(安徽专用)高考数学一轮复习方案 滚动基础训练卷(6) 理 (含解析)

45分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第25讲～第27讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 2．[2012·安徽考前适应性训练] 已知向量OA →＝(cos α，sin α)，把向量OA →绕坐标原点O按逆时针方向旋转θ角得到向量OB →(0°<θ<90°)，则下列说法不正确．．．的为( ) A ．|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|B ．|OA →|＋|OB →|>|OA →－OB →|C ．(OA →＋OB →)⊥(OA →－OB →) D.OA →，OB →在OA →＋OB →方向上的投影相等 3．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．|a|＝|b|D ．|a|≠|b|4．已知下列命题：①若k ∈R ，且k b ＝0，则k ＝0或b ＝0；②若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则(a ＋b )·(a －b )＝0；④若a 与b 平行，则a·b ＝|a |·|b |.其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a ≠±b ，则a 与b 一定满足( ) A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．a ⊥b C ．a ∥bD ．(a ＋b )⊥(a －b )6．如图G6－1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．4C ．8D ．－47．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－2，0]8．已知两点M (－3，0)，N (3，0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3，0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________．10．[2013·安徽淮北一中月考] 设在同一个平面上的两个非零的不共线向量a ，b 满足b ⊥(a －b )，若|a |＝|b |＝1，则|a －λb |(λ<0)的取值范围是________．11．在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a －k b |＝3|k a ＋b |，其中k >0. (1)试用k 表示a·b ，并求出a·b 的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值；(2)当a·b 取得最大值时，求实数λ，使|a ＋λb |的值最小，并对这一结果作出几何解释．13．[2013·郑州模拟] 已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，设向量a ＝(sin x ，2) ，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin x ，12，c ＝(cos2x ，1)，d ＝(1，2)，当x ∈[0，π]时，求不等式f (a ·b )＞f (c ·d )的解集．14．如图G6－2，平面上定点F 到定直线l 的距离|FM |＝2，P 为该平面上的动点，过P作直线l 的垂线，垂足为Q ，且(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点N ，已知NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．45分钟滚动基础训练卷(六)1．B [解析] 由角平分线的性质得|AD →|＝2|DB →|，即有AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．从而CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .故选B.2．A [解析] 由题意可知以OA →，OB →所在直线为一组邻边，OA →＋OB →，OA →－OB →所在直线为对角线可构成边长为1的菱形，所以B ，C ，D 正确，A 错误．3．A [解析] f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，而(x a ＋b )·(a －x b )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a·b －x |b |2， 故a·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量，∴a⊥b ，故应选A.4．C [解析] ①是对的；②也可能a⊥b ；③(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0； ④平行时分两向量的夹角为0°和180°两种，a·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |. 5．D [解析] ∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)， a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝1－1＝0， 可知(a ＋b )⊥(a －b )．6．B [解析] BD ＝AB cos30°＝23，所以BD →＝32BC →.故AD →＝BD →－BA →＝32BC →－BA →.又AC →＝BC →－BA →.所以AD →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32BC →－BA →·(BC →－BA →)＝32BC →2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32BA →·BC →＋BA →2，BC →2＝BA →2＝16，BC →·BA→＝4×4×cos30°＝83，代入上式得AD →·AC →＝83－⎝⎛⎭⎪⎫1＋32×83＋16＝4.7．D [解析] 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2，0)，M (1，1)．设P (x ，y )，则由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.BP →＝(x －2，y )，AM →＝(1，1)，BP →·AM →＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2，0]．8．B [解析] 因为M (－3，0)，N (3，0)，所以MN →＝(6，0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得6（x ＋3）2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简得y 2＝－12x ，所以点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M (－3，0)的距离，所以d min ＝3.9．1 [解析] 取BC 的中点D ，则OB →＋OC →＝2OD →，且OD ⊥BC ，AH ⊥BC . 由OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，可得OA →＋AH →＝m (OA →＋2OD →)， ∴AH →＝(m －1)OA →＋2mOD →. AH →·BC →＝(m －1)·OA →·BC →＋2m ·OD →·BC →，即0＝(m －1)·OA →·BC →＋0，故m ＝1.10．(1，＋∞) [解析] 因为|a |＝|b |＝1，所以|a |2＝|b |2＝1，又b ⊥(a －b )，所以b ·(a－b )＝0，得a ·b ＝1，|a －λb |2＝λ2－2λ＋1＝(λ－1)2，又因为λ<0，所以|a －λb |2>1，得|a －λb |>1.11．2 3 [解析] 方法一：问题可转化为已知△PBC 的面积为1，求PC →·PB →＋BC →2的最小值．设△PBC 中，有P ，B ，C 所对的边分别为p ，b ，c ， 由题设知bc sin P ＝2， ∴PC →·PB →＋BC →2＝bc cos P ＋(b 2＋c 2－2bc cos P )＝b 2＋c 2－bc cos P ≥2bc －bc cos P ＝2（2－cos P ）sin P，从而进一步转化为求2－cos Psin P的最小值．(可数形结合，可引入辅助角化为一个三角函数的形式，也可用万能公式转化后换元等，下略)方法二：建立坐标系，立即得目标函数．由题设知，△PBC 的面积为1，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设C (a ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2a (a >0)，则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，－2a ，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －t ，－2a ，∴PC →·PB →＋BC →2＝－t (a －t )＋4a 2＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋4a 2＋3a 24≥0＋23，当且仅当t ＝a2，a ＝4163时取等号，∴PC →·PB →＋BC →2的最小值是2 3.12．解：(1)|a －k b |＝3|k a ＋b |⇒(a －k b )2＝3(k a ＋b )2⇒a ·b ＝－1＋k 24k(k >0)．∴a ·b ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≤－12，∴a ·b 的最大值为－12，此时cos θ＝－12，θ＝2π3.故a 与b 的夹角θ的值为2π3.(2)由题意，(a·b )max ＝－12，故|a ＋λb |2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋34，∴当λ＝12时，|a ＋λb |的值最小，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ·b ＝0，这表明当⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ⊥b 时，|a ＋λb |的值最小．13．解：设f (x )的二次项系数为m ，由条件二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则当x ≥1时，f (x )是增函数 ；若m ＜0，则当x ≥1时，f (x )是减函数．∵a ·b ＝(sin x ，2)·⎝⎛⎭⎪⎫2sin x ， 12＝2sin 2x ＋1≥1，c ·d ＝(cos2x ，1)·(1，2)＝cos2x ＋2≥1，∴当m ＞0时，f (a ·b )＞f (c ·d )⇔f (2sin 2x ＋1)＞f (cos2x ＋2)⇔ 2sin 2x ＋1＞cos2x ＋2⇔1－cos2x ＋1＞cos2x ＋2⇔cos2x ＜0⇔2k π＋π2＜2x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，⇔k π＋π4＜x ＜k π＋3π4， k ∈Z ，∵0≤x ≤π，∴π4＜x ＜3π4，当m ＜0时，同理可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ＜π4或3π4＜x ≤π 综上所述，不等式f (a ·b )＞f (c ·d )的解集是：当m ＞0时，为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＜x ＜3π4 ；当m <0时，为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ＜π4或3π4＜x ≤π. 14.解：(1)方法一：如图，以线段FM FM 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则F (0，1)．设动点P 的坐标为(x ，y )，则动点Q 的坐标为(x ，－1)， PF →＝(－x ，1－y )，PQ →＝(0，－1－y )， 由(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0，得x 2＝4y .方法二：由(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0，得|PQ →|＝|PF →|.所以，动点P 的轨迹C 是抛物线，以线段FM 的中点为原点O ，以线段FM 所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy ，可得轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：方法一：如图，设直线的方程为＝＋1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 得，x 2－4kx －4＝0，Δ＝(－4k )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →得，x 1＋2k ＝－λ1x 1，x 2＋2k＝－λ2x 2，整理得，λ1＝－1－2kx 1，λ2＝－1－2kx 2，λ1＋λ2＝－2－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝－2－2k ·x 1＋x 2x 1x 2＝－2＋2k ·4k4＝0.方法二：由已知NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →，得λ1·λ2<0.于是，|NA →||NB →|＝－λ1|AF →|λ2|BF →|，①如图，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则有|NA →||NB →|＝|AA 1→||BB 1→|＝|AF →||BF →|，②由①、②得λ1＋λ2＝0.。