2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习：第5章 数列 3 第3讲 分层演练直击高考

1．在等比数列{a n }中，若首项a 1＝1，公比q ＝4，则该数列前5项和S 5＝________. [解析] 在等比数列{a n }中，因为a 1＝1，q ＝4，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－45
1－4＝341.
[答案] 341
2．(2018·邯郸大名一中月考改编)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝________．
[解析] q ＝a 2＋a 4
a 1＋a 3＝2.
[答案] 2
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________． [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝1
9
.
[答案] 1
9
4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋1
3，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.
[解析] S n ＝23a n ＋13，S n －1＝23a n －1＋13(n ≥2)，相减得a n ＝23a n －2
3
a n －1，即a n ＝－2a n －
1(n ≥2)．又
S 1＝23a 1＋13
，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －
1.
[答案] (－2)n －
1
5．(2018·常州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则
S 6
S 3
＝________．
[解析] 由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，
所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）
1－q ，
得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）
1－3
，
所以S 6S 3＝a 1（1－36
）
1－3·1－3a 1（1－33）
＝28.
[答案] 28
6．(2018·南京高三模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为________．
解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0且q ≠1)，则由a 3－a 1＝2，得a 1＝2
q 2－1.因为a 3
－a 1＝2＞0，所以q ＞1，所以a 5＝a 1q 4
＝2q 4
q 2－1
.令q 2－1＝t ＞0，所以a 5＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2≥8，当且仅当t ＝1，即q ＝2时，等号成立，故a 5的最小值为8.
答案：8
7．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1
2
，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．
[解析] 由已知可得a 1＝f (1)＝1
2，令x ＝n ，y ＝1，
所以f (n )·f (1)＝f (n ＋1)， 所以f （n ＋1）f （n ）
＝f (1)＝12，
所以{a n }是以f (1)为首项，f (1)为公比的等比数列． 所以a n ＝f (n )＝[f (1)]n
＝⎝⎛⎭⎫
12n
，
所以S n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n
＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n
.
因为n ∈N *，所以1
2≤S n <1.
[答案] ⎣⎡⎭⎫
12，1
8．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围
是________．
[解析] 因为a 5＝a 2q 3，所以14＝2×q 3，所以q ＝1
2，
所以a 1＝a 2q ＝4，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1＝23－n ，
所以a k a k ＋1＝
12
k －3
·12k －2＝1
2
2k －5， 所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝12
2×1－5＋122×2－5＋…＋1
2
2n －5
＝32×⎝⎛⎭⎫14＋142＋…＋14n ＝32×14⎝⎛
⎭⎫1－14n 1－14 ＝32
3⎝⎛⎭⎫1－14n ∈⎣⎡⎭⎫8，323. [答案] ⎣
⎡⎭⎫8，323 9．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
1a n 的前4项和为________．
[解析] 设数列{a n }的公比为q .
当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84. 而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．
当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28（1－q 3）1－q ＝1－q 6
1－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }
的通项公式为a n ＝3n －
1.
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝40
27.
[答案]
40
27
10．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a m ＋n
a m
＝a n ，则数列{a n }的前n
项和S n ＝________．
解析：因为a n ＋m
a m ＝a n ，
令m ＝1，则a n ＋1
a 1＝a n ，
即
a n ＋1
a n
＝a 1＝2， 所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.
答案：2n ＋
1－2
11．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，
a 1＋4d ＝8.所以a 1＝0，d ＝2.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.
(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， 因为a 4＝6，所以q ＝2或q ＝－3.
因为等比数列{b n }的各项均为正数，所以q ＝2.
所以{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2
＝2n
－1.
12．(2018·杭州模拟)设等差数列{a n }的首项a 1为a (a ≠0)，前n 项和为S n . (1)若S 1，S 2，S 4成等比数列，求数列{a n }的通项公式； (2)证明：对∀n ∈N *，S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na ＋n （n －1）
2
d ，
所以S 1＝a ，S 2＝2a ＋d ，S 4＝4a ＋6d . 因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以S 22＝S 1·S 4， 即(2a ＋d )2＝a ·(4a ＋6d )， 整理得d (2a －d )＝0， 所以d ＝0或d ＝2a . 当d ＝0时，a n ＝a (a ≠0)；
当d ＝2a 时，a n ＝a ＋(n －1)d ＝(2n －1)a (a ≠0)．
(2)证明：不妨设存在m ∈N *，使得S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等比数列，则S 2m ＋1＝S m ·S m ＋2，得
a 2＋mad ＋1
2m (m ＋1)d 2＝0，(*)
若d ＝0，则a ＝0，这与已知矛盾；
若d ≠0，要使数列{a n }的首项a 存在，则必有(*)式的Δ≥0，然而Δ＝(md )2－2m (m ＋1)d 2
＝－(2m ＋m 2)·d 2<0，矛盾．
综上所述，对∀n ∈N *，S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列．
1．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．
[解析] 由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2.
[答案] －2
2．(2018·湖北省华中师大附中月考改编)在等比数列{a n }中，公比q ＞1，a 1＋a m ＝17，
a 2a m －1＝16，且前m 项和S m ＝31，则项数m ＝________．
[解析] 由等比数列的性质知a 1a m ＝a 2a m －1＝16，又a 1＋a m ＝17，又q >1，因此a 1＝1，a m ＝16，S m ＝a 1（1－q m ）1－q ＝a 1－a m q 1－q ，即1－16q 1－q ＝31，解得q ＝2，a m ＝a 1q m －1＝2m －
1＝16，
m ＝5.
[答案] 5
3．(2018·山西省四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝________.
[解析] 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n ，所以log 2a n ＝log 22
n
＝n .
log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝1＋2＋…＋(2n －1)＝n (2n －1)． [答案] n (2n －1)
4．(2018·江苏省高考名校联考(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，若数列{a n }与数列⎩
⎨⎧⎭
⎬
⎫S n a n
＋t (t ＜－1)分别是公比为q ，q ′的等比数列，则q ＋q ′的取值范围为________．
解析：若q ＝1，则S n a n ＋t ＝n ＋t ，不成等比数列，故q ≠1，则S n
a n ＋t ＝1－q n q n －1（1－q ）＋t ，
考虑前三项1＋t ，1＋q q ＋t ，1＋q ＋q 2q 2
＋t 成等比数列得，t ＝q 1－q ，反之，当t ＝q 1－q 时，S n
a n ＋t ＝1q n －1（1－q ）成等比数列，此时，公比为1q ，即q ′＝1q .由t ＜－1，得q
1－q ＜－1，q ＞1，q
＋q ′＝q ＋1
q
＞2，故q ＋q ′的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．已知首项为3
2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5
＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1
S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．
[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝1
4
.
又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1
2.
故等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －
1·32n .
(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭
⎫－1
2n
＝⎩
⎨⎧1＋1
2
n ，n 为奇数，1－1
2
n ，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝3
2
，
故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝5
6.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，
所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7
12.
综上，对于n ∈N *，总有－
712≤S n －1S n ≤5
6
. 所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－7
12
.
6．(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知数列{a n }中，a n >0，其前n 项和为S n ，
数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，且T n ＝2
2－S n
－1(n ∈N *)．
(1)求a 1；
(2)若b n ＝2－S n ，证明：数列{b n }是等比数列；
(3)在(2)的条件下，已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝1
b n
，若p (p ≥3)是给定的正整数，
数列{c n }，{d n }的前p 项和分别为Q p ，R p ，且Q p ＝R p .求证：对任意的正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k .
[解] (1)当n ＝1时，由题意得，T 1＝2
2－S 1－1，
即1a 1＝22－a 1－1， 所以a 1＝1. (2)证明：因为T n ＝
2
2－S n
－1，① 所以当n ≥2时，T n －1＝
2
2－S n －1
－1.②
由①－②，得1a n ＝22－S n －22－S n －1＝2a n
（2－S n ）（2－S n －1）
(n ≥2，n ∈N *)，
所以(2－S n )(2－S n －1)＝2a 2n ＝2[(2－S n －1)－(2－S n )]2
，
即b n b n －1＝2(b n －1－b n )2，
所以b n b n －1＋b n －1b n ＝52，所以b n b n －1＝2或b n b n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)．
又数列{a n }的各项均为正数，
所以数列{2－S n }，即数列{b n }单调递减， 所以b n b n －1＝12
(n ≥2，n ∈N *)．
因为a 1＝1，所以b 1＝1≠0，所以数列{b n }是以1为首项，1
2为公比的等比数列．
(3)证明：由(2)知，b n ＝⎝⎛⎭
⎫
12n －1
(n ∈N *)．
因为|c n |＝|d n |＝2n －
1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p . 若c p ＝－d p ，不妨设c p >0，d p <0，
则Q p ≥2p －
1－(2p －
2＋2p －
3＋…＋21＋1)＝1>0.
R p ≤－2p －
1＋(2p －
2＋2p －
3＋…＋21＋1)＝－1<0.
这与Q p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p . 从而Q p －1＝R p －1.
由以上证明，可得c p －1＝d p －1.
如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3，…，c 1＝d 1. 即对任意的正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k .。