2020_2021学年新教材高中数学第9章平面向量9.4向量应用课时素养评价含解析苏教版必修第二册2

课时素养评价九向量应用
(20分钟35分)
1.如图,在重600 N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,两根
绳子拉力的大小分别为( )
A.300错误!未找到引用源。

N,300错误!未找到引用源。

N
B.150 N,150 N
C.300错误!未找到引用源。

N,300 N
D.300 N,300 N
【解析】选C.作▱OACB,使∠AOC=30°,
∠BOC=60°.在▱OACB中,
∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
||=||·c os 30°=300错误!未找到引用源。

N,||=||·sin 30°=300 N,||=||=
300 N.
2.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A.错误!未找到引用源。

B.2错误!未找到引用源。

C.5
D.10
【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.
所以四边形ABCD的面积S=错误!未找到引用源。

||||=错误!未找到引用源。

×错误!未
找到引用源。

×2错误!未找到引用源。

=5.
3.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( )
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.错误!未找到引用源。

【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是
一个向量.
4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
【解析】选B.由=,得2=3-,即2(-)=-,
即2==-,即=-错误!未找到引用源。

,
所以点P在线段AB的反向延长线上.
5.正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE=________.
【解析】以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,
由题意知:=错误!未找到引用源。

,
=错误!未找到引用源。

,
故cos∠DOE==错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
答案:错误!未找到引用源。

6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.若D为斜边AB的中点,求证:CD=错误!未找到
引用源。

AB.
【证明】以C为坐标原点,边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所
示,
由题意得,A(0,m),B(n,0),则=(n,-m),
因为D为AB的中点,
所以D错误!未找到引用源。

,=错误!未找到引用源。

.
所以||=错误!未找到引用源。

,||=错误!未找到引用源。

,
所以||=错误!未找到引用源。

||,即CD=错误!未找到引用源。

AB.
(30分钟50分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距
离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( ) A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5)
D.(5,-10)
【解析】选 C.设运动5秒后点P在点M(x,y)处,则=5v,所以(x,y)=(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).
2.已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选 C.由题意得,=·+·+·=·(+)+ ·=+·,所以·=0,
所以⊥,即CA⊥CB,所以△ABC是直角三角形.
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则c os∠BDC= ( )
A.-错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.0
D.错误!未找到引用源。

【解析】选B.如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
所以=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC为,的夹角,
所以cos∠BDC==错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
4.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,则||= ( )
A.1
B.2
C.错误!未找到引用源。

D.5
【解析】选C.根据题意,O为BC的中点,
所以=错误!未找到引用源。

(+),||2=错误!未找到引用源。

(+2·+)=
错误!未找到引用源。

(12+2×1×3×cos 60°+32)=错误!未找到引用源。

,所以||=错误!未找
到引用源。

.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知i,j,k为共面的三个单位向量,且i⊥j,则(i+k)·(j+k)的可能取值有( )
A.1-错误!未找到引用源。

B.-1-错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用
源。

-1 D.错误!未找到引用源。

+1
【解析】选ACD.由i⊥j得i·j=0,又i,j为单位向量,则|i+j|=错误!未找到引用源。

=错误!未找
到引用源。

,则(i+k)·(j+k)=i·j+(i+j)·k+k2=(i+j)·k+1 =|i+j|cos<i+j,k>+1=
错误!未找到引用源。

cos<i+j,k>+1,由-1≤cos<i+j,k>≤1,得(i+k)·(j+k)的取值范围是[1-错误!
未找到引用源。

,1+错误!未找到引用源。

].
6.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则a与b的关系有可能是( )
A.b=a
B.b=a3+错误!未找到引用源。

C.b=a3-错误!未找到引用源。

D.b=a3
【解析】选BD.由题意,知=(0,b),=(a,a3),=(a,a3-b).因为△OAB为直角三角形,所以①
若⊥,则·=0,即a3b=0,当b=0时,点O与点A重合;当a=0时,点O与点B重合,
故a3b≠0,即OA与OB不垂直.
②若⊥,则·=0,
即b(a3-b)=0,又b≠0,故b=a3.
③若⊥,则·=0,即a2+a3(a3-b)=0,又a≠0,故a3+错误!未找到引用源。

-b=0,即
b=a3+错误!未找到引用源。

.
故当△OAB为直角三角形时,
有b=a3或b=a3+错误!未找到引用源。

.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下
滑至底部,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为________J,重力所做的功为________J(g=
9.8 m/s2).
【解析】物体m的位移大小为|s|=错误!未找到引用源。

≈错误!未找到引用源。

(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|·sin 37°≈5×9.8×错误!未找到引用源。

×0.6=98(J).
答案:0 98
8.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.
【解析】如图,D为BC边的中点,
则=错误!未找到引用源。

(+).
因为3--=0,
所以3=2,
所以=错误!未找到引用源。

,
所以S△ABM=错误!未找到引用源。

S△ABD=错误!未找到引用源。

S△ABC.
答案:1∶3
四、解答题
9.(10分)一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1 000 km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距
2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.
【解析】方法一:由题意得||=1 000 km,
||=2 000 km,∠BAC=60°,
所以||2=|-|2=+||2-2||·||·cos 60°
=2 0002+1 0002-2×2 000×1 000×错误!未找到引用源。

=3×106,
所以||=1 000错误!未找到引用源。

km,
所以||2+||2=||2,所以∠ABC=90°.
取AC的中点D,
由||=2||且∠BAD=60°,
知的方向为正南方向,有∠ABD=60°,
于是∠DBC=30°.
所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000错误!未找到引用源。

km,方向为南偏西30°. 方法二:建立如图所示的平面直角坐标系,
并取a=500,
则=(2acos 150°,2asin 150°)=(-错误!未找到引用源。

a,a), =(4acos 210°,4asin 210°)
=(-2错误!未找到引用源。

a,-2a),
所以=(-错误!未找到引用源。

a,-3a),||=2错误!未找到引用源。

a,
即||=1 000错误!未找到引用源。

(km).
又cos∠ACB==错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
所以∠ACB=30°.
结合图形可知的方向为南偏西30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000错误!未找到引用源。

km,方向为南偏西30°.。