贵州省六盘水市七中2025届高考数学必刷试卷含解析

贵州省六盘水市七中2025届高考数学必刷试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ）
A ．2-或1
B ．1-或2
C ．1-或12
D ．12-或1
2．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )
A ．{}1,3-
B ．{}1,0-
C ．{}0,3
D ．{}1,0,3-
3．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2π
ϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（
）
A ．2，0
B ．2， 4π
C ．2， 3π
- D ．2， 6π
4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若//m α，//n α，则//m n
B ．若//m α，n ⊂α，则//m n
C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α
D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥
5．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）
A ．0
B ．2-
C ．5
2- D ．3-
6．函数的图象可能是下面的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：
003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．12
9．已知ABC △的面积是12
,1AB =,2BC =,则AC =（ ） A ．5 B 5 1
C ．5或1
D 5 10．设i 是虚数单位，复数
1i i +=（ ） A ．1i -+
B ．-1i -
C ．1i +
D ．1i - 11．设函数1,2()21,2,1
a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）
A ．12
B ．11
C ． 6
D ．3
12．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )
A ．12
B ．35
C ．710
D ．45
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．对定义在[0,1]上的函数()f x ，如果同时满足以下两个条件：
（1）对任意的[0,1]x ∈总有()0f x ；
（2）当10x ，20x ，121x x +时，总有()()()1212f x x f x f x ++成立.
则称函数()f x 称为G 函数.若()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，则实数a 的取值范围为________.
14．曲线()11ln f x x x =+在点()()1,1f 处的切线方程是__________. 15．双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左焦点为()12,0F -，点()
0,5A ，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.
16．已知F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3），则△PMF 周长的最小值是_____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.
（1）证明：DF //平面BCE.
（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ.
18．（12分）已知0a >，0b >，且1a b +=.
（1）求12a b
+的最小值； （2）证明：
222512ab b a b +<++. 19．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .
（1）求椭圆方程；
（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.
20．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.
（1）求证:OE 平面PAB ；
（2）求证:CD PA ⊥.
21．（12分）已知函数2
()52ln f x x x x =-+.
（1）求()f x 的极值；
（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>.
22．（10分）已知函数2()ln 23f x x x ax x a =-+-，a Z ∈. （1）当1a =时，判断1x =是否是函数()f x 的极值点，并说明理由；
（2）当0x >时，不等式()0f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
求得直线2
2y x a =-的斜率，利用曲线ln y x a =-的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得a 的值. 【详解】
直线2
2y x a =-的斜率为1，
对于ln y x a =-，令11y x '=
=，解得1x =，故切点为()1,a -，代入直线方程得212a a -=-，解得12
a =-或1. 故选：D
【点睛】 本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
2、A
【解析】
先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.
【详解】
由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.
【点睛】
本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
3、D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫
⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案
【详解】 由函数图象可知：311341264
T πππ=-= T π=，
21A ω∴==， 函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭
， 2π
ϕ<，则6π
ϕ=
故选D
【点睛】
本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
4、D
【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】
解：选项A中直线m，n还可能相交或异面，
选项B中m，n还可能异面，
选项C，由条件可得//
nα或n⊂α．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
5、C
【解析】
试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．
解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，1
2
]成立，等价于a≥-x-
1
x
对于一切
1
0,
2
x
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
成立，
∵y=-x-1
x
在区间
1
0,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
上是增函数
∴
115
2
22 x
x
--≤--=-
∴a≥-5 2
∴a的最小值为-5
2
故答案为C．
考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题
6、C
【解析】
因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．
7、C
【解析】
设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点P
的坐标为(a ，直线AB 的方程为
122x y -=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d
，则11222
PAB S AB d d =⋅=⨯=
，解得d =
另一方面，由点到直线的距离公式得d ==
整理得0a =
或40a =，
0a ≥，解得0a =或1a =
或a =
综上，满足条件的点P 共有三个．
故选：C.
【点睛】 本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
8、C
【解析】
由6n =开始，按照框图，依次求出s ，进行判断。

【详解】
00116s 6sin60 2.598,n 12s 12sin303,22
n =⇒=⨯≈=⇒=⨯= 01n 24s 24sin152
=⇒=⨯ 3.1058≈，故选C. 【点睛】
框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。

9、B
【解析】 ∵11sin 22ABC S AB BC B ∆=
⋅⋅⋅=，1AB =
,BC =
∴sin B == ①若B
为钝角，则cos B =，由余弦定理得2222cos AC AB BC B AB BC =+-⋅⋅，
解得5AC =； ②若B 为锐角，则2cos 2B =
，同理得1AC =. 故选B.
10、D
【解析】
利用复数的除法运算，化简复数
1i 1i i +=-，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，复数
()1i (i)1i 1i i i (i)
+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11、B
【解析】
画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数1,2()21,2,1a
x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个
根），
由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3，
则122313
12231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ．
【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
12、C
【解析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况， 2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010
-=. 故选:C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{}1
【解析】 由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：12x a ≥
对任意的[0,1]x ∈恒成立，解得1a ≥，又()()1212121x x a a -≤--在120,0x x ≥≥，121x x +≤恒成立，即
10a a
-≤，所以1a ≤，从而可得1a =. 【详解】
因为()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数， 所以对任意的[0,1]x ∈总有()0h x ≥， 则12x
a ≥对任意的[0,1]x ∈恒成立， 解得1a ≥，
当1a ≥时，
又因为10x ，20x ，121x x +时，
总有()()()1212h x x h x h x ++成立，
即()()()121112122221x x x x h x x h x h x a a a ++-+=⋅-⋅-⋅+⎡⎤⎣⎦
()()12212110x x a a =--+-≥恒成立， 即()()1212121x x a a
-≤--恒成立， 又此时()()122121x x --的最小值为0， 即10a a
-≤恒成立， 又因为1a ≥
解得1a =.
故答案为：{}1
【点睛】
本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题. 14、230x y +-=
【解析】
利用导数的几何意义计算即可.
【详解】
由已知，()'211f x x x
=--，所以()'12f =-，又(1)1f =， 所以切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.
故答案为：230x y +-=
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题. 15、2 2
【解析】
设双曲线的右焦点为()22,0F ，根据1APF ∆周长为11223PF PA AF AF a ++≤++，计算得到答案.
【详解】 设双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()22,0F .
1APF ∆周长为：11222323628PF PA AF PF a PA AF a a ++=+++≤++=+=.
当2APF 共线时等号成立，故1a =，即实轴长为22a =，2c e a ==. 故答案为：2；2.
【点睛】
本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16、517+
【解析】
△PMF 的周长最小，即求||||PM PF +最小，过P 做抛物线准线的垂线，垂足为Q ，转化为求||||PM PQ +最小，数形结合即可求解.
【详解】
如图，F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3），
抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F （0，2），准线方程为y ＝﹣2.
过P 作准线的垂线，垂足为Q ，则有||||PF PQ = ||||||||||5PM PF PM PQ MQ +=+≥=，
当且仅当,,M P Q 三点共线时，等号成立，
所以△PMF 的周长最小值为522(4)(32)+-+-=517+.
故答案为：517+.
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析（2）
7 25 -
【解析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为n，平面CDF的法向量为m，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.
【详解】
（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，
因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，
又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
所以DE//BF，又BF＝DE，
所以平行四边形BEDF，故DF//BE，
因为BE⊂平面BCE，DF⊄平面BCE
所以DF//平面BCE；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（4，0，0），
C（0，4，0），F（4，3，﹣3），
()()
0,4,0,4,3,3
DC DF
==-，
设平面CDF的法向量为m x y z
=（，，），
由
40
4330
m DC y
m DF x y z
⎧⋅==
⎨
⋅=+-=
⎩
，令x＝3，得()
3,0,4
m=，
易知平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以35m n =
cos ＜，＞， 故27cos 22cos 125θθ=-=-
. 【点睛】
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.
18、（
1）3+2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 【详解】 （1
）
121222()()3323
a b a b a b a b a b b a b a +=++
=+++=+“b =”时取等号， 故12a b
+的最小值为3
+； （2）222222222222
41
4(2)122155555ab b ab b ab ab b b b
a b b b ab b a a +++===+++++++， 当且仅当1,2a b ==
时取等号，此时1a b +≠． 故222
1ab b a b +<++． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
19、（1）22
143x y +=；（2）1,24⎛ ⎝⎭或1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
（1）根据12PF F △的周长为22a c +，结合离心率，求出,a c ，即可求出方程；
（2）设(,)P m n ，则(,)Q m n --，求出直线AM 方程，若2QF 斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF 斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据224AF M AF N S S =△△和2,,P F N 三点共线，将点N 坐标用,m n 表示，,P N 坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为12
，12PF F △的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则222226,1,
2,a c c a
b c a +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩
解得2a =，1c =
，b = 所以椭圆方程为22
143
x y +=. （2）设(,)P m n ，则22
143
m n +=，且(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2
n y x m =++①. 若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方， 则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3
(1)4
y x =--，代入椭圆方程得 2293(1)124
x x +-=，整理得276130x x --=， 1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4
AF M AF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1
n y x m -=---， 即(1)1
n y x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,
x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +. 因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y 所以221
1|42
|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =.
又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34
N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，
223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--
所以()31(1)4N n n x m -=-
-，即734N m x -=， 所以2273344143
m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2
272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =
，所以n = 所以点P
的坐标为1,24⎛ ⎝⎭
或1,24⎛- ⎝⎭
. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
20、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行；
（2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直.
【详解】
（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点，
又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，
又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ；
（2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ，
所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ，
所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，
PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，
所以，CD PA ⊥.
【点睛】
此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.
21、（1）()f x 极大值为92ln 24
-
-；极小值为62ln 2-+；（2）见解析 【解析】 （1）对函数()f x 求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;
（2）构造函数1()()(1),0,2F x f x f x x ⎛
⎫=--∈ ⎪⎝⎭,求导并判断单调性可得()0F x <,从而()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立,再结合110,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,()()()2111f x f x f x =<-,可得到211x x >-,即可证明结论成立. 【详解】 （1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,2(21)(2)()25(0)x x f x x x x x
'--=-+=>, 所以当10,(2,)2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<, 则()f x 的单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故()f x 的极大值为115192ln 2ln 2242
24f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭;()f x 的极小值为(2)4102ln 262ln 2f =-+=-+. （2）证明:由（1）知1231022
x x x <<<<<, 设函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛
⎫=--∈ ⎪⎝⎭, 则()()()22()52ln 1512ln 1F x x x x x x x ⎡⎤=-+----+-⎣⎦, 2
(21)(2)(21)(1)2(21)()1(1)
x x x x x F x x x x x ---+-'=+=--, 则()0F x '>在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增, 故1()2F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭
, 又1110222F f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则1()()(1)0,0,2F x f x f x x ⎛⎫=--<∈ ⎪⎝⎭
, 即()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立.
因为110,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
,所以()()111f x f x <-, 又()()21f x f x =,则()()211f x f x <-, 因为211,1,22x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以211x x >-,故121x x +>.
【点睛】
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.
22、（1）1x =是函数()f x 的极大值点，理由详见解析；（2）1.
【解析】
（1）将1a =直接代入，对()f x 求导得()'ln 44f x x x =-+，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，
判断导函数()f x '在1x =左右两边的正负情况，最后得出，1x =是函数()f x 的极大值点；
（2）利用题目已有条件得1a ≥，再证明1a =时，不等式()0f x ≤ 恒成立，即证1ln 230x x x -+-
≤，从而可知整数a 的最小值为1.
【详解】
解:（1）当1a =时，()'ln 44f x x x =-+.
令()()'ln 44F x f x x x ==-+，则()114'4x F x x x -=
-= 当14
x >时，()0F x '<. 即()'f x 在1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭内为减函数，且()'10f = ∴当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()'0f x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0f x <. ∴()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内是增函数，在(1,)+∞内是减函数. 综上，1x =是函数()f x 的极大值点.
（2）由题意，得()10f ≤，即1a ≥.
现证明当1a =时，不等式()0f x ≤成立，即2ln 2310x x x x -+-≤. 即证1ln 230x x x
-+-≤ 令()1ln 23g x x x x =-+-
则()()()2222
2111121'2x x x x g x x x x x -+--++=-+== ∴当)1(0x ∈，
时，()'0g x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0g x <. ∴()g x 在()0,1内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，
()g x 的最大值为()10g =.
∴当0x >时，1ln 230x x x
-+-≤. 即当0x >时，不等式()0f x ≤成立.
综上，整数a 的最小值为1.
【点睛】
本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题。