【5套打包】北京市初三九年级数学上期中考试检测试卷及答案

新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4．右面的三视图对应的物体是（）
A．B．
C．D．
5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54
7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后
发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共12分，每小题3分）
11．方程x2＝x的根是．
12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．
二、解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．
17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．
19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．
20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．
请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．
21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？
22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；
23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？
（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）
【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，
符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵，AE＝2cm，
∴＝，
∴AC＝6（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
4．右面的三视图对应的物体是（）
A．B．
C．D．
【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．
解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，
故选：D．
【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．
5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．
解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，
∵△ABC的周长为18厘米，
∴，
∴△DEF的周长为6厘米．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．
7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）
A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
解：根据题意得，＝，
解得，m＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∵E为BC中点，BC＝8，
∴BE＝4，
在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，
∴AF＝AE＝5，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．
解：图中相似三角形共有3对．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，
∵DE＝CE，FC＝BC，
∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，
∴AE：EF＝AD：DE，
即AD：AE＝DE：EF，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）
A．B．C．D．
【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．
解：∵CD＝BC＝1，
∴GD＝3﹣1＝2，
∵△ADK∽△FGK，
∴，
即，
∴DK＝DG，
∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，
∴KF＝，
∵△CHK∽△FGK，
∴，
∴，
∴CH＝．
方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题（共12分，每小题3分）
11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x（x﹣）＝0，
可得x＝0或x﹣＝0，
解得：x 1＝0，x2＝．
故答案为：x 1＝0，x2＝
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．
【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．
解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，
∴∠EAB＝30°，
设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，
由题意2a×a＝8，
∴a2＝，
∴k＝a2＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．
【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，
∴△ACB∽△AMN，
∴AC：CB＝AM：MN，
在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；
又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，
∴＝，即MN＝3．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．
【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；
解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．
在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，
∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．
故答案为3+．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．
二、解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．
解法一：原式可以变形为，
，
，
∴，
∴，．
解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．
16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．
【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．
解：如图所示：
【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．
17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；
（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．
解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，
∴，
解得：k＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF＝CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝BD，
∴四边形AFCD是菱形．
（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．
∵四边形AFCD是菱形，
∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，
∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，
∴四边形FHCE是矩形，
∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，
在Rt△BHF中，BF＝＝．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、
矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．
请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．
【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．
解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝，∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝106（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝55（米），
答：舍利塔的高度AB为55米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．
解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）＝14，
解得：x1＝1，x2＝4．
因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，
x+3＝4．
答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．
22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），
∴点C（5，0），
∴点B（6，4）．
（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．
∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），
∴点D（，2）．
令y＝中y＝2，则x＝2，
∴点P（2，2），
∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，
∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．
23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？
（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；
（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．
解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；
（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，
故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机
拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；
（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；
证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，
∴∠B＝∠DAB，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，
∴△FAD∽△DAB，
∴＝，
∴AD2＝AF•AB．
（2）∵∠B＝∠DAB，
∴DA＝DB，
∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△CAD≌△EBD，
∴AC＝BE，
∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，
∴△EBD∽△CBA，
∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，
∴AD•BE＝DE•AB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．
（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．
解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；
（2）当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA＝x，PB＝10﹣x，
DP＝，CP＝．
DP2+CP2＝DC2
16+x2+16+（10﹣x）2＝102
x2﹣10x+16＝0
x＝2或x＝8．
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．
新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）
A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
7．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．12
8．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程，
化成一般形式为．
12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝．
13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有．
14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是．
16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于原点对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是；
三、解答题（本大题2小题，共18分）
17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）
18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；
（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．
21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，
推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地
（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；
（2）这个同学推出的铅球有多远？
22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0
（1）证明：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．
23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为元；
（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利元，平均每月可售出个；（用含x的代数式进行表示）
（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；
（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；
（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．
25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．
（1）A点坐标为，B点坐标为；
（2）求证：点D在抛物线上；
（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】根据根的判别式，可得答案．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝7，
配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8，
故选：C．。