北京东城区2019高三上学期年末考试试题--数学(文)

北京东城区2019高三上学期年末考试试题--数学（文）
高三数学 〔文科〕
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷1至2页，第二卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一卷〔选择题 共40分〕 【一】本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

〔1〕设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U
A
B ð等于
(A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5} 〔2〕复数21i
-等于
〔A 〕1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i +
〔3〕{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，假设36a =，312S =，
那么公差d 等于
〔A 〕 〔B 〕53
〔C 〕2 〔D 〕3
〔4〕执行如下图的程序框图，输出的k 的值为
〔A 〕4
〔B 〕5 〔C 〕6
〔D 〕7
〔5〕“2230x x -->成立”是“3x >成立”的
〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件
〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 〔6〕x ，y 满足不等式组28,
28,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩ 那么目标函数3z x y =+的最大值为
(A)3
32 (B)12 (C)8 (D)24
〔7〕抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A
在抛物线上且
|||AK AF =，那么AFK ∆的面积为
〔A 〕32 〔B 〕16 〔C 〕8 〔D 〕4
个是增函数；②假设log 3log 30m n
<<，那么01n m <<<；③假设函数()f x 是奇函数，
那么(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④假设函数()323x f x x =--，那么方程
()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为
〔A 〕〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4
第二卷〔共110分〕
【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

〔9〕假设向量a ，b 满足
1
=a ，
2
=b ，且a ，b 的夹角为3
π，
那么⋅a b =，+=
a b 、
〔10〕假设
3sin 5
α=-
，且tan 0α>,那么cos α=、
〔11〕一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为、
〔12〕圆C ：22680x y x +-+=，那么圆心C 的坐标为；假设直线y kx =与圆C 相切，
且切点在第四象限，那么k =、
〔13〕某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p ,第二次提价%q ；
方案乙：每次都提价%
2
p q
+，假设0p q >>，那么提价多的方案是.
〔14〕定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R
，对所有的有序正整数对
(,)m n 满足下述条件:
①(,1)1f m =，②假设n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+- 那么(2,2)f =；(,2)f n =.
【三】解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

〔15〕〔本小题共13分〕
函数
2()cos cos f x x x x =+、
〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[,]63
ππ-上的最大值和最小值、
〔16〕〔本小题共13分〕
{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .
〔Ⅰ〕求a 的值及数列{}n
a 的通项公式；
〔Ⅱ〕假设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n
T .
〔17〕〔本小题共13分〕
如图，在菱形ABCD 中，MA ⊥平面ABCD ，且四边形ADNM 是平行四边形、
〔Ⅰ〕求证：AC ⊥BN ；
〔Ⅱ〕当点E 在AB 的什么位置时，使得//AN 平面MEC ，并加以证明. 〔18〕〔本小题共13分〕
函数
1
33
1(2
23+-+=x m mx x x f ），m ∈R . 〔Ⅰ〕当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕假设)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围. 〔19〕〔本小题共14分〕
椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x
轴上且过点
1)
2P
、
〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；
〔Ⅱ〕直线过点(1,0)E -且与椭圆C 交于A ，B 两点，假设2EA EB
=，求直线的方
程.
〔20〕〔本小题共14分〕
实数组成的数组123(,,,
,)n x x x x 满足条件：
①
1
n
i
i x
==∑；②
1
1
n
i
i x
==∑.
(Ⅰ)当2n =时，求1x ，2x 的值； 〔Ⅱ〕当3n =时，求证：123321x x x ++≤； 〔Ⅲ〕设123
n a a a a ≥≥≥
≥,且1n a a >(2)n ≥，
求证：
11
1()2n
i i
n i a x a a =≤-∑.
东城区2018-2018学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准〔文科〕
【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕 〔1〕B 〔2〕D 〔3〕C 〔4〕A 〔5〕B 〔6〕B 〔7〕A 〔8〕C
【二】填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕
〔9
〔10〕45
-
〔11〕54
〔12〕
(3,0)
〔13〕乙〔14〕222n
- 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分、 【三】解答题〔本大题共6小题，共80分〕 〔15〕〔共13分〕 解：〔Ⅰ〕
1cos 2()22
x f x x +=+
1sin(2)62
x π=++
.…………………………………………………4分
所以T =π、……………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕因为
63
x ππ-≤≤， 所以
52666
x πππ-≤+≤、
所以
1sin(2)126
x π-≤+≤、………………………………………………………10分 当
6
x π=-
时，函数()f x 的最小值是0， 当
6x π=
时，函数()f x 的最大值是32
、…………………………………………13分 〔16〕〔共13分〕
解：〔Ⅰ〕当1n =时，11
20S a a ==+≠.……………………………………1分
当2n ≥时，
112n n n n a S S --=-=.……………………………………………3分
因为{}n a 是等比数列，
所以
111221a a -=+==，即11a =.1a =-.…………………………………5分
所以数列{}n a 的通项公式为
12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得
12n n n b na n -==⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T .
那么
231112232422n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯+
+⋅.①
2312122232(1)22n n n T n n -=
⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅.②
①-②得
21111212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯+
+⨯-⋅……………………9分
211(222)2n n n -=+++
+-⋅
112(12)2n n n -=---⋅……………………………………11分 (1)21n n =--⋅-.…………………………………………………12分
所以
(1)21n n T n =-⋅+.……………………………………………………………13分
〔17〕〔共13分〕
解：〔Ⅰ〕连结BD ，那么AC BD ⊥. 由DN ⊥平面ABCD ，
因为DN
DB D =， 所以AC ⊥平面NDB . 又因为BN ⊂平面NDB ，
所以AC BN ⊥.………………………………………………6分 〔Ⅱ〕当E 为AB 的中点时，有//AN 平面MEC .……7分
CM 与BN 交于F ，连结EF .
由可得四边形BCNM 是平行四边形，
F 是BN 的中点，
因为E 是AB 的中点，
所以//AN EF .……………………10分 又EF ⊂平面MEC ， AN ⊄平面MEC ，
所以//AN 平面MEC .……………………13分 〔18〕〔共13分〕 解：〔Ⅰ〕当1=m 时，
32
1()31
3
f x x x x =+-+， 又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =. 又
5(2)3
f =
，
A
B
C
D E
N
M
F
所以所求切线方程为
5
5(2)3
y x -=-，即153250x y --=. 所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x .………6分
〔Ⅱ〕因为2232('m mx x x f -+=），
令'(0f x =），得3x m =-或x m =.………………………8分
当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意.……………………………9分 当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，假设()f x 在区间(2,3)-上是减函数， 那么32,3.
m m -≤-⎧
⎨
≥⎩解得3m ≥.……………………………………………11分
当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，假设()f x 在区间(2,3)-上是减函数，
那么2,3 3.
m m ≤-⎧
⎨
-≥⎩，解得2m ≤-.
综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-.…………………………13分 〔19〕〔共14分〕
解：〔Ⅰ〕设椭圆C 的方程为22
22
1x y a b +=(0)a b >>.
由可得
222223114.c a a b a b c ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪
⎪=+⎪⎩
，………………………………………………3分
解得24a =，21b =. 故椭圆C 的方程为2
2
1
4
x y +=、………………………………………………………6分
〔Ⅱ〕由，假设直线的斜率不存在，那么过点(1,0)E -的直线的方程为1x =-，
此时
(1(1A B --，，，显然2EA EB =不成立、…………………………7分
假设直线的斜率存在，那么设直线的方程为(1)y k x =+、 那么
22
14
(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，
整理得2222(41)8440k x k x k +++-=、………………………………………………9分 由2222(8)4(41)(44)k k k ∆=-+-
248160k =+>、
设1122()()A x y B x y ，，，、
故
2122841k x x k +=-+，①2122
4441
k x x k -=+、②………………………………10分 因为
2EA EB
=，即12
23x x +=-、③
①②③联立解得
k =、………………………………13分
60y +=
60y -+=、……………14分
〔20〕〔共14分〕 (Ⅰ)解：
12120,(1)1.
(2)
x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
由〔1〕得21x x =-，再由〔2〕知10x ≠，且20x ≠.
当10x >时，20x <.得1
21x =，所以
121,21.2
x x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩……………………………2分
当1
0x <时，同理得
121,21.2
x x ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩………………………………………………4分
〔Ⅱ〕证明：当3n =时，
由123
0x x x ++=,123=1x x x ++.
所以
12311233
322()x x x x x x x x ++=+++-
13
x x =-
131
x x ≤+≤.………………………………………………9分
〔Ⅲ〕证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,
,)i n =.
所以
1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n
a a =-,
即
112n i n a +a a a a -≤-(1,2,3,
,)i n =.……………………………11分
1n
i i i a x =∑n
1i 1
111122n n i i i n i
i i a x a x a x ====--∑∑∑1
1
1
(2)2n
i
n
i
i a a a x
==--∑
111(22n n i i i a a a x =≤+-∑)11
1()2n
n i i a a x =≤-∑
11
1
2
n
n
i
i a a x
==-∑
11
()2n a a =-.……………………………………………………………14分。