【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：2.1 数列 Word版含解析

2.1 数列
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)
2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)
3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 数列的概念与分类
阅读教材P 31，完成下列问题．
1．数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2．数列的表示方法
数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )
(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )
(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
教材整理2 数列的通项公式
阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．
1．数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
2．数列的通项公式
如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．
1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．
【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.
【答案】a n＝2n－1，n∈N*
2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.
【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.
【答案】13
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
写出下列数列的一个通项公式．
(1)12，2，92，8，252，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；
(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5
，….
【精彩点拨】 【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一
成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 2
2(n ∈N *)．
(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1
(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数
项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n
1n (n ＋1)(n ∈N *)．
用观察法求数列的通项公式的一般规律
1．一般数列通项公式的求法
2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．
3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
[再练一题]
1．写出下列数列的一个通项公式．
(1)3,5,9,17,33，…；
(2)12，34，78，1516，3132，…；
(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….
【导学号：91730020】
【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….
所以a n ＝2n ＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，
所以a n ＝2n －12n .
(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分
子则是32＋1,42＋1,52＋1,62
＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.
n n (1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？
【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；
(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．
【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.
(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，
解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，
故45是数列{a n }中的第5项．
令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，
解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，
故3不是数列中的项．
1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．
2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：
(1)将所给的数代入通项公式中；
(2)解关于n 的方程；
(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．
[再练一题]
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．
(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．
令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，
而该方程无正整数解，
∴1不是数列{a n }中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，
则有a n ＝a n ＋1，
即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2
， 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
[探究共研型]
探究1 (小)项？
【提示】 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.
探究2 如何定义数列{a n }的单调性？
【提示】 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．
设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增
的，求实数k 的取值范围．
【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．
【自主解答】 ∵a n ＝n 2
＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，
{a n }是单调递增数列．
另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－k 2， 即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．
∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．
1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．
2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧
a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n
，则a n 为最小项．
[再练一题]
3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.
【导学号：91730021】
【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.
[构建·体系]
1．已知下列数列：
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；
(2)0，12，23，…，n －1n ，…；
(3)1，12，14，…，12
n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1
·n 2n －1
，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)
【解析】 (1)是有穷递增数列；
(2)是无穷递增数列⎝
⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，也是无穷数列；
(6)是常数列，也是有穷数列．
【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．
【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.
【答案】 a n ＝n ＋1
3．下列有关数列的表述：
①数列的通项公式是唯一的；
②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④数列中的数是按一定次序排列的．
其中说法正确的是________．
【解析】 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．
【答案】③④
4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：
图2-1-1
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.
【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.
【答案】a n＝2n＋1
5．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4
n2＋3n
(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；
(2)试问1
10和
16
27是不是它的项？如果是，是第几项？
【解】(1)a1＝
4
12＋3×1
＝1，a2＝
4
22＋3×2
＝
2
5，a3＝
4
32＋3×3
＝
2
9.
(2)令
4
n2＋3n
＝
1
10，则n
2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.
又n∈N*，故n＝－8舍去，所以1
10是数列{a n}的第5项．
令
4
n2＋3n
＝
16
27，则4n
2＋12n－27＝0，解得n＝
3
2或n＝－
9
2.
又n∈N*，所以16
27不是数列{a n}的项．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.
那么可以称为数列的有________．
【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．
【答案】①②③④
2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．
【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.
【答案】15
3．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．
①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)
2；③a n＝
n(n＋1)
2；④a n＝n
2＋1.
【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.
【答案】 ③
4．数列的通项公式为a n ＝⎩
⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________． 【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧
3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，
得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.
【答案】 20
5．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.
【导学号：91730023】
【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1.
∵25＝20＝3×7－1，
∴25是数列的第7项．
【答案】 7
6．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．
(1) (2) (3) (4)
图2-1-2
【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，
故第n 个图形中的点数为n 2.
【答案】 n 2
7．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，
a 2a 3＝3－223－23＝15.
【答案】 3－22n
15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99
(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．
①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.
【解析】 通项公式变形为：
a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99
， 显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．
【答案】 ①
二、解答题
9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．
(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；
(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．
【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，
又a 1＝3，a 10＝21，
∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧
k ＝2，b ＝1，
∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，
a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.
(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，
∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．
10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1
(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；
(2)98101是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.
令n ＝10，得第10项a 10＝2831.
(2)令3n －23n ＋1＝98101
，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．
(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1
， 又n ∈N *，所以0<
33n ＋1
<1. 所以0<a n <1，
所以数列中的各项都在区间(0,1)内．
[能力提升]
1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.
【导学号：91730024】
【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，
∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94
， 同理a 5＝2516，
∴a 3＋a 5＝6116.
【答案】 6116
图2-1-3
2．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．
【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，
C，D，E，A，故动点运动的周期为5，
∵a2 016＝a2 015
＋1＝a5
×403＋1
＝a1＝1，故应在A处．
【答案】A
3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，
a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.
【答案】27
4．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)判断数列{a n}的单调性．
【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，
可得f(2a n)＝a n－1
a n＝2n，
所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.
故a n＝n－n2＋1.
(2)法一：(作商比较)
a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1
＝
n＋n2＋1
(n＋1)＋(n＋1)2＋1
<1.
因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．
法二：(作差比较)
a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝
2(n2＋1－n)
n2＋1＋1＋n2＋2n＋2
>0.
所以数列{a n}是递增数列．。