高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~06《立体几何中的向量方法求空间距离》(1)(人教A版选修2

课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】
课时：06 课型：新授课
教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． （1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：
利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.
在PAO Rt ∆中，
θθsin |||
|sin AP d AP d =⇒=
又|
|||||sin n AP n AP ⋅=
θ
|
|||n n AP d ⋅=
∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）
例１：如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．
分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离．
解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k
为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴ (2,0,0)BE =u u u r ，(4,2,0)BF =-u u u r
， (0,4,2)BG =-u u u u r ，(2,4,2)GE =-u u u r
，
•α
O
P
θ
n
A
d
•α
O
P
θ
n
A
d
l
(2,2,0)EF =-u u u r
．
设BM ⊥平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，
使得BM aBE bBF cBG =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r
(1)a b c ++=，
∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-u u u u r
＝(2a+4b,－2b －4c,2c)．
由⊥BM 平面EFG ，得BM GE ⊥，BM EF ⊥，于是
0BM GE ⋅=u u u u r u u u r ，0BM EF ⋅=u u u u r u u u r
．
∴ (24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01a b b c c a b b c c a b c +--⋅-=⎧⎪
+--⋅-=⎨⎪++=⎩
整理得：⎪⎩⎪⎨
⎧=++=++=-1
0230
5c b a c b a c a ，解得1511711311a b c ⎧=⎪⎪⎪
=-⎨⎪⎪
=⎪⎩
． ∴ BM ＝(2a+4b,－2b －4c,2c)＝)11
6,112,112(
． ∴ 222
226211||11111111BM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u u r
故点B 到平面EFG 的距离为11
112．
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2：
如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，为11D C 的中点，求下列问题： （1） 求1B 到面BE A 1的距离；
解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则
),1,1,0(),0,21
,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量
1
A 1
B 1
C 1
D E
z
则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0210011
z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n 选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为3
2
|
|11=
=n d
课后练习：
1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC , ︒=∠90ACB ，21=
AA ，
求点1B 到面BC A 1的距离.
2.在三棱锥ABC S -中， ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，黄肌瘦
32==SC SA ，M 、N 分别为AB 、SB 的中点,求点到平面CMN 的距离.
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D
E y
z
x
B 1
A 1
B
C 1 A
C
S
A
B
C
N
M
O
教学反思:。