九年级数学上册一元二次方程

【考点】一元二次方程的定义．
等号两边都是整式,只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元一次方程。

方程特点；
（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是2。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零，其中 ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.
1．下列方程中,关于x的一元二次方程是（）
A．(x+1）2=2（x+1) B．1
x2+1
x
−2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
【解答】下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1)2=2（x+1），故选A．2．下列方程中，一元二次方程共有（)个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③
1
x2
+3x﹣5=0; ④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1)（x﹣3)=x2
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3)是整式方程；(4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③
1
x2
+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0,符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数,不符合一元二次方程的定义;
⑥(x﹣1)(x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
1．若x
0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax
+1）2，则M与N的大小关系正确的为（)
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c,作差法比较可得．
【解答】∵x
是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax
02+2x
+c=0,即ax
2+2x
=﹣c，
则N﹣M =(ax
0+1）2﹣(1﹣ac） = a2x
2 + 2ax
+ 1﹣1+ ac
= a（ax
02+2x
）+ac = ﹣ac + ac = 0
∴M=N，
故选:B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0
【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a的值．且二次项系数a﹣1≠0．
【解答】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1=0,且a﹣1≠0，
解得a=﹣1;
故选A．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m = 0的一个根是x = 1,则m的值是（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程,然后解一次方程即可．
【解答】把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，
解得m=0．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．若关于x的方程x2+(m+1)x+1
2
=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（)
A．﹣5
2 B．1
2
C．﹣5
2
或1
2
D．1
【分析】由根与系数的关系可得:x1+x2=﹣（m+1），x1•x2 = 1
2
，又知一个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．
【解答】由根与系数的关系可得： x
1+x
2
=﹣（m+1），x
1
•x
2
=1
2
,
又∵一个实数根的倒数恰是它本身，∴实根为1或﹣1，
若是 1时，即1+x
2=﹣（m+1），而x
2
=1
2
，解得m=﹣5
2
；
若是﹣1时，则m=1
2
．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+3
2
ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】∵根据题意，将x=﹣2代入方程x2+3
2
ax﹣a2=0，得:
4﹣3a﹣a2 = 0, 即a2+3a﹣4=0，
左边因式分解得:（a﹣1）(a+4）=0，
∴ a﹣1=0,或a+4=0，
解得：a=1或﹣4,
故选：C．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是0 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【解答】把x=1代入方程x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0,
解得m=0．
故答案为：0；
7．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= 6 ．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m2﹣2m=3，
∴2m2﹣4m=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件．
8．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．
【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
【解答】∵关于x的一元二次方程(a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
9．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b=﹣5,再变形2016﹣a﹣b得到2016﹣(a+b)，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】∵把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b+5=0，
∴ a+b=﹣5，
∴ 2016﹣a﹣b=2016﹣（a+b）=2016﹣(﹣5)=2021．
故答案为2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
10．己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）= 14 ．
【分析】把x=m代入已知方程来求（m2﹣2m)的值．
【解答】∵把x=m代入关于x的方程x2﹣2x﹣7=0，得
m2﹣2m﹣7=0，
∴ m2﹣2m=7，
∴ 2（m2﹣2m）=2×7=14．
故答案是：14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
11．若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根,则a3﹣3a2﹣2013a+1= ﹣2014 ．
【分析】把x=a代入程x2﹣2x﹣2015=0得到a2﹣2a=2015,a2=2015+2a，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
【解答】∵a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根,
∴a2﹣2a﹣2015=0,
∴a2﹣2a=2015, a2=2015+2a,
∴a3﹣3a2﹣2013a + 1 = a（a2﹣2013）﹣3a2+1
= a（2a+2015﹣2013）﹣3a2+1
= 2a2+2a﹣3a2+1
=﹣(a2﹣2a）+1
=﹣2015+1 = ﹣2014．
故答案是：﹣2014．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意将所求的代数式变形是解题的难点．
12．设a 是方程x 2﹣2006x+1=0的一个根，求代数式a 2
﹣2007a+
a 2+12006
的值．
【分析】先把x=a 代入方程，可得a 2
﹣2006a+1=0,进而可得可知a 2
﹣2006a=﹣1，进而可求a 2
﹣2007a=﹣a ﹣1，a 2
+1=2006a ，然后把a 2
﹣2005a 与a 2
+1的值整体代入所求代数式求值即可．
【解答】∵把x=a 代入方程，可得:a 2﹣2006a+1=0，
∴a 2﹣2006a=﹣1，a 2+1=2006a, ∴a 2﹣2007a=﹣a ﹣1， ∴a 2﹣2007a+
a 2+12006
= ﹣a ﹣1+2006a 2006 =﹣1，即a 2﹣2007a+
a 2+12006
=﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是注意解与方程的关系,以及整体代入．
13．已知关于x 的方程ax 2＝b 的两根分别为m －1和2m ＋7，则方程两根为（ B )
A ．±2
B ．±3
C ．±4
D ．±7
1．如果关于x 的方程（m ﹣3）x m 2
−7﹣x+3=0是关于x 的一元二次方程,那么m 的值为( ）
A ．±3
B ．3
C ．﹣3
D ．都不对
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3)是整式方程；（4)含有一个未知数． 据此即可得到m 2
﹣7=2，m ﹣3≠0,即可求得m 的范围．
【解答】 由一元二次方程的定义可知{m 2
−7=2m −3≠0
,
解得m=﹣3． 故选C ．
【点评】要特别注意二次项系数m ﹣3≠0这一条件，当m ﹣3=0时，上面的方程就是一元一次方程了．
2．若方程（m ﹣3)x n +2x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m=3,n ≠2 B ．m=3，n=2
C ．m ≠3，n=2
D ．m ≠3，n ≠2
【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
【解答】∵方程(m ﹣3）x n +2x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程，
∴m ﹣3≠0,n=2， ∴解得,m ≠3，n=2， 故选：C ．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．
3．已知（m﹣1）x|m｜+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m= ﹣1 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出｜m｜+1=2，m﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】∵方程(m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m｜+1=2，m﹣1≠0,
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
4．已知方程：（m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0，求：
(1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．
【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案;
(2)根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零,可得答案．
解（1）∵当m2﹣1≠0时,（m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
∴当m≠±1时，（m2﹣1)x2+(m+1）x+1=0是一元二次方程；
(2)∵当m2﹣1=0,且m+1≠0时,（m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1,
m=﹣1（不符合题意的要舍去)，m=1．
∴当m=1时，(m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0是一元一次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
5．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)x m2+1+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
(1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值,并解此方程;
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得{m 2
+1=2m +1≠0
，可求得m 的值，进一步可求出方程的解;
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程,求出m 的值，进一步解方程即可．
解:（1）∵根据一元二次方程的定义可得{
m 2+1=2m +1≠0
, ∴解得m=1,
∴此时方程为2x 2﹣x ﹣1=0,解得x 1=1,x 2=﹣1
2； （2）∵由题可知m 2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
∴当m 2+1=1时，解得m=0，
∴此时方程为﹣x ﹣1=0，解得x=﹣1， ∴当m+1=0时,解得m=﹣1，
∴此时方程为﹣3x ﹣1=0,解得x=﹣1
3．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义,对（2）中容易漏掉m2+1=1的情况．
6．当m 是何值时，关于x 的方程（m 2+2）x 2+（m ﹣1)x ﹣4=3x 2
（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=﹣2是它的一个根，求m 的值．
【分析】（1)根据二次项系数不为0解答；（2）根据二次项系数为0,一次项系数不为0解答；（3）根据题意列出关于m 的一元二次方程，解方程即可．
解：∵原方程可化为（m 2﹣1）x 2+(m ﹣1）x ﹣4=0，
∴（1）当m 2﹣1≠0,即m ≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m 2﹣1=0，且m ﹣1≠0,即m=﹣1时，是一元一次方程； (3)x=﹣2时,原方程化为：2m 2﹣m ﹣3=0， 解得，m 1=3
2，m 2=﹣1(舍去）．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正确解出一元二次方程是解题的关键．
直接开平方法解一元二次方程
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 形如
或 的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

（1）当P>0时,如果方程化成的形式，有两个不相等的实数根，那么可得
(2）当P=0时，方程有两个相等的实数根
（3）当P〈0时,因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程无实数根。

1．方程x2＝16的解是（ A ）
A．x＝±4 B．x＝4 C．x＝－4 D．x＝16
2．解方程： 2x2－24＝0;
解：∵由原方程，得2x2＝24，
∴x2＝12，
∴直接开平方，得x＝±2 错误!,
∴x1＝2 错误!，x2＝－2 错误!.
配方法解一元二次方程
把一般形式的一元二次方程左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数,进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

形如的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

（1）当P〉0时,如果方程能化成的形式，那么,进而得出方程的根。

(2）当P=0时，方程有两个相等的实数根
（3)当P〈0时，因为对任意实数x，都有≥0，所以方程无实数根。

1．解方程：
（1）（x＋1）2－9＝0；
解：移项，得（x＋1）2＝9，
开平方，得x＋1＝±3，
解得x1＝2，x2＝－4。

（2)错误!（x＋3)2－2＝0。

解：移项、两边同时乘2，得(x＋3）2＝4，
开平方，得x＋3＝±2，x＋3＝2或x＋3＝－2，
解得x1＝－1，x2＝－5.
2。

用配方法解下列方程：
(1）x2＋4x＋8＝2x＋11；
解：移项、合并同类项,得x2＋2x＝3，
配方,得x2＋2x＋1＝4，
即（x＋1)2＝4,
开方，得x＋1＝±2,
解得x1＝1，x2＝－3。

(2）x（x－4)＝2－8x；
解：去括号、移项、合并同类项,得x2＋4x＝2，配方，得x2＋4x＋4＝6，
即（x＋2）2＝6.
开方，得x＋2＝±错误!，
解得x1＝－2＋错误!，x2＝－2－错误!。

(3)x2＋2 5x＋10＝0.
解：移项，得x2＋2 错误!x＝－10，
配方,得x2＋2 错误!x＋5＝－10＋5，
即(x＋5)2＝－5＜0，
∴原方程无解．
（4）3x2＋6x＋2＝0。

解：移项,得3x2＋6x＝－2.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－错误!. 配方，得x2＋2x＋1＝－错误!＋1，
即(x＋1）2＝错误!。

开平方，得x＋1＝±错误!，
∴x
1
＝错误!－1,x
2
＝－错误!－1.
3。

已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，试求a2－b2的值．
解:∵a2＋b2＋2a－4b＋5＝（a＋1）2＋(b－2）2＝0，
∴a＋1＝0，b－2＝0，∴a＝－1，b＝2，
∴a2－b2＝1－4＝－3。

一元二次方程根的判别式
将一元二次方程配方成后，可以看出只有当≥0时，方程有实数根;这样的值就决定着一元二次方程根的情况.
一般的，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“"表示它，即
①当时，方程有两个不相等的实数根，x=
②当时，方程有两个相等的实数根;x1=x2=−b
2a
③当时，方程无实数根。

上述结论反过来也成立。

1．一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值为（A）
A．4 B．2 C．0 D．－4
2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0。

(1)不解方程，判断方程的根的情况;(2)若方程有一个根为3，求m的值．
解:(1）∵b2－4ac＝(2m）2－4×1×（m2－1)＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵将x＝3代入原方程，
得9＋6m＋m2－1＝0，
∴解得m1＝－2，m2＝－4。

3、已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）＝0，其中a,b，c分别为△ABC的三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由；
（2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状,并说明理由．
解：（1)△ABC是等腰三角形．
理由如下：
∵把x＝－1代入原方程,
得a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a＝b，
即△ABC是等腰三角形．
(2)△ABC是直角三角形．
理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b)2－4（a＋c）(a－c）＝0，
∴b2－a2＋c2＝0，
即a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形．
4．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋2）x＋2k＝0。

(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根；
（2)已知等腰三角形ABC的一边a＝1，若另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
解:（1)∵Δ＝ = （k＋2)2－8k＝(k－2）2≥0，
∴无论k取何值，这个方程一定有实数根．
(2）①若b＝c，则Δ＝= 0，
即（k－2）2＝0,
∴k＝2，
∴原方程可化为x2－4x＋4＝0，
∴x1＝x2＝2，∴b＝c＝2,
∴△ABC的周长为5；
②若b＝a＝1或(c＝a＝1）,
∵另两边b，c恰好是方程x2－(k＋2）x＋2k＝0的两个根,
∴1－(k＋2)＋2k＝0,
∴k＝1，
∴原方程可化为x2－3x＋2＝0,
解得x1＝1，x2＝2，
∴c＝2。

∵a＋b＝c，
∴不满足三角形三边的关系，舍去．
综上所述，△ABC的周长为5。

5．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2）x＋2m＋2＝0(m＞0)．求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
解：（1）证明：Δ＝ =(3m＋2）2－4m·(2m＋2）＝m2＋4m＋4＝(m＋2)2.
∵m＞0，∴（m＋2）2＞0,即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∵x＝错误!,∴方程有一个根为1,
∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值1。

7．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
(1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，
解得：a=．
（2)证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2)2+4．
∵(a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2)2+4＞0，即△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
8．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．(1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时,求方程的根．
解（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根, ∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．
解得m＜2；
（2）由(1）知,m＜2．
∵当m为正整数，
∴m=1，
∵将m=1代入原方程,得
x2﹣2x=0
即x（x﹣2）=0,
解得x
1=0，x
2
=2．
用公式法解一元二次方程
解一元一次方程时,可以先将方程化为一般形式,a≠0方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元一次方程的的求根公式。

利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（1）用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，a≠0确定的值（注意符号）；
②求出判别式的值，判断根的情况；
③当时,方程有两个不相等的实数根,把即进行计算，求出方程的根。

当=0时，方程有两个相等的实数根，即x
1=x
2
=−b
2a
当<0时,方程无实数根.
用公式法解下列方程：
(1）2x2＝9x－8；(2）2y(y－1)＋3＝（y＋1)2。

解：(1)移项，得2x2－9x＋8＝0.
∵a＝2，b＝－9,c＝8，
∴b2－4ac＝（－9)2－4×2×8＝17，
∴x1＝错误!,x2＝错误!。

(2)由原方程，得2y2－2y＋3＝y2＋2y＋1，
即y2－4y＋2＝0,
∴a＝1,b＝－4，c＝2，
∴b2－4ac＝(－4）2－4×1×2＝8＞0。

∴y＝=错误!，
∴y1＝2＋错误!，y2＝2－错误!.
因式分解法解一元二次方程
通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

1．用因式分解法解下列方程：（1)x2+16x=0；
解：原方程可变形为：x(x+16）=0，∴x=0或x+16=0．
∴x
1=0,x
2
=﹣16．
（2)5x2﹣10x=﹣5；
解:原方程可变形为x2﹣2x+1=0，∴(x﹣1）2=0．
∴ x
1=x
2
=1．
（3)x（x﹣3）+x﹣3=0；
解：原方程可变形为（x﹣3)（x+1）=0，
∴x﹣3=0或x+1=0
∴x
1
=3,x
2
=﹣1．
（4）2（x﹣3）2=9﹣x2．
解：原方程可变形为 2（x﹣3）2+x2﹣9=0,
∴（x﹣3）（2x﹣6+x+3）=0，
即(x﹣3)（3x﹣3）=0．
∴x﹣3=0或3x﹣3=0．
∴x
1
=3，x
2
=1．
2．利用换元法解下列方程：（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；解:设x+2=y，则原方程可变形为:y2+6y﹣91=0，
解得：y
1=7，y
2
=﹣13，
∴当y
1
=7时,x+2=7，
解得x
1
=5，
当y
2
=﹣13时，x+2=﹣13,
解得x
2
=﹣15；
3．先阅读,再解题
解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将(x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化
y2﹣5y+4=0,解得y
1=1;y
2
=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，
所以原方程的解为x
1=2，x
2
=5
请利用上述这种方法解方程:（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3=0．解：设2x﹣5=y，则原方程可化y2+4y+3=0,
解得y
1=﹣1，y
2
=﹣3，
当y=﹣1时，即2x﹣5=﹣1，
解得x=2，
当y=﹣3时，即2x﹣5=﹣3，
解得x=1，
所以原方程的解为x
1=1，x
2
=2．
4．用因式分解法解下列方程：
(1)9t2－错误!错误!＝0; （2) 2（x＋2)2＝x（x＋2)；
(3）（x＋2)2－10（x＋2)＋25＝0； (4)错误!错误!＋2错误!＝8. 解:(1）原方程变形为
（3t＋t－1)（3t－t＋1）＝0，
∴(4t－1）(2t＋1）＝0，
∴4t－1＝0或2t＋1＝0,
∴t
1＝－错误!，t
2
＝错误!.
（2)原方程变形为2(x＋2）2－x（x＋2)＝0，
∴(x＋2）(x＋4）＝0,
∴x＋2＝0或x＋4＝0,
∴x
1＝－2,x
2
＝－4。

（3）原方程变形为（x＋2－5)2＝0,
即(x－3）2＝0.
∴x－3＝0,
∴x
1
＝x
2
＝3。

（4）原方程变形为x2＋2x－3＝0，
∴（x＋3）（x－1）＝0，
∴x＋3＝0或x－1＝0
∴x
1
＝－3，x
2
＝1.
5．用适当的方法解下列方程：
（1）2（x－4）2＝32; （2）x2－4x＋1＝0；（3)2x2－7x－3＝0; （4)x2－6x＋9＝7x －21。

解:(1）原方程可化为(x －4)2＝16，
直接开平方,得x －4＝±4， 即x 1＝8，x 2＝0。

(2)x 2－4x ＋1＝0, ∵a ＝1，b ＝－4,c ＝1，
∴b 2－4ac ＝（－4）2－4×1×1＝12＞0， ∴x ＝错误!＝错误!＝2±错误!, 即x 1＝2＋错误!,x 2＝2－错误!。

(3)2x 2－7x －3＝0, ∵a ＝2，b ＝－7，c ＝－3，
Δ＝b 2－4ac ＝（－7)2－4×2×(－3）＝73， ∴x ＝错误!，即x 1＝错误!,x 2＝错误!。

(4）原方程可变形为（x －3)2＝7(x －3）， （x －3)（x －3－7）＝0， 即x －3＝0或x －10＝0， 解得x 1＝3，x 2＝10.
6．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为2和3，求方程ax 2－bx －c ＝0的根． 解：∵关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为2和3，
∴a(x －2）（x －3)＝0, 整理，得ax 2－5ax ＋6a ＝0， ∴b ＝－5a,c ＝6a 。

把b,c 代入方程ax 2－bx －c ＝0， 得ax 2＋5ax －6a ＝0， a(x ＋6）（x －1)＝0， ∴x 1＝－6，x 2＝1. 一元二次方程根与系数的关系
设一元二次方程
中，两根 有如下关系：
，
1．一个直角三角形的两条直角边的长恰好是一元二次方程2x 2﹣8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的周长
解：设直角三角形的两条直角边为a,b,则a+b=4,ab=，
∴斜边c=
=
=
=3,
∴这个直角三角形的周长=4+3=7．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x
1、x
2
．
（1)求m的取值范围;（2）若x
12+x
2
2=6x
1
x
2
，求m的值．
解：(1）∵方程有两个实数根,
∴△≥0,即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2;
（2）由根与系数的关系可得x
1+x
2
=2，x
1
x
2
=m﹣1，
∵x
12+x
2
2=6x
1
x
2
,
∴（x
1+x
2
)2﹣2x
1
x
2
=6x
1
x
2
，
即(x
1+x
2
）2=8x
1
x
2
，
∴4=8（m﹣1）,解得m=1。

5．
3．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0
（1)求证:无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．
(1）证明：∵x2﹣（m+2)x+2m﹣1=0,
∴△=［﹣（m+2）］2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
∵不论m为何值，（m﹣2)2+4＞0，
∴△＞0，
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2)解：∵把x=1代入方程x2﹣(m+2)x+2m﹣1=0
得：1﹣（m+2）+2m﹣1=0，
解得：m=2，
∴方程为x2﹣4x+3=0,
设方程的另一个根为a，
则a+1=4，
解得：a=3，
即方程的另一个根为3．
4．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根,则x1·x2的值是( ) A．2 B．－2 C．4 D．－3
［解析］∵x
1，x
2
是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，
∴x
1·x
2
＝－3。

故选D.
5．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0
［解析］设此一元二次方程为x2＋px＋q＝0.
∵二次项系数为1，两个根分别为x＝2，x＝－3，
∴p＝－(2－3)＝1，q＝（－3）×2＝－6,
∴这个方程为x2＋x－6＝0。

故选D.
6．已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是( ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
[解析］设方程的另一个根为n，则有－2＋n＝－5，解得n＝－3。

故选B.
7．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－2，求方程的另一个根及m的值．
解：设方程的另一个根为t，根据题意,得 (3－错误!）t＝7，
∴t＝错误!＝3＋错误!。

所以－m＝3－错误!＋3＋错误!＝6，即m＝－6.
即方程的另一个根为3＋错误!，m的值为－6。

8．已知一元二次方程x2－6x－3＝0的两个根分别为α与β，则错误!＋错误!的值的相反数为( ）A．－1 B．1 C．－2 D．2
[解析] ∵一元二次方程x2－6x－3＝0的两个根分别为α与β，
∴α＋β＝6，αβ＝－3，
∴－(错误!＋错误!）＝－错误!＝－错误!＝2.
故选D.
9．设x1,x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是（)
A．19 B．25 C．31 D．30
［解析] ∵x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，
∴x1＋x2＝－5,x1x2＝－3，
∴x12＋x22＝（x1＋x2)2－2x1x2＝25＋6＝31.
故选C.
10．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则（m＋2）(n＋2）的最小值是( ）
A．7 B．11 C．12 D．16
［解析] ∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根,
∴m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，
∴(m＋2）(n＋2）＝mn＋2(m＋n）＋4＝t2＋2t＋8＝（t＋1)2＋7.
∵方程有两个实数根,
∴Δ＝(－2t）2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0,
∴t≥2，∴（t＋1）2＋7≥（2＋1)2＋7＝16。

故选D。

11．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根,且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( ) A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
[解析］∵x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，
∴x1＋x2＝2m,x1·x2＝m2－m－1.
∵x1＋x2＝1－x1x2,
∴2m＝1－(m2－m－1)，即m2＋m－2＝0，
解得m1＝－2,m2＝1.
∵方程x2－2mx＋m2－m－1＝0有实数根，
∴Δ＝（－2m)2－4（m2－m－1）＝4m＋4≥0，
解得m≥－1。

∴m＝1。

故选D.
12。

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10,则a＝________．
[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ，
由x 12－x 22＝10得（x 1＋x 2）(x 1－x 2)＝10. ∵x 1＋x 2＝5， ∴x 1－x 2＝2,
∴(x 1－x 2）2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4， ∴a ＝错误!。

13．已知关于x 的一元二次方程x 2
＋（2k －1）x ＋k 2
＋1＝0，如果方程的两根之和等于两根之积,求k 的值．
解:设方程的两根为x 1,x 2，根据题意,得Δ＝(2k －1)2－4（k 2＋1)≥0，解得k ≤－错误!，
x 1＋x 2＝－(2k －1)＝1－2k ,x 1x 2＝k 2＋1。

∵方程的两根之和等于两根之积， ∴1－2k ＝k 2＋1， ∴k 2＋2k ＝0，
∴k 1＝0，k 2＝－2。

而k ≤－错误!，∴k ＝－2。

14．方程ax 2＋bx －c ＝0（a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根的符号为( ）
A ．同号
B ．异号
C ．两根都为正
D ．不能确定 ［解析］ ∵ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0),
∴Δ＝b 2＋4ac ＞0,
∴方程有两个不相等的实数根．
设方程ax 2＋bx －c ＝0（a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根为x 1，x 2，
∵x 1x 2＝－c a
＜0，∴两根异号．故选B. 15．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
(2)请选择一个整数k 值，使方程的两根同号，并求出方程的根． 解：(1)∵方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（－3)2＋4k ＝9＋4k ＞0，解得k ＞－错误!。

(2)∵方程的两根同号， ∴－k ＞0,即k <0.又 ∵k >－错误!，
∴整数k ＝－2或－1.
当k ＝－2时，原方程为x 2－3x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝2。

(答案不唯一）
16。

若关于x 的一元二次方程x 2＋2错误!x ＋m 2＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2〉0，x 1x 2〉0，则m 的取值范围是（ )
A ．m ≤错误!
B ．m ≤错误!且m ≠0
C ．m <1
D ．m 〈1且m ≠0 ［解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2＋2（m －1）x ＋m 2＝0有实数根，
∴b 2－4ac ＝4（m －1)2－4m 2＝4－8m ≥0，∴m ≤错误!。

∵x 1＋x 2＝－2(m －1)>0， ∴m 〈1.∵x 1x 2＝m 2>0,
∴m ≠0，∴m ≤错误!且m ≠0。

故选B.
17．已知α,β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3）x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1
α
＋错误!＝－1，求m 的值．
解：∵α，β是关于x的一元二次方程x2＋（2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－2m－3，α·β＝m2，
∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝－1，
∴m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1.
∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m＋3)2－4×1×m2＝12m＋9＞0,
∴m＞－错误!，∴m＝－1不合题意，舍去,
∴m＝3.
18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1）若（x1－1)（x2－1)＝28，求m的值；
(2）已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长,求△ABC的周长．解：(1)由题意，得x1＋x2＝2（m＋1）,x1x2＝m2＋5.
∵(x1－1）(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，
∴m2＋5－2(m＋1）＋1＝28。

由题意,得b2－4ac＝［－2（m＋1)]2－4（m2＋5）≥0，
∴错误!
解得m＝6。

（2）当x1＝x2时,b2－4ac＝0，则m＝2,
∴x1＝x2＝3。

∵3＋3＜7，不符合三角形三边关系定理，
∴m＝2舍去．
当x1＝7时,72－2（m＋1）×7＋m2＋5＝0，
解得m＝4或m＝10.
当m＝4时，x2＝3,∴周长为3＋7＋7＝17；
当m＝10时，x2＝15.
∵7＋7＜15，不符合三角形三边关系定理,
∴m＝10舍去．∴这个三角形的周长为17。

注：x2＝7的情况与x1＝7的情况相同．。