计算机组成原理课件-4-运算方法与运算器
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实验时间初步安排
实验都在周六做，初步安排如下： 3月28日周六上午3-5节（3月30日上午不上课） 3月28日周六下午6-8节（3月30日晚上不上课） 4月25日周六上午3-5节（4月27日上午不上课） 4月25日周六下午6-8节（4月27日晚上不上课） 5月23日周六上午3-5节（5月18日上午不上课） 5月23日周六下午6-8节（5月18日晚上不上课） 5月30日周六上午3-5节（5月25日上午不上课） 5月30日周六下午6-8节（5月25日晚上不上课）
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2、补码加减运算的溢出判断
对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数）相加， 或者异号（两数）相减。 确定发生溢出的情况： 正数相加，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (1)） 负数相加，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (2)） 负数－正数，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (3)） 正数－负数，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (4)）
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三、移码加减运算与判溢
[例] 已知x=1011，y=-1110，用移码运算方法计算 x+y，同时指出运算结果是否发生溢出。
[例] 已知x=1001，y=-1100，用移码运算方法计算 x-y，同时指出运算结果是否发生溢出。
例，教材P111例4.5
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4.2
一 二 三
定点数的乘法运算及实现
2、补码加减运算的溢出判断
当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计 算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否 则会得到错误的结果。 【例】 设字长为8位(包括1位符号)，若十进制数 x= –73，y= –83，用二进制补码求[x+y]补。 解： x=(–73)10=(–1001001)2，[x]补＝10110111 y=(–83)10=(–1010011)2，[y]补＝10101101 则 [x+y]补=10110111+10101101 =01100100 （溢出）
[-Y]补 Y0 Y1 Yn 1
若[Y]补 = Y0.Y1……Yn ，则：
[-Y]补 Y0 Y1 Yn 0.001
例： [X]补 =0.1101，则： [－X]补 = [Y]补 =1.1101，则： [－Y]补 = 1.0011 ？ ？ 0.0011
8
补码加法运算举例
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补码的算术移位举例
例：设X＝0.1001,Y＝－0.0101，求 [X]补＝ 0.1001 ？ [2X]补＝ 1.0010 ？ （溢出） 0.0100 [X/2]补＝？ [Y]补＝ 1.1011 ？ [2Y]补＝ 1.0110 ？ 1.1101 [Y/2]补＝？
原码、反码的算术移位举例见教材P110 例4.4。
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4.2
定点数的乘法运算及实现
Ⅱ.用硬件乘法器和除法器实现。
硬件上：设置有由并行加法器、移位器和若干循环、 计数控制逻辑电路搭成的串行乘除法器。 指令系统：具有乘除法指令。 实现：乘除运算通过微程序一级（硬件＋微程序） 来实现。 算法：在微程序中依据串行乘除运算算法，循环累 加、右移指令→乘法，循环减、左移指令→除法。 运算速度：有所提高，但硬件设计也相对复杂。 适用场合：低性能CPU。
仅仅选了理论课的同学在上述时间都不用上课。
2
本章概要
运算器
算数运算 逻辑运算
定点数运算
加减乘除运算方法 定点运算器的组成与结构
浮点数运算
加减乘除运算方法 浮点运算器的组成与结构
3
第4章 运算方法与运算器
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
定点数的加减运算及实现 定点数的乘法运算及实现 定点数除法运算及实现 定点运算器的组成与结构 浮点运算及运算器 浮点运算器举例 本章小结
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二、机器数的移位运算
二进制数据（真值）每相对于小数点左移一位，相当 于乘以2；每相对于小数点右移一位，相当于除以2。 计算机中的移位运算分为： 1、逻辑移位：将移位的数据视为无符号数据，各 数据位在位置上发生了变化，导致无符号数据的数 值（无正负）放大或缩小。逻辑左移时，高位移 出，低位补“0”；逻辑右移时，低位移出，高位 补“0”。移出的数据位一般置入标志位CF(进位/ 借位标志)。 2、算术移位：将移位的数据视为带符号数据（机 器数）。算术移位的结果，在数值的绝对值上进行 放大或缩小，同时，符号位必须要保持不变。 3、循环移位：所有的数据位在自身范围内进行左 移或者右移，左移时最高位移入最低位，右移时最 低位移入最高位。若与CF标志位一起循环，称为大 循环，否则，称为小循环。
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原码、反码的算术移位
原码的算术左移：符号位不变，高位移出，低位补0。 当左移移出的数据位为“1”时，发生溢出。 原码的算术右移：符号位不变，低位移出，高位补0。
反码的算术左移：最高有效位移入符号位，低位正数 补0，负数补“1”。 反码的算术右移：符号位不变，高位补符号位，低位 移出。
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三、移码加减运算与判溢
移码和补码混合计算
移码运算结果判溢： 第一操作数采用移码表示，使用双符号位，规 定最高符号位为0）； 第二操作数采用补码表示，使用变形补码。
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三、移码加减运算与判溢
移码运算结果溢出的判断条件是： 当结果的最高符号位Sf1=1时溢出，Sf1=0时结果 正确。 • Sf1 Sf2=10时，结果正溢出； • Sf1 Sf2=11时，结果负溢出。 由于移码运算用于浮点数的阶码，当运算结果正 溢出时，浮点数上溢；当运算结果负溢出时，浮 点数下溢，当作机器零处理。
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4.1 定点数的加减运算及实现
一 二 三 四 补码加减运算与运算器 机器数的移位运算 移码加减运算与判溢 十进制加法运算(自学)
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一、补码加减运算与运算器
一 二 三 补码加减运算方法 补码加减运算的溢出判断 补码加减运算器的实现
61、Βιβλιοθήκη 码加减运算方法 补码的加减运算的公式是：
[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 [X-Y]补 = [X]补 + [-Y]补
0,1011 ＋ 1,1100 0,0111
[X＋Y]补 = 0, 0111
0,1011 ＋ 0,0100 0,1111
[X－Y]补 = 0, 1111
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补码加减运算的规则可归纳如下：
① 参加运算的操作数均为补码表示的形式； ② 加减运算可统一为加法运算进行，符号位作为数的一部 分参加运算，符号位的进位去掉； ③ 运算结果为补码形式。
例：X=+0.1011，Y＝-0.0101，求X+Y 解： [X]补= 0.1011 ， [Y]补= 1.1011
所以， X+Y= +0.0110 补码加法的特点： ① 符号位作为数的一部分参加运算, 符号位的进位丢掉。 ② 运算结果为补码形式。
补码减法运算举例
【例】 已知[x]补＝1.1010, [y]补＝1.0110, 求[x-y]补。 解： [x - y]补=[x]补+[- y]补
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常用的判溢方法（补码加减运算）
（1) 单符号位的判溢 两操作数同号且和数的符号与操作数的符号不同。 （2) 进位判溢方法 根据教材P106 表4.2可以得到结论：
OF C n C n 1
Cn—最高位(符号位)进位，Cn-1—次高位(最高有效位)进位。 当OF=1时溢出。 也就是，当最高有效位产生的进位(Cn-1)和符号位产 生的进位(Cn)不同时，加减运算发生了溢出。
Sf1 Sf2=10，负溢出，或 Cf=1,C1=0,不同，溢出
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3、补码加减运算器的实现
19
3、补码加减运算器的实现
核心部件：一个普通的二进制并行加法器。 A：累加器，存放[X]补；B：寄存器，存放[Y]补； 取反电路:实际上为一组两输入异或门电路。 ADD / SUB =0时，补码加法器，将B寄存器直接送入并 行加法器; ADD / SUB =1时，补码减法器，将B送入并行加法器， 同时，并行加法器的最低位产生进位，即B取反加1， 此时并行加法器的运算相当于[A]补加[-B]补 ，完成减 法运算。
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三、移码加减运算与判溢
为什么要进行移码运算？
移码经常作为浮点数的阶码
移码主要运算
加减
三、移码加减运算与判溢
移码和移码计算
上面两式表明： 1）使用移码求和，只需直接将移码相加，并将 结果的符号位取反； 2）使用移码求差，直接将被减数移码与减数相 反数的移码相加，并将结果的符号位取反；
原码乘法及实现 补码乘法及实现
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4.2
定点数的乘法运算及实现
由于计算机的软硬件在逻辑上具有一定的等价性，因 此实现乘除法运算，可以有三种方式： Ⅰ.用软件实现。 硬件上：设计简单，没有乘法器和除法器。 指令系统：没有乘除指令，但有加/减法和移位指 令 实现：乘除运算通过编制一段子程序来实现 算法：程序中运用串行乘除运算算法，循环累加、 右移指令→乘法，循环减、左移指令→除法。 运算速度：较慢。 适用场合：单片机。
例如：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y 解： [x]补=0.1011 ， [y]补=0.1001 [x]补 + [y]补 [x+y]补 0.1011 0.1001 1.0100
可见：两个正数相加的结果为负数，显然是由于溢 出造成的错误。
常用的判溢方法（补码加减运算）
（3）双符号位判溢方法 X和Y采用双符号位补码参加运算，正数的双符号位 为00，负数的双符号位为11；当运算结果的两位符 号Sf1 Sf2不同时（01或10），发生溢出。 V＝ Sf1 ⊕ Sf2= Xf ⊕Yf ⊕Cf⊕ Sf Sf1 Sf2=01，则正溢出；Sf1 Sf2=10，则负溢出。 但无论溢出与否，第一符号位Sf1始终表示正确的数符。
[- y]补=0.1010 ∴ [x - y]补=1.1010+0.1010 =10.0100=0.0100 (mod 2) 用真值运算并加以验算 ∵ x= - 0.0110 y= - 0.1010 ∴ x – y = - 0.0110 -(- 0.1010) = 0.0100
补码加减运算举例
例：已知X=+1011，Y=-0100，用补码计算X+Y和X-Y。 写出补码： [X]补 =0,1011 [Y]补 =1,1100 [-Y]补 =0,0100 计算：
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4.2
定点数的乘法运算及实现
Ⅲ.用高速的阵列乘法器和阵列除法器来实现。
硬件上：设置有专用的、并行运算的阵列乘法器和 阵列除法器。 指令系统：具有乘除法指令。 实现：完全通过硬件来实现。 算法：并行乘/除法。 运算速度：很快，但硬件设计相当复杂。 适用场合：高性能CPU。
补码的算术移位
补码的算术左移：符号位不变，高位移出，低位补0。 当左移移出的数据位正数为“1”、负数为“0”时，发 生溢出。 为保证补码算术左移时不发生溢出，移位的数据最高有 效位必须与符号位相同。 在不发生溢出的前提下，用硬件实现补码的算术左移 时，直接将数据最高有效位移入符号位，不会改变机器 数的符号。 补码的算术右移：符号位不变，低位移出，高位正数补0， 负数补1，即高位补符号位。
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双符号位判溢方法举例
例：用补码计算X+Y和X-Y （1）X=+1000，Y=+1001 （2）X=-1000，Y=1001
Sf1 Sf2=01，正溢出，或 Cf=0,C1=1,不同，溢出
Sf1 Sf2=11，无溢出，或 Cf=0,C1=0,相同，无溢出
Sf1 Sf2=00，无溢出，或 Cf=1,C1=1,相同，无溢出
特点：
使用补码进行加减运算，符号位和数值位一样参 加运算。 补码的减法可以用加法来实现，任意两数之差的 补码等于被减数的补码与减数相反数的补码之和 。
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求补运算：[Y]补 → [-Y]补
求补规则：将[Y]补包括符号位在内每一位取反，末 位加1。 若[Y]补 = Y0，Y1……Yn ，则：
实验都在周六做，初步安排如下： 3月28日周六上午3-5节（3月30日上午不上课） 3月28日周六下午6-8节（3月30日晚上不上课） 4月25日周六上午3-5节（4月27日上午不上课） 4月25日周六下午6-8节（4月27日晚上不上课） 5月23日周六上午3-5节（5月18日上午不上课） 5月23日周六下午6-8节（5月18日晚上不上课） 5月30日周六上午3-5节（5月25日上午不上课） 5月30日周六下午6-8节（5月25日晚上不上课）
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2、补码加减运算的溢出判断
对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数）相加， 或者异号（两数）相减。 确定发生溢出的情况： 正数相加，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (1)） 负数相加，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (2)） 负数－正数，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (3)） 正数－负数，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (4)）
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三、移码加减运算与判溢
[例] 已知x=1011，y=-1110，用移码运算方法计算 x+y，同时指出运算结果是否发生溢出。
[例] 已知x=1001，y=-1100，用移码运算方法计算 x-y，同时指出运算结果是否发生溢出。
例，教材P111例4.5
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一 二 三
定点数的乘法运算及实现
2、补码加减运算的溢出判断
当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计 算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否 则会得到错误的结果。 【例】 设字长为8位(包括1位符号)，若十进制数 x= –73，y= –83，用二进制补码求[x+y]补。 解： x=(–73)10=(–1001001)2，[x]补＝10110111 y=(–83)10=(–1010011)2，[y]补＝10101101 则 [x+y]补=10110111+10101101 =01100100 （溢出）
[-Y]补 Y0 Y1 Yn 1
若[Y]补 = Y0.Y1……Yn ，则：
[-Y]补 Y0 Y1 Yn 0.001
例： [X]补 =0.1101，则： [－X]补 = [Y]补 =1.1101，则： [－Y]补 = 1.0011 ？ ？ 0.0011
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补码加法运算举例
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补码的算术移位举例
例：设X＝0.1001,Y＝－0.0101，求 [X]补＝ 0.1001 ？ [2X]补＝ 1.0010 ？ （溢出） 0.0100 [X/2]补＝？ [Y]补＝ 1.1011 ？ [2Y]补＝ 1.0110 ？ 1.1101 [Y/2]补＝？
原码、反码的算术移位举例见教材P110 例4.4。
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4.2
定点数的乘法运算及实现
Ⅱ.用硬件乘法器和除法器实现。
硬件上：设置有由并行加法器、移位器和若干循环、 计数控制逻辑电路搭成的串行乘除法器。 指令系统：具有乘除法指令。 实现：乘除运算通过微程序一级（硬件＋微程序） 来实现。 算法：在微程序中依据串行乘除运算算法，循环累 加、右移指令→乘法，循环减、左移指令→除法。 运算速度：有所提高，但硬件设计也相对复杂。 适用场合：低性能CPU。
仅仅选了理论课的同学在上述时间都不用上课。
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本章概要
运算器
算数运算 逻辑运算
定点数运算
加减乘除运算方法 定点运算器的组成与结构
浮点数运算
加减乘除运算方法 浮点运算器的组成与结构
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第4章 运算方法与运算器
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
定点数的加减运算及实现 定点数的乘法运算及实现 定点数除法运算及实现 定点运算器的组成与结构 浮点运算及运算器 浮点运算器举例 本章小结
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二、机器数的移位运算
二进制数据（真值）每相对于小数点左移一位，相当 于乘以2；每相对于小数点右移一位，相当于除以2。 计算机中的移位运算分为： 1、逻辑移位：将移位的数据视为无符号数据，各 数据位在位置上发生了变化，导致无符号数据的数 值（无正负）放大或缩小。逻辑左移时，高位移 出，低位补“0”；逻辑右移时，低位移出，高位 补“0”。移出的数据位一般置入标志位CF(进位/ 借位标志)。 2、算术移位：将移位的数据视为带符号数据（机 器数）。算术移位的结果，在数值的绝对值上进行 放大或缩小，同时，符号位必须要保持不变。 3、循环移位：所有的数据位在自身范围内进行左 移或者右移，左移时最高位移入最低位，右移时最 低位移入最高位。若与CF标志位一起循环，称为大 循环，否则，称为小循环。
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原码、反码的算术移位
原码的算术左移：符号位不变，高位移出，低位补0。 当左移移出的数据位为“1”时，发生溢出。 原码的算术右移：符号位不变，低位移出，高位补0。
反码的算术左移：最高有效位移入符号位，低位正数 补0，负数补“1”。 反码的算术右移：符号位不变，高位补符号位，低位 移出。
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三、移码加减运算与判溢
移码和补码混合计算
移码运算结果判溢： 第一操作数采用移码表示，使用双符号位，规 定最高符号位为0）； 第二操作数采用补码表示，使用变形补码。
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三、移码加减运算与判溢
移码运算结果溢出的判断条件是： 当结果的最高符号位Sf1=1时溢出，Sf1=0时结果 正确。 • Sf1 Sf2=10时，结果正溢出； • Sf1 Sf2=11时，结果负溢出。 由于移码运算用于浮点数的阶码，当运算结果正 溢出时，浮点数上溢；当运算结果负溢出时，浮 点数下溢，当作机器零处理。
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4.1 定点数的加减运算及实现
一 二 三 四 补码加减运算与运算器 机器数的移位运算 移码加减运算与判溢 十进制加法运算(自学)
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一、补码加减运算与运算器
一 二 三 补码加减运算方法 补码加减运算的溢出判断 补码加减运算器的实现
61、Βιβλιοθήκη 码加减运算方法 补码的加减运算的公式是：
[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 [X-Y]补 = [X]补 + [-Y]补
0,1011 ＋ 1,1100 0,0111
[X＋Y]补 = 0, 0111
0,1011 ＋ 0,0100 0,1111
[X－Y]补 = 0, 1111
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补码加减运算的规则可归纳如下：
① 参加运算的操作数均为补码表示的形式； ② 加减运算可统一为加法运算进行，符号位作为数的一部 分参加运算，符号位的进位去掉； ③ 运算结果为补码形式。
例：X=+0.1011，Y＝-0.0101，求X+Y 解： [X]补= 0.1011 ， [Y]补= 1.1011
所以， X+Y= +0.0110 补码加法的特点： ① 符号位作为数的一部分参加运算, 符号位的进位丢掉。 ② 运算结果为补码形式。
补码减法运算举例
【例】 已知[x]补＝1.1010, [y]补＝1.0110, 求[x-y]补。 解： [x - y]补=[x]补+[- y]补
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常用的判溢方法（补码加减运算）
（1) 单符号位的判溢 两操作数同号且和数的符号与操作数的符号不同。 （2) 进位判溢方法 根据教材P106 表4.2可以得到结论：
OF C n C n 1
Cn—最高位(符号位)进位，Cn-1—次高位(最高有效位)进位。 当OF=1时溢出。 也就是，当最高有效位产生的进位(Cn-1)和符号位产 生的进位(Cn)不同时，加减运算发生了溢出。
Sf1 Sf2=10，负溢出，或 Cf=1,C1=0,不同，溢出
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3、补码加减运算器的实现
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3、补码加减运算器的实现
核心部件：一个普通的二进制并行加法器。 A：累加器，存放[X]补；B：寄存器，存放[Y]补； 取反电路:实际上为一组两输入异或门电路。 ADD / SUB =0时，补码加法器，将B寄存器直接送入并 行加法器; ADD / SUB =1时，补码减法器，将B送入并行加法器， 同时，并行加法器的最低位产生进位，即B取反加1， 此时并行加法器的运算相当于[A]补加[-B]补 ，完成减 法运算。
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三、移码加减运算与判溢
为什么要进行移码运算？
移码经常作为浮点数的阶码
移码主要运算
加减
三、移码加减运算与判溢
移码和移码计算
上面两式表明： 1）使用移码求和，只需直接将移码相加，并将 结果的符号位取反； 2）使用移码求差，直接将被减数移码与减数相 反数的移码相加，并将结果的符号位取反；
原码乘法及实现 补码乘法及实现
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4.2
定点数的乘法运算及实现
由于计算机的软硬件在逻辑上具有一定的等价性，因 此实现乘除法运算，可以有三种方式： Ⅰ.用软件实现。 硬件上：设计简单，没有乘法器和除法器。 指令系统：没有乘除指令，但有加/减法和移位指 令 实现：乘除运算通过编制一段子程序来实现 算法：程序中运用串行乘除运算算法，循环累加、 右移指令→乘法，循环减、左移指令→除法。 运算速度：较慢。 适用场合：单片机。
例如：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y 解： [x]补=0.1011 ， [y]补=0.1001 [x]补 + [y]补 [x+y]补 0.1011 0.1001 1.0100
可见：两个正数相加的结果为负数，显然是由于溢 出造成的错误。
常用的判溢方法（补码加减运算）
（3）双符号位判溢方法 X和Y采用双符号位补码参加运算，正数的双符号位 为00，负数的双符号位为11；当运算结果的两位符 号Sf1 Sf2不同时（01或10），发生溢出。 V＝ Sf1 ⊕ Sf2= Xf ⊕Yf ⊕Cf⊕ Sf Sf1 Sf2=01，则正溢出；Sf1 Sf2=10，则负溢出。 但无论溢出与否，第一符号位Sf1始终表示正确的数符。
[- y]补=0.1010 ∴ [x - y]补=1.1010+0.1010 =10.0100=0.0100 (mod 2) 用真值运算并加以验算 ∵ x= - 0.0110 y= - 0.1010 ∴ x – y = - 0.0110 -(- 0.1010) = 0.0100
补码加减运算举例
例：已知X=+1011，Y=-0100，用补码计算X+Y和X-Y。 写出补码： [X]补 =0,1011 [Y]补 =1,1100 [-Y]补 =0,0100 计算：
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4.2
定点数的乘法运算及实现
Ⅲ.用高速的阵列乘法器和阵列除法器来实现。
硬件上：设置有专用的、并行运算的阵列乘法器和 阵列除法器。 指令系统：具有乘除法指令。 实现：完全通过硬件来实现。 算法：并行乘/除法。 运算速度：很快，但硬件设计相当复杂。 适用场合：高性能CPU。
补码的算术移位
补码的算术左移：符号位不变，高位移出，低位补0。 当左移移出的数据位正数为“1”、负数为“0”时，发 生溢出。 为保证补码算术左移时不发生溢出，移位的数据最高有 效位必须与符号位相同。 在不发生溢出的前提下，用硬件实现补码的算术左移 时，直接将数据最高有效位移入符号位，不会改变机器 数的符号。 补码的算术右移：符号位不变，低位移出，高位正数补0， 负数补1，即高位补符号位。
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双符号位判溢方法举例
例：用补码计算X+Y和X-Y （1）X=+1000，Y=+1001 （2）X=-1000，Y=1001
Sf1 Sf2=01，正溢出，或 Cf=0,C1=1,不同，溢出
Sf1 Sf2=11，无溢出，或 Cf=0,C1=0,相同，无溢出
Sf1 Sf2=00，无溢出，或 Cf=1,C1=1,相同，无溢出
特点：
使用补码进行加减运算，符号位和数值位一样参 加运算。 补码的减法可以用加法来实现，任意两数之差的 补码等于被减数的补码与减数相反数的补码之和 。
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求补运算：[Y]补 → [-Y]补
求补规则：将[Y]补包括符号位在内每一位取反，末 位加1。 若[Y]补 = Y0，Y1……Yn ，则：