2019届高考物理一轮复习讲义：第十一章 第1讲 交变电流的产生和描述 含答案

第1讲交变电流的产生和描述
板块一主干梳理·夯实基础
【知识点1】交变电流、交变电流的图象Ⅰ
1．交变电流
(1)定义：大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫做交变电流。

(2)图象：图(a)、(b)、(c)、(d)所示电流都属于交变电流，其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流，如图(a)所示。

2．正弦式交变电流的产生和变化规律
(1)产生：在匀强磁场中，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动产生的电流是正弦式交变电流。

(2)中性面
①中性面：线圈平面与磁感线垂直的位置称为中性面。

②中性面的特点以及与峰值面(中性面的垂面)的比较
(3)正弦式交流电的图象：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果从线圈位于中性面位置时开始计时，其图象为正弦曲线。

如图甲、乙所示。

(4)变化规律
正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置时开始计时)
①电动势e 随时间变化的规律：e ＝E m sin ωt ，其中ω表示线圈转动的角速度，E m ＝nBSω。

②负载两端的电压u 随时间变化的规律：u ＝U m sin ωt 。

③电流i 随时间变化的规律：i ＝I m sin ωt 。

【知识点2】 描述交变电流的物理量 Ⅰ 1．周期和频率
(1)周期(T )：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T ＝2πω。

(2)频率(f )：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数。

单位是赫兹(Hz)。

(3)周期和频率的关系：T ＝1f 或f ＝1
T 。

2．交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值
(1)瞬时值：交变电流的电动势、电流或电压在某一时刻的值，是时间的函数。

(2)峰值：交变电流的电动势、电流或电压所能达到的最大值。

(3)有效值
①定义：让交流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。

②有效值和峰值的关系：E ＝
E m 2，U ＝U m 2，I ＝I m
2。

(适用于正弦式交流电) (4)平均值：交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值。

板块二 考点细研·悟法培优
考点1 正弦式电流的变化规律及应用 [拓展延伸]
1．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置时开始计时)
2．两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S ⊥B ，Φ最大，ΔΦ
Δt ＝0，e ＝0，i ＝0，电流方向将发生改变。

(2)线圈平面与中性面垂直时，S ∥B ，Φ＝0，ΔΦ
Δt
最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变。

例1 图1是交流发电机模型示意图。

在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd 可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO ′转动，由线圈引出的导线ae 和df 分别与两个线圈一起绕OO ′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R 形成闭合电路。

图2是线圈的主视图，导线ab 和cd 分别用它们的横截面来表示。

已知ab 长度为L 1，bc 长度为L 2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动。

(只考虑单匝线圈)
(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t 时刻整个线圈中的感应电动势e 1的表达式；
(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图3所示，试写出t 时刻整个线圈中的感应电动势e 2的表达式；
(3)若线圈电阻为r ，求线圈每转动一周电阻R 上产生的焦耳热。

(其他电阻均不计)
(1)导线切割磁感线产生的感应电动势的表达式是
______________________________________________________
_______________________________________________________________________________________。

提示：E ＝Bl v sin θ(θ为B 与v 方向间的夹角) (2)
焦
耳
定
律
是
___________________________________________
_____________________________。

提示：Q ＝I 2RT
尝试解答 (1)e 1＝BL 1L 2ωsin ωt (2)e 2＝BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0) (3)πRω⎝⎛⎭
⎫BL 1L 2
R ＋r 2。

(1)矩形线圈abcd 转动过程中，只有ab 和cd 导线切割磁感线，设ab 和cd 导线转动的线速度为v ，则
v ＝ω·L 2
2
在t 时刻，导线ab 和cd 因切割磁感线而产生的感应电动势均为 E 1＝BL 1v y
由图可知v y ＝v sin ωt 则整个线圈的感应电动势为 e 1＝2E 1＝BL 1L 2ωsin ωt 。

(2)当线圈由图3位置开始转动时，在t 时刻整个线圈的感应电动势为 e 2＝BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0)。

(3)由闭合电路欧姆定律可知 I ＝E R ＋r E ＝E m 2＝BL 1L 2ω2
则线圈转动一周在R 上产生的焦耳热为 Q R ＝I 2RT 其中T ＝2πω
于是Q R ＝πRω⎝⎛⎭
⎫BL 1L 2
R ＋r 2。

总结升华
解决交变电流图象问题的四点注意
(1)只有当线圈从中性面位置开始计时，电流的瞬时值表达式才是正弦形式，其变化规律与线圈的形状及转动轴处于线圈平面内的位置无关。

(2)注意峰值公式E m ＝nBSω中的S 为线框处于磁场中的有效面积。

(3)在解决有关交变电流的图象问题时，应先把交变电流的图象与线圈的转动位置对应起来，再根据特殊位置求特殊解。

(4)根据法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦ
Δt ，若Φ按余弦规律变化，则E 必按正弦规律变化；Φ
按正弦规律变化，E 必按余弦规律变化，即Φ＝Φm sin ωt ，E ＝nωΦm cos ωt ，故Φ增大时，E 必减小；Φ最大时，E 最小，Φ与E 除系数不同外，二者具有“互余”关系。

[跟踪训练] [2017·湖北黄冈模拟]在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则( )
A．t＝0.005 s时线框的磁通量变化率为零
B．t＝0.01 s时线框平面与中性面重合
C．线框产生的交变电动势有效值为311 V
D．线框产生的交变电动势频率为100 Hz
答案 B
解析由题图乙可知，t＝0.005 s时，感应电动势最大，线框的磁通量变化率最大，A错误；t＝0.01 s时感应电动势为零，故线框平面处于中性面位置，B正确；交变电动势的最大值为
311 V，故有效值E＝E m
2
＝220 V，C错误；交变电动势的周期为T＝0.02 s，故频率f＝
1
T＝
50 Hz，D错误。

考点2 交变电流的“四值”的比较[对比分析]
1．交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
2．对交变电流有效值的理解
(1)交变电流的有效值是根据电流的热效应(电流通过电阻生热)进行定义的，所以进行有效值计算时，要紧扣电流通过电阻生热(或热功率)进行计算。

(2)注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间”内产生“相同热量”。

(3)计算时“相同时间”一般取一个周期。

3．书写交变电流瞬时值表达式的基本思路 (1)求出角速度ω，ω＝2π
T ＝2πf 。

(2)确定正弦式交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式E m ＝nBSω求出相应峰值。

(3)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。

如：①线圈从中性面位置开始转动，则i -t 图象为正弦函数图象，函数式为i ＝I m sin ωt 。

②线圈从垂直中性面位置开始转动，则i -t 图象为余弦函数图象，函数式为i ＝I m cos ωt 。

4．记忆感应电动势表达式的“小技巧”
根据特殊值及函数的增减性可帮助记忆：中性面处感应电动势为零。

与B 平行时，电动势最大。

从中性面转到与中性面垂直的位置的过程中，感应电动势增大，故函数为增函数，表达式为e ＝e m sin ωt ，同理，从与B 平行的位置开始转动时，函数为减函数，e ＝e m cos ωt 。

例2 如图所示，一半径为r 的半圆形单匝线圈垂直放在具有理想边界的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B 。

以直径ab 为轴匀速转动，转速为n ，ab 与磁场边界重合，M 和N 是两个滑环，负载电阻为R 。

线圈、电流表和连接导线的电阻不计，下列说法中正确的是( )
A ．转动过程中电流表的示数为
π2Bnr
2
2R
B ．从图示位置起转过1
4圈的时间内电阻R 上产生的焦耳热是4n 2π2B 2r 4R C ．从图示位置起转过1
4圈的时间内通过负载电阻R 的电荷量为2Bπ2r 28R
D ．以上说法均不正确
电流表的读数是什么值？
提示：有效值。

(2)计算通过负载电阻R 的电荷量用什么值？ 提示：平均值。

(3)求焦耳热用什么值？ 提示：有效值。

尝试解答 选A 。

转速为n ，则ω＝2πn ，S ＝1
2πr 2，最大感应电动势E m ＝BSω＝π2Bnr 2，因只有一半区域内
有磁场，由有效值的计算公式可得E 2R T ＝⎝⎛⎭⎫E m 22×1R ×T 2
得有效值E ＝E m 2＝π2Bnr 22，则电路中
电流I ＝E R ＝π2Bnr 22R ，故A 正确；转1
4圈时磁通量变化量为ΔΦ＝B πr 22，所用的时间t ＝T 4＝14n ，
则平均电动势E ＝ΔΦΔt ＝2n πBr 2
，通过负载电阻R 的电荷量q ＝I t ＝E R t ＝B πr 22R ，C 错误。

求焦耳热要用有效值，Q ＝I 2
Rt ＝⎝⎛⎭⎫π2
Bnr 2
2R 2·R ·14n ＝π4
B 2r 4
n
16R ，B 、D 错误。

总结升华
解决交变电流“四值”问题的关键
(1)涉及到交流电表的读数，功、功率都用有效值。

(2)涉及计算通过截面电荷量用平均值。

(3)涉及电容器的击穿电压考虑峰值。

(4)涉及到电流、电压随时间变化规律时，即与不同时刻有关，考虑瞬时值。

[跟踪训练] [2017·北京海淀期末]如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长l 1＝0.40 m 、l 2＝0.25 m ，其匝数n ＝100匝，总电阻r ＝1.0 Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C 、D (集流环)焊接在一起，并通过电刷和R ＝3.0 Ω的定值电阻相连接。

线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B ＝1.0 T ，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O 1O 2匀速转动，角速度ω＝2.0 rad/s 。

(1)求电阻R 两端电压的最大值；
(2)从线圈通过中性面(即线圈平面与磁场方向垂直的位置)开始计时，求经过1
4周期通过电阻
R 的电荷量；
(3)求在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热。

答案 (1)15 V (2)2.5 C (3)约157 J
解析 (1)线圈中感应电动势的最大值E m ＝nBSω，其中S ＝l 1l 2 所以E m ＝nBl 1l 2ω＝20 V 线圈中感应电流的最大值I m ＝
E m
R ＋r
＝5.0 A 电阻R 两端电压的最大值U m ＝I m R ＝15 V 。

(2)从线圈通过中性面时开始，经过1
4
周期的时间
t ＝T 4＝π2ω
此过程中线圈中的平均感应电动势E ＝n ΔΦΔt ＝n BS
t
通过电阻R 的平均电流I ＝
E
R ＋r ＝nBS
(R ＋r )t ， 通过电阻R 的电荷量q ＝I t ＝
nBS
R ＋r ＝2.5 C 。

(3)线圈中感应电流的有效值I ＝
I m 2＝522 A
线圈转动一周的过程中，电流通过整个回路产生的焦耳热：Q 热＝I 2(R ＋r )T ＝50π J ≈157 J 。

考点3 交流电有效值的计算 [拓展延伸]
1．交变电流有效值的求解
2．几种典型的交变电流及其有效值
例3如图所示是某种交变电流的电流随时间变化的图线，i>0部分的图线是一个正弦曲线的正半周，i<0部分的图线是另一个正弦曲线的负半周，其最大值如图中所示，则这种交变
电流的有效值为( )
A ．I 0 B.3I 0 C.2I 0 D.6I 0
(1)0～T 周期内，电流的有效值？
提示：连续的正弦式交流电的有效值等于最大值除以2。

(2)0～3T 周期内，电流的有效值怎么计算？
提示：非连续的正弦式交流电的有效值按热效应来计算。

尝试解答 选C 。

取一个周期时间，由电流的热效应求解； 设电流的有效值为I ，
则I 2R ·3T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22I 022R ·T ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2I 022
R ·
2T ，解得I ＝2I 0，故选项C 正确。

总结升华
1．高中阶段可以定量求解有效值的只有正弦式交变电流(或其一部分)，方波式电流及其组合。

2．遇到完整的正弦(余弦)函数图象，正弦式正向脉动交流电可根据I 有＝
I m 2，E 有＝E m
2
，U 有
＝U m
2
求解。

3．正弦式半波、矩形脉动等交流电只能利用电流热效应计算有效值。

4．其他情况的有效值一般不能进行定量计算，但有的可以与正弦式交变电流定性比较。

如图1交变电流与如图2正弦式交变电流比较，可知其有效值小于
2
2I m。

[跟踪训练][2016·唐山模拟]一个U形金属线框在匀强磁场中绕OO′轴以相同的角速度匀速转动，通过导线给同一电阻R供电，如图甲、乙所示，除电阻R外，电路中其他部分电阻忽略不计。

其中甲图中OO′轴右侧有磁场，乙图中整个空间均有磁场，两磁场磁感应强度相同。

则甲、乙两图中交流电流表的示数之比为()
A．1∶ 2 B．1∶2 C．1∶4 D．1∶1
答案 A
解析题图甲中的磁场只在OO′轴的右侧，所以线框只在半周期内有感应电流产生，如图
甲，电流表测的是有效值，所以I＝1
2
BSω
R。

题图乙中的磁场布满整个空间，线框中产生的
感应电流如图乙，所以I′＝
2
2
BSω
R，则I∶I′＝1∶2，即选项A正确。

1．模型构建
发电机模型是高考中以电磁感应为背景命题的常见模型，凡是在外力作用下做切割磁感线运动而产生感应电流的导体均可看成发电机模型；凡在安培力作用下在磁场中运动的通电导体均可看成电动机模型。

2．模型条件
3．模型特点
闭合线圈在磁场中受外力转动产生感应电动势，产生感应电流，与外电路连接，消耗机械能转化为电能。

涉及知识为法拉第电磁感应定律、楞次定律、闭合电路欧姆定律、交变电流的“四值”等。

如图所示，N＝50匝的矩形线圈abcd，ab边长l1＝20 cm，ad边长l2＝25 cm，放在磁感应强度B＝0.4 T的匀强磁场中，外力使线圈绕垂直于磁感线且通过线圈中线的OO′轴以n ＝3000 r/min的转速匀速转动，线圈电阻r＝1 Ω，外电路电阻R＝9 Ω，t＝0时，线圈平面与磁感线平行，ab边正转出纸外、cd边正转入纸里。

(1)在图中标出t ＝0时感应电流的方向； (2)写出线圈感应电动势的瞬时表达式； (3)线圈转一圈外力做功多大？
(4)从图示位置转过90°的过程中流过电阻R 的电荷量是多大？ [答案] (1)adcba (2)e ＝314cos100πt (V) (3)98.6 J (4)0.1 C
[解析] (1)根据右手定则可知，线圈感应电流的方向为adcba 。

(2)n ＝3000 r/min ＝50 r/s ，所以线圈的角速度ω＝2πn ＝100π rad/s 。

图示位置的感应电动势最大，其大小为E m ＝NBSω＝NBl 1l 2ω，代入数据得E m ＝314 V 。

电动势的表达式e ＝E m cos ωt ＝314cos100πt (V)。

(3)电动势的有效值E ＝E m 2，线圈匀速转动的周期T ＝2π
ω＝0.02 s ，线圈匀速转动一周，外力
做功大小等于电功的大小，即W ＝I 2
(R ＋r )T ＝⎝⎛⎭
⎫E R ＋r 2(R ＋r )T ，代入数据得W ≈98.6 J 。

(4)从t ＝0时起转过90°的过程中，Δt 内流过R 的电荷量q ＝N ΔΦ(R ＋r )·Δt Δt ＝NBS R ＋r ＝NBl 1l 2
R ＋r
，代
入数据得q ＝0.1 C 。

1.(多选)如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T ，转轴O 1O 2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω。

从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°角时的感应电流为1 A 。

那么( )
A ．线圈消耗的电功率为4 W
B ．线圈中感应电流的有效值为2 A
C ．任意时刻线圈中的感应电动势为e ＝4cos 2π
T t D ．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝T πsin 2π
T t
答案 AC
解析 线圈转动角速度ω＝
2π
T
，线圈平面从与磁场方向平行开始计时，当转过60°角时，电流的瞬时值表达式为i ＝I m cos60°＝1 A 得I m ＝2 A ，正弦式交变电流有效值I ＝
I m
2
＝ 2 A ，故B 选项错误；线圈消耗的功率P ＝I 2R ＝4 W ，A 选项正确；由欧姆定律可知，感应电动势最大值E m ＝I m R ＝4 V ，所以瞬时值表达式为e ＝4cos 2π
T t ，C 选项正确；通过线圈的磁通
量Φ＝Φm sin ωt ＝Φm sin
2πT t ，由感应电动势的最大值E m ＝BSω＝Φm ×2π
T 得Φm ＝E m T 2π
，代入上式得Φ＝E m T 2πsin 2πT t ＝2T π
sin 2π
T t ，D 选项错误。

2.如图甲所示，长、宽分别为L 1、L 2的矩形金属线框位于竖直平面内，其匝数为n ，总电阻为r ，可绕其竖直中心轴O 1O 2转动。

线框的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C 、D (集流环)焊接在一起，并通过电刷和定值电阻R 相连。

线框所在空间有水平向右均匀分布的磁场，磁感应强度B 的大小随时间t 的变化关系如图乙所示，其中B 0、B 1和t 1均为已知。

在0～t 1的时间内，线框保持静止，且线框平面和磁场垂直；t 1时刻后线框在外力的驱动下开始绕其竖直中心轴以角速度ω匀速转动。

求：
(1)0～t 1时间内通过电阻R 的电流大小？
(2)线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R 产生的热量？ (3)线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，通过电阻R 的电荷量？ 答案 (1)nL 1L 2(B 1－B 0)
(R ＋r )t 1 (2)πRω⎝⎛⎭⎫nB 1L 1L 2R ＋r 2
(3)nB 1L 1L 2
R ＋r
解析 (1)0～t 1时间内，线框中的感应电动势
E ＝n ΔΦΔt ＝nL 1L 2(B 1－B 0)t 1
根据闭合电路欧姆定律可知，通过电阻R 的电流 I ＝E R ＋r ＝nL 1L 2(B 1－B 0)(R ＋r )t 1。

(2)线框匀速转动后产生感应电动势的最大值 E m ＝nB 1L 1L 2ω
感应电动势的有效值E ＝
2
2
nB 1L 1L 2ω 通过电阻R 的电流的有效值 I ＝
2nB 1L 1L 2ω
2(R ＋r )
线框转动一周所需的时间t ＝2π
ω 此过程中，电阻R 产生的热量 Q ＝I 2Rt ＝πRω⎝⎛⎭
⎫nB 1L 1L 2
R ＋r 2。

(3)线框从图甲所示位置转过90°的过程中， 平均感应电动势E ＝n ΔΦΔt ＝nB 1L 1L 2
Δt
平均感应电流I ＝
E
R ＋r ＝nB 1L 1L 2Δt (R ＋r )
通过电阻R 的电荷量q ＝I Δt ＝nB 1L 1L 2
R ＋r。