吉林省通化县综合高中下学期高二期中考试仿真卷理科数学-(范围：选修2-2)

2021-2021学年下学期高二期中考试卷
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[2021·恩施质检]已知()()1i 12i z =-+，是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．[2021·新乡期末]若函数()2
1
f x x x
=+，则()1f '-=（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．3
3．[2021·定远模拟]若复数2
i 1i z ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
（为虚数单位）
，则（ ） A ．2 B ．1 C ． D ．
2
2
4．[2021·白城一中]三角形的面积为()1
2
S a b c r =++⋅，其中，，为三角形的边长，为三角形内切圆
的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．1
3V abc =
B ．1
3
V Sh =
C ．()1
3
V ab bc ca h =++，（为四面体的高）
D ．()12341
3
V S S S S r =
+++，
（，，，分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径） 5．[2021·广安期末]函数()43
43
x x f x =-的极值点为（ ）
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．
6．[2021·沈阳期中]定积分()1
sin 2dx x x +=⎰（ ）
A ．1cos1+
B ．
C ．1cos1-
D ．2cos1-
7．[2021·揭阳一中]已知函数()y xf x '=的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，
()y f x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．[2021·济南外国语]甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
9．[2021·信阳期末]函数()()2e x f x x =-的单调递增区间为（ ）
A ．()1,+∞
B ．()2,+∞
C ．
D ．
10．[2021·西城14中]如图，阴影部分的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．[2021·钦州期末]若函数()331f x x bx =-+在区间内是减函数，，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
此
卷
只
装
订
不
密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
12．[2021·太原期末]已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有()()2f x f x x -=-成立，且当
(],0x ∈-∞时，都有()21f x x '<+成立，若()()()2131f m f m m m <-++，则实数的取值范围为（ ）
A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．(),1-∞-
D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2021·伊春二中]
2
12i
=+ _______． 14．[2021·衡阳一中]将正整数有规律地排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 ……………
则在此表中第45行第83列出现的数字是_______________ 15．[2021·白山期末]函数()ln x f x x
=在(20,e ⎤⎦上的最大值是____． 16．[2021·仙桃期末]已知函数()()()1sin 22cos 12f x a x a x a x =-+-+在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦无极值，则在
ππ,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是______．
三、解答题：本大题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）[2021·南京期末]已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中是虚数单位，，为实数． （1）若，为纯虚数，求12z z +的值； （2）若()2
12z z =，求，的值．
18．（12分）[2021·六安一中]已知函数()2ln f x bx a x =-在处的切线方程为． （1）求，的值；
（2）求的单调区间与极值．
19．（12分）[2021·巨鹿二中]设函数()32f x x ax bx =++在点处有极值． （1）求常数，的值;
（2）求曲线()y f x =与轴所围成的图形的面积．
20．（12分）[2021·都匀一中]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos45︒+︒+︒︒；
③22sin 20cos 50sin20cos50︒+︒+︒︒； ④()()22sin 18cos 12sin 18cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤()()22sin 25cos 5sin 25cos5-︒+︒+-︒︒．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
21．（12分）[2021·珠海期末]已知函数()()ln a
f x x a x
=-∈R ． （1）判断在定义域上的单调性； （2）若在上的最小值为2，求的值．
22．（12分）[2021·新乡模拟]已知函数()2e 2e 4x x f x x =--． （1）求的单调区间；
（2）当时，()()e 41x af x a x <-+恒成立，求的取值范围．
2021-2021学年下学期高二期中考试卷
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】由()()1i 12i 3i z =-+=+，∴3i z =-，故选D ． 2．【答案】C
【解析】由于()2
1
2f x x x -'=，∴()1213f -=--=-'．故选C ． 3．【答案】C
【解析】复数2
i 1i 1i 2i 2z -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭
，根据模长的公式得到12z ．故选C ． 4．【答案】D
【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，
根据三角形的面积的求解方法：分割法，将与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴()12341
3
V S S S S r =
+++，故选D ． 5．【答案】B
【解析】()()3221f x x x x x '==--，
函数()43
43
x x f x =-在()1,+∞上是增函数，在(),1-∞上是减函数，
∴是函数的极小值点，故选B ． 6．【答案】D
【解析】()()1
2100sin 2dx cos cos11cos002cos1x x x x +=-+=-++-=-⎰，故选D ．
7．【答案】C
【解析】由()y xf x '=的图象可得：
当时，()0xf x '>，∴()0f x '>，即函数()y f x =单调递增；
当01x <<时，()0xf x '<，∴()0f x '<，即函数()y f x =单调递减； 当10x -<<时，()0xf x '>，∴()0f x '<，即函数()y f x =单调递减； 当1x <-时，()0xf x '<，∴()0f x '>，即函数()y f x =单调递增；
观察选项，可得C 选项图像符合题意．故选C ． 8．【答案】A
【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件； 当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件； 当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件； 当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件．
故选A ． 9．【答案】A
【解析】()()()e 2e 1e x x x f x x x '=+-=-，令()0f x '>，解得， ∴函数()()2e x f x x =-的单调增区间是()1,+∞，故选A ． 10．【答案】D
D ． 11．【答案】C
【解析】()331f x x bx =-+，()233f x x b '=-， ∵函数()331f x x bx =-+在区间内是减函数，
∴导函数()233f x x b '=-在区间内小于等于0，即，故选C ． 12．【答案】A
【解析】令()()2g x f x x x =--，则()()()()220g x g x f x x x f x x x --=--+-++=， ∴()()g x g x -=，∴函数为上的偶函数．
∵当(],0x ∈-∞时，都有()21f x x '<+成立，∴()()210g x f x x '='--<， ∴函数在(],0x ∈-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增．
()()()2131f m f m m m <-++，即()()()()2
2242111f m m m f m m m -<------，
∴()()21g m g m <-，因此()()21g m g m <-，
∴21m m <-，化为23210m m +-<，解得1
13
m -<<．故选A ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】
25
5
【解析】()()()2
2
212i 224i 242512i 12i 12i 5555--⎛⎫⎛⎫
===+-=
⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭
． 14．【答案】2021
【解析】依题意可知第行有个数字，
前行的数字个数为()2
13521n n ++++-=个，可得前44行共个，
∵2441936=，即第44行最后一个数为1936，
∴第45行第83列出现的数字是1936832019+=，故答案为2021． 15．【答案】 【解析】函数()ln x f x x =
，()2
1ln x
f x x -'=，令()0f x '=，解得． ∵20e e <<，函数在(]0,e x ∈上单调递增，在2
e,e x ⎡⎤∈⎣⎦单调递减；
时，取得最大值，()1
e e
f =．故答案为． 16．【答案】
【解析】()()()()2cos22sin 112sin 2sin 1f x a x a x a a x a x a =++--=-++--'
()()()22sin 2sin 12sin 1sin 1a x a x x a x =-++-=---， ∵()0f x '=时一定有根，1
sin 2
x =
，即πππ,622x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，
∴要使无极值，则，此时()()2
2sin 10f x x --'=≤恒成立， 即单调递减，故在区间ππ,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上，的最小值为
π3π22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
三、解答题：本大题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）1210z z +=；（2），1n =-．
【解析】（1）∵12i z m =-为纯虚数，∴， 又，∴12i z =-，21i z =-，从而1213i z z +=-，
因此()2
2121310z z +=+-=． （2）∵()2
12
z z =，∴()2
2i 1i m n -=+，即()2
2i 12i m n n -=-+，
又，为实数，∴2122m n n
⎧=-⎨-=⎩，解得0
1m n =⎧⎨=-⎩．
18．【答案】（1）11a b =⎧⎨=⎩；（2）的单增区间为2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，的单减区间为20,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，()12ln 22f x =-极小，无极大值．
【解析】（1）()()220bx a
f x x x '-=>，根据题设得方程组121b b a =⎧⎨
-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩． （2）由（1）可知()221
x f x x
-'=，令()202f x x =⇒='，22x =-（舍去），
当202x <<时，()0f x '<，当2
2
x >时，()0f x '>，
∴的单增区间为2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，的单减区间为20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()212
ln 222f x f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭极小，无极大值． 19．【答案】（1），3b =-；（2）．
【解析】（1）由题意知()232f x x ax b '=++，()12f =-且()10f '=， 即12
320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩
，解得，3b =-．
（2）如图，由1问知()33f x x x =-．作出曲线33y x x =-的草图，所求面积为阴影部分的面积．
由330x x -=得曲线33y x x =-与轴的交点坐标是()3,0-，和(
)
3,0，
而33y x x =-是上的奇函数，函数图象关于原点中心对称． ∴轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等．
∴所求图形的面积为()3
3
4230
139
03dx 2422
S x x x x ⎛⎤=--=--=
⎣⎦⎝．
20．【答案】（1）；（2）22ππ3
sin cos sin cos 664αααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析．
【解析】（1）2
2
2
2
11113
sin 30cos 60sin 30cos6022224
⎛⎫⎛⎫︒+︒+︒︒=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）三角恒等式为：2
2
ππ3
sin cos sin cos 664
αααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
222ππ11sin cos sin cos sin sin sin sin 6622αααααααααα⎫⎫⎛⎫⎛⎫
++++=+-+-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-()
2233sin cos 44
αα=+=．
21．【答案】（1）见解析；（2）e a =-． 【解析】（1）由题意得的定义域为()0,+∞． ①当时，()0f x '>，故在上()0,+∞为增函数；
②当时，由()0f x '=得x a =-；由()0f x '>得x a >-；由()0f x '<得x a <-； ∴在(]0,a -上为减函数；在(),a -+∞上为增函数． ∴当时，在()0,+∞上是增函数；
当时，在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数． （2）∵()2x a
f x x
+'=
，．由（1）可知： ①当时，在()0,+∞上为增函数，()()min 12f x f a =-==，得2a =-，矛盾!
②当01a <-≤时，即1a ≥-时，在()0,+∞上也是增函数，()()min 12f x f a =-==，∴2a =-（舍去）． ③当1e a <-<时，即e 1a -<<-时，在[]1,a -上是减函数，在(],e a -上是增函数， ∴()()()min ln 12f x f a a -=-+==，得e a =-（舍去）．
④当e a -≥时，即e a ≤-时，在上是减函数，有()()min e 12e
a
f x f ==-=， ∴e a =-． 综上可知：e a =-．
22．【答案】（1）函数在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增；（2）[]1,0-． 【解析】（1）()()()22e 2e 42e 2e 2x x x x f x =--=+-'，令()0f x '=，解得ln 2x =， 当(),ln 2x ∈-∞，()0f x '<，则函数在(),ln 2-∞上单调递减；
当()ln 2,x ∈+∞，()0f x '>，则函数在()ln 2,+∞上单调递增． （2）令()()()()2e 41e 21e x x x g x af x a x a a x =-++=-++，根据题意， 当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成立．
()()()()22e 21e 12e 1e 1x x x x g x a a a =-++=--'．
①当1
02
a <<
，()ln 2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成立， ∴在()ln 2,a -+∞上是增函数，且()()()ln 2,g x g a ∈-+∞，∴不符合题意； ②当，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成立，
∴在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，∴不符合题意； ③当时，∵()0,x ∈+∞，∴恒有()0g x '<，故在()0,+∞上是减函数， 于是“()0g x '<对任意()0,x ∈+∞都成立”的充要条件是()00g ≤， 即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤． 综上，的取值范围是[]1,0-．。