四川省金堂中学高三数学10月月考 理

金堂中学高10月月考数学试题（理科）
(总分150分,Ⅰ卷60分,Ⅱ卷90分)
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
∈≥+=Z x x x P ,115|则P M 等于 （ ）
A ．{}Z x x x ∈≤<,30|
B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|
C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|
D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|
2.若
i i
m -+1是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
3. 直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ,则b 的值为( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5
4.已知函数)(1
x f
y -=的图象过点)0,1(，则)12
1
(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ ）
A ．)2,1(
B ．)1,2(
C ．)2,0(
D ．)0,2(
5．等差数列{}
1418161042,30,a a a a a a n -=++则中的值为（ ） A ．．－．10
D ．－10
6．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和
ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF 、C 1E 与AB 所成的角分别为α、β，则α+β等于（ ）
A ．1
B ．60°
C ．75°
D ．90°
7. 极限)(lim 0
x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的
（ ）
A ．充分而不必要的条件
B ．必要而不充分的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
8.在24
3
1⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有（ ） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
9.已知△ABC 中A B >，给出下列不等式:
(1)sin sin (2)cos cos (3)sin 2sin 2(4)cos2cos2A B A B A B A B ><><正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 10．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（ ） A ．
17 B ．27 C ．37 D ．4
7
11. 函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f ()等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．一1
D ．2
12. 若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，
则a 的取值范围是
（ ）
A ．)1,4
1[
B ． )1,4
3[
C ．),49(+∞
D ．)4
9,1(
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 14. 若点)sin ,(cos ααP 在直线y=－2x 上，则sin 22cos2αα+=
15.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是________________________.
16．非空集合M 关于运算⊕满足：（1）对任意的a ，M b ∈，都有M b a ∈⊕；（2）存在M e ∈，使得对一切M a ∈，都有a a e e a =⊕=⊕，则称M 关于运算⊕为“理想集”。

现给出下列集合与运算：
①M ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②M ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；
③M ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法；④M ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法； 其中M 关于运算⊕为“理想集”的是 。

（只需填出相应的序号） 三、解答题：（本大题共6小题，共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛
⎫⎛⎫=+
+--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭R ，（其中0ω>）
（I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为
π
2
，求函数()y f x =的单调增区间． 18、（本小题满分12分）
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。

某顾客从此10张券中任抽2张，求： (1) 该顾客中奖的概率；
(2) 该顾客获得的奖品总价值ξ (元)的概率分布列和期望E ξ。

19、19．（本小题满分12分）
在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，
PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30°角。

（1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值； （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值。

本小题12分）
已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。

（Ⅰ）若方程
06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。

21、21. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 表示该数列前n 项的和，且满足
),1(2+=n n n a a S )(*∈N n ，设.1
312111n
a a a a
b n n n n n ++⋅⋅⋅++++++=
（1）求数列}{n a 的通项；
（2）证明：数列}{n b 为递增数列；
（3）是否存在正整数k ，使得10
k
b n <对任意正整数n 恒成立，若存在，求出k 的最小值。

22、
(本题满分14分）
已知函数
(1) 求曲线在点A （0，)处的切线方程；
(2) 讨论函数
的单调性；
(3) 是否存在实数，使
当时恒成立？若存在，求出实数a;
若不存在，请说明理由.
金堂中学高10月月考数学试题答题卷（理科）
一、选择题（60分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13． 14. 15. 16.
考号：
……………线………………………………………
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17. （本小题满分12分）
18、（本小题满分12分）
19、（本小题满分12分）
本小题满分12分）
21、（本小题满分12分）
22、（本小题满分14分）
金堂中学高10月月考数学试题参考答案（理科） 一、选择 BCAAD DBCCC BB 二、填空
13. [6,2]- 14.-2 15. (,3)(0,3)-∞-⋃ 16. ①④ 三、解答题
17、（I
）解：11
()cos cos (cos 1)22
f x x x x x x ωωωωω=
+--+
12cos 122x x ωω⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
π2sin 16x ω⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭． ·············· 5分 由π1sin 16x ω⎛
⎫--
⎪⎝
⎭≤≤，得π32sin 116x ω⎛⎫--- ⎪⎝
⎭≤≤， 可知函数()f x 的值域为[31]-，． ······················· 7分 （II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，得
2π
πω
=，即得2ω=． ···························
9分 于是有π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，再由πππ2π22π()262
k x k k --+∈Z ≤≤， 解得 ππ
ππ()63
k x k k -
+∈Z ≤≤． 所以()y f x =的单调增区间为ππππ63k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，()k ∈Z ··········· 12分 18、解:（Ⅰ）2
62101521453
C P I C =-=-=，即该顾客中奖的概率为32
. ………4分
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，0，60（元）.且
211211
63631622221010101011132101212
(0),(10),(20),(50),
3515151
(60).
15
C C C C C C P P P P C C C C C C P C ξξξξξ=============== 故ξ有分布列： ………10分
从而期望.1615
1
601550152051030=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………12分
19.解法：（1）如图建立空间直角坐标系，
1(0,0,0),(,0,0),(0,),(,,0),
2A B a E a C a a
则(0,2,0),)13(,,),(0,2,),
21()02(0,
2D a P BE a a a PD a BE PD a a a ∴=-=∴⋅=-⨯+⋅⋅= PD BE ⊥∴
……3分
（2）
,420)()2
3()21(00
2321)(0|
|||cos 2
222
22=++-⋅++⋅+⋅+
-⨯=
⋅=
a a a a a a a a CD AE CD AE θθ
则所成角为与设 ∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为
4
2
. ……8分 （3）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥则PAB PAB CB 是平面平面∴⊥.的法向量。

(0,,0)BC a ∴= (,,)PCD m x y z
=又设平面的一个法向量为，
23
,.(,,),(,,0)3
m PC m CD PC a
a a CD a a ⊥⊥=-
=-则而 0,0m PC m
CD ∴⋅=⋅=由 0,3
0.
ax ay ax ay ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩
得
,
.
x y z =⎧⎪
∴⎨=⎪⎩ 1,y m =∴=令 BC m θ设向量与所成角为
cos ||||0tan 2.
BC m BC m θθ⋅=
===⋅∴=则 ∴平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正切值为2。

……12分
（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f ()2(1)(3),0.f x x a x x a +=--<且因而
.3)42(2)3
)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=① ……2分
由方程.09)42(06)(2
=++-=+a x a ax a x f 得 ② ……3分
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2
=⋅-+-=∆a a a ，
即 .5
1
1.
01452-===--a a a a 或解得……5分
由于5
1
.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式
.5
3
5651)(2---=x x x f ……6分
（Ⅱ）由a
a a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222
++-+-=++-=……7分 及.1
4)(,02a
a a x f a ++-
<的最大值为可得……8分 由⎪⎩
⎪⎨⎧<>++-
,0,01
42a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或……11分 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ …12分 21.解：（1）0),1(21111>+=a a a S ，得：11=a （2分）；
1,2--=≥n n n S S a n ，),1(2+=n n n a a S ),1(2111+=---n n n a a S 得： )1()1(211+-+=--n n n n n a a a a a ⇒0)1)((11=--+--n n n n a a a a ，
01≠+-n n a a ，11=-∴-n n a a ，∴数列}{n a 为等差数列，故n a n = ……… 3分；
（２）n n n n n b n ++
⋅⋅⋅++++++=
1
312111 02
21
121112211211>+-+=+-+++=-∴+n n n n n b b n n
∴数列}{n b 为递增数列； ……… 6分
（３） ,107211<=
b 1071272<=b ，10
760371063<=<b ∴若存在，必有7≥k ，………8分 又 当4≥n 时，n
n n n n b n ++
⋅⋅⋅++++++=1
312111 n n 2)12(1651431211⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=
)1
1151414131(4130112121n
n --+⋅⋅⋅+-+-+++< ＝
)131(4130112121n -+++10
712130112121=+++< ………10分 ∴这样正整数k 存在，k 的最小值为７. …………………12分
22、解 （1）∵ a ＞0，ax e a
x a x x f )1
2()(2+-
=，
∴ ax ax e a a
x a x e a x x f ⋅⋅+-+-=')1
2()22()(2
=ax
ax e a
a ax e x ax a x )2()1222(22-+=+-+-， …………… 2分
于是a f 1)0(=，a
a f 2
)0(-='，所以曲线y = f （x ）在点A （0，f （0））处的切线方程为
)0(21--=-x a
a a y ，即（a －2）x －ay + 1 = 0． … 4分
（2）∵ a ＞0，e ax
＞0，∴ 只需讨论a
a ax 22-+的符号． ………… 5分
ⅰ）当a ＞2时，a
a ax 2
2-+＞0，这时f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（－∞，+∞）上为
增函数．
ⅱ）当a = 2时，f ′（x ）= 2x 2e 2x
≥0，函数f （x ）在（－∞，+∞）上为增函数．
……………… 6分 ⅲ）当0＜a ＜2时，令f ′（x ）= 0，解得a a x --
=21，a
a
x -=22．
∴ f （x ）在)2,(a a --
-∞，),2(+∞-a a 为增函数，f （x ）在)2,2(a
a
a a ---为减函数． …… 9分
（3）当a ∈（1，2）时，a
a -2∈（0，1）．由（2）知f （x ）在)2,0(a a
-上是减函数，
在)1,2(
a a -上是增函数，故当x ∈（0，1）时，a e a a
a a f x f ---=-=22min )21(2
)2()(，所以22
)(a
x f >当x ∈（0，1）时恒成立，等价于1)21(2>---a e a 恒成立．当a ∈（1，2）
时，)1,0(2∈-a ，设)1,0(,)1()(∈-=t e t t g t ，则0)(<-=--='t t t t te te e e t g ，表明g(t) 在
（0，1）上单调递减，于是可得)1,0()(∈t g ，即a ∈（1，2）时1)21(2<---a
e a 恒成立，
因此，符合条件的实数a 不存在． 14分。