华南农业大学08应数专业常微分期末考试试卷

5. 微分方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 存在只与 x 有关的积分因子的充要条件为（ ）
∂M − ∂N A. ∂y ∂x =ψ ( y)
N ∂M − ∂N C. ∂y ∂x =ψ (x)
M
二、填空题（3×5=15 分）
∂M − ∂N B. ∂y ∂x =ψ ( y)
−N ∂M − ∂N D. ∂y ∂x =ψ (x)
成立，则 x = t 是方程的解。
10.
二阶
Euler
方程 x2
d2y dx2
+
3x
dy dx
+
5y
=
0
通过变换
线性微分方程。
可化为二阶常系数齐次
三、计算题（50 分）
11. 求下列方程的通解：（6×4=24 分）
（1） (3x2 + 6xy 2 )dx + (6x2 y + 4 y3 )dy = 0
A. sin 2t cost sin t
B. cos 2t 1 cos2 t
C. 1 x x2
D. et tet t2et
4.
线性方程组
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
dx dt dy dt
= =
y −2x
−
3y
的奇点是（
）
A. 稳定结点 B. 不稳定结点
C. 稳定焦点
D. 不稳定焦点
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四、证明题（6×2=12 分） 15. 设 Φ(t) 是 n 阶线性方程组 dx = Ax （ A 是 n × n 的常数矩阵）的标准基本 dt
解矩阵（即 Φ(0) = E ），证明 Φ(t)Φ−1(t0 ) = Φ(t − t0 ) ，其中 t0 为某一值。
16. 证明：如果 Φ (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上是某一个线性齐次方程组的基解矩阵，
dt 2
dt
试讨论系统的平衡状态（即驻定解）的稳定性态。
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2009 学年第一学期 考试类型：（闭卷）考试
考试科目： 常微分方程 考试时间：120分钟
学号
姓名
年级专业
题号 一 二 三
四
得分
评阅人
五 总分
一、单项选择题（3×5=15 分，请将正确答案填到下面的表格中）
题号
1
2
3
4
5
答案
1. 下列微分方程为二阶线性方程的是（ ）
（2） x dy = 1 + ⎜⎛ dy ⎟⎞2 dx ⎝ dx ⎠
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（3） x′′ + 1 − (x′)2 = 0 （4） x′′ − 2x′ + 2x = tet cost
12.试求方程组
x′
=
Ax
的一个基解矩阵，并计算 exp(At) ，其中
A
=
⎛1
⎜ ⎝
4
2 3
⎞ ⎟ ⎠
那么此方程组必为 dx = Φ′(t)Φ −1 (t) x 。并求作一个线性齐次微分方程组，使它的基 dt
解矩阵为
Φ (t
)
=
⎜⎜⎝⎛
et 0
tet et
⎟⎟⎠⎞
。
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五、讨论题（8 分）
17. 某自激振动系统以数学形式表示如下（范德波尔方程）
d 2 x + μ(x2 −1) dx + x = 0(μ > 0)
.
（8 分）
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∫ 13. 设 f (x) 为连续函数，且满足 f (x) = ex −
x
(x
−
t)
f
(t)dt
，求
f
(x)
.（9
分）
0
14.设 (x, y) ∈ D :
x +1
≤ 1,
y
≤
1
，求初值问题
⎪⎧ ⎨
dy dx
=
x2
−
y2
的解的存在区间，并
⎪⎩ y(−1) = 0
求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。（9 分）
方程的通解为 y =（ ）
A. (c1 + c2 x)xex + ex
B. (c1 + c2 x)xex − ex
C. (c1 + c2 x)xex + (1 − c1 − c2 )ex
D. (c1 + c2 x)xex − (1 − c1 − c2 )ex
3. 以下各函数组在它们相应定义区间内是线性相关的有（ ）
A.
d2y dx2
−
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
+
12xy
=
0
B.
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
+
x
dy dx
−
Hale Waihona Puke 3y2=0
C.
d2y dx2
+
x
dy dx
+
x
=
sin
y
D.
x
d2y dx2
−
5
dy dx
+
3xy
=
sin
x
2. 微分方程 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 有三个特解 y1 = ex , y2 = xex , y3 = x2ex ，则微分
N
6.已知某曲线上任一点平分过该点的法线夹在两坐标轴之间的线段，则该曲线方程
为
。
7.方程 dy = x − y + 1 通过变换
可化为齐次方程
。
dx x + y − 3
8. 如果ϕ(t) 是方程组 x′ = Ax 满足初始条件ϕ(t0 ) =η 的解，那么ϕ(t) =
。
9. 对于二阶线性齐次方程 x′′ + p(t)x′ + q(t)x = 0 （其中 p(t), q(t) 为连续函数），若有