春•长春校级期中）已知，
，ω＞0，记函数f（x）=，且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；
（2）设g（x）=f（x）﹣，求函数g（x）的值域．
考点：平面向量数量积的运算；函数的值域；三角函数中的恒等变换应用．
专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：根据向量的运算得出f（x）=cos（2ωx），
（1）利用三角函数的周期公式求解即可．
（2）得出函数g（x）=f（x）﹣=cos（2ωx）=cos（2x），利用余弦函数的性质求解值域．
解答：解：∵，，ω＞0，
∴数f（x）==sinωxcosωx+cos2ωx=cos（2ωx）
（1）f（x）=cos（2ωx），T==，
∵f（x）的最小正周期为π．
∴ω=1
（2）g（x）=f（x）﹣=cos（2ωx）=cos（2x）
根据余弦函数的值域[﹣1，1]得出g（x）的值域为：[﹣1，1]
点评：本题综合考察了平面向量的运算，三角函数的性质，考察了综合运算知识的能力，属于中档题，常规题目．
21．（16分）（2015春•长春校级期中）设数列{a n}满足，
n∈N*．
（1）a1，a2；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设b n=，求{b n}的前n项和S n．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（1）由题意得a1=，a1+3a2=；从而求a1，a2；
（2）当n≥2时，由可得3n﹣1a n=；从而解得；
（3）化简b n===﹣，从而由{b n}的前n
项和S n．
解答：解：（1）由题意得，
a1=，a1+3a2=；
解得，；
（2）当n≥2时，
，①
a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，②
①﹣②得，
3n﹣1a n=；
解得：；
a1=也成立；
故．
（3）∵b n===﹣，
∴S n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=1﹣=．
点评：本题考查等比数列的求法及裂项求和法的应用，属于基础题．。