【精】湖南省湘潭市湘潭县一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018-2019学年湖南省湘潭市湘潭县一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x=3n+1，n∈N}，B={4，6，8，10，12}，则集合A∩B中的元素个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心
率为（）
A．B．C．D．2
3．（5分）已知α为钝角，sinα=，则tan（+α）=（）
A．3 B．C．﹣3 D．﹣
4．（5分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）
A．=﹣10x+200 B．=10x+200 C．=﹣10x﹣200 D．=10x﹣200
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出S的值是（）
A．45 B．46 C．55 D．56
6．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）
A．B．C．D．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
8．（5分）给出如下四个命题：
①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；
②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x+x0≤1”；
④“x＞1”是“x＞0”的充分不必要条件．
其中不正确的命题是（）
A．①②B．②③C．①③D．③④
9．（5分）已知（a＞2），（x∈R），则p，q的大小关系为（）
A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q
10．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
A．B．21 C．21+D．21+
11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）
A．（0，）B．（0，1） C．（0，]D．（，+∞）
12．（5分）从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延
长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）
A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定
二、填空题：本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.图3
13．（5分）在直角坐标系xOy中，设集合Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P（x，y），则满足x+y≤1的概率等于．
14．（5分）设抛物线y2=4x焦点F，经过点P（4，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=．
15．（5分）如图，已知||=2，||=2，•=0点C在线段AB上，∠AOC=30°，用和
来表示向量，则等于．
16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，
函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠
BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．
18．（12分）函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
19．（12分）已知直线y=kx+1与双曲线x2﹣y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（﹣2，0）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
21．（12分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中（n≥2，n ∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=4n+（﹣1）n﹣1λ（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n
＞b n成立．
+1
22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．
2018-2019学年湖南省湘潭市湘潭县一中高二（上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x=3n+1，n∈N}，B={4，6，8，10，12}，则集合A∩B中的元素个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵A={x|x=3n+1，n∈N}，B={4，6，8，10，12}，
∴A∩B={4，10}，
则集合A∩B中的元素个数为2，
故选：B．
2．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．2
【解答】解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
∴a=2b，
∴c=b，
∴双曲线的离心率是e==．
故选：A．
3．（5分）已知α为钝角，sinα=，则tan（+α）=（）
A．3 B．C．﹣3 D．﹣
【解答】解：∵α为钝角，sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，
∴tan（+α）===﹣．
故选：D．
4．（5分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）
A．=﹣10x+200 B．=10x+200 C．=﹣10x﹣200 D．=10x﹣200
【解答】解：由x与y负相关，
可排除B、D两项，
而C项中的=﹣10x﹣200＜0不符合题意．
故选：A．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出S的值是（）
A．45 B．46 C．55 D．56
【解答】解：模拟执行程序，可得
n=10，i=1，s=1
满足条件i≤10，执行循环体，s=1，i=2
满足条件i≤10，执行循环体，s=2，i=3
满足条件i≤10，执行循环体，s=4，i=4
满足条件i≤10，执行循环体，s=7，i=5
满足条件i≤10，执行循环体，s=11，i=6
满足条件i≤10，执行循环体，s=16，i=7
满足条件i≤10，执行循环体，s=22，i=8
满足条件i≤10，执行循环体，s=29，i=9
满足条件i≤10，执行循环体，s=37，i=10
满足条件i≤10，执行循环体，s=46，i=11
不满足条件i≤10，退出循环，输出s的值为46．
故选：B．
6．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，
函数y=|sinx|的一个单调增区间是，
故选：C．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，
且EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，
故选：B．
8．（5分）给出如下四个命题：
①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；
②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x+x0≤1”；
④“x＞1”是“x＞0”的充分不必要条件．
其中不正确的命题是（）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【解答】解：①若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个是真命题，故①错误；
②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，故②正确，
③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x+x0＜1”；故③错误，
④若x＞1，则x＞0成立，即充分性成立，
若当x=满足x＞0，但x＞1不成立，即x＞0“x＞1”是“x＜0”的充分不必要条件．故④正确，故错误的是①③，
故选：C．
9．（5分）已知（a＞2），（x∈R），则p，q的大小关系为（）
A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q
【解答】解：≥2+2=4，当且仅当a=3时，取得等号；而由于x2﹣2≥﹣2，故≤，当且仅当x=0时，取得等号，故p≥q．
故选：A．
10．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
A．B．21 C．21+D．21+
【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S
正方体﹣2S
棱锥侧
+2S
棱锥底
=6×2×2﹣6××1×1+2×
=21+．
故选：D．
11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）
A．（0，）B．（0，1） C．（0，]D．（，+∞）
【解答】解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，
即，
∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴，
解得：0＜t＜，
∴满足条件t的范围是（0，），
故选：A．
12．（5分）从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延
长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）
A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定
【解答】解：将点P置于第一象限．
设F1是双曲线的右焦点，连接PF1
∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|=|PF1|．
又由双曲线定义得，
|PF|﹣|PF1|=2a，
|FT|==b．
故|MO|﹣|MT|
=|PF1|﹣|MF|+|FT|
=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|
=b﹣a．
故选：B．
二、填空题：本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.图3
13．（5分）在直角坐标系xOy中，设集合Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，在区域Ω内任取
一点P（x，y），则满足x+y≤1的概率等于．
【解答】解：本题是一个几何概型，
∵试验包含的所有事件对应的集合Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，
∴SΩ=1×1=1，
∵满足条件的事件A={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1}，
∴S A=，
∴由几何概型公式得到P==，
故答案为：．
14．（5分）设抛物线y2=4x焦点F，经过点P（4，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=10．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
作出抛物线的准线：x=﹣1，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，
根据抛物线的定义，得
|AF|=|AC|=x1+1，|BF|=|BD|=x2+1，故|AF|+|BF|=（x1+x2）+2
∵AB中点为P（4，1），
∴（x1+x2）=4，可得x1+x2=8
∴|AF|+|BF|=（x1+x2）+2=10
故答案为：10．
15．（5分）如图，已知||=2，||=2，•=0点C在线段AB上，∠AOC=30°，用和
来表示向量，则等于+．
【解答】解：∵，∴OA⊥OB．
∵OA=2，OB=2，
∴|AB|==4，∠A=60°，∠B=30°．
∵∠AOC=30°，
∴OC⊥AB，
∴AC=，
∴=﹣，
∴=+．
故答案为：+．
16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，
函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．
【解答】解：∵数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=f（x），
即f（x）的周期为2，
∵h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为，
∴函数f（x）与g（x）函数图象的交点个数，
根据函数图象判断：f（x）与g（x）函数图象的交点个数8，
故答案为：8
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠
BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，…（3分）
又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）
（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，
则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，
∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分）
∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分）
（Ⅲ）解：…（10分）
…（12分）
18．（12分）函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【解答】解：（Ⅰ）由题知，f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，
所以f（0）=0，即b=0…（3分）
又因为f（）=．
所以a=1，
∴f（x）=；
（Ⅱ）证明：∀x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，
则有f（x1）﹣f（x2）=，
∵x1＜x2，x1，x2∈（﹣1，1），
∴f（x1）﹣f（x2）=＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数在（﹣1，1）上是增函数．
19．（12分）已知直线y=kx+1与双曲线x2﹣y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（﹣2，0）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围．
【解答】解：（1）直线y=kx+1代入双曲线x2﹣y2=1，可得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，
∵直线y=kx+1与双曲线x2﹣y2=1的左支相交于不同的两点A，B，
∴1﹣k2≠0，△=4k2+8（1﹣k2）＞0，，
∴解得1＜k＜．
∴k的取值范围是（1，）．
（2）设M（x0，y0），∴x0=，y0=kx0+1=，
∵直线l经过C（﹣2，0）及线段AB的中点M，
∴直线MC的方程为：，整理，得x﹣（﹣2k2+k+2）y+2=0，
令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=．
设f（k）=﹣2k2+k+2=﹣2（k﹣）2+，
则f（k）在（1，）上是减函数，
∴f（）＜f（k）＜f（1），且f（k）≠0，
∴﹣2+＜f（k）＜1，且f（k）≠0，
∴b＜﹣2﹣，或b＞2，
故直线l在y轴上的截距b的取值范围是（﹣∞，﹣2﹣）∪（2，+∞）．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）设AB中点为D，连接PD，CD，（1分）
因为AP=BP，所以PD⊥AB．
又AC=BC，所以CD⊥AB．（2分）
因为PD∩CD=D，所以AB⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
所以，．
又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，所以．（6分）
因为，所以PC2=CD2+PD2．
所以∠CDP=90°．
由（Ⅰ）知∠CDP是二面角P﹣AB﹣C的平面角．
所以平面PAB⊥平面ABC．（8分）
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD⊥平面PAB．
过D作DE⊥PA于E，连接CE，则CE⊥PA．
所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．（10分）
在Rt△CDE中，易求得．
因为，所以．（12分）
所以．
即二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．（13分）
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC，DB，DP两两垂直．（9分）
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
易知D（0，0，0），，，．所以，
．（10分）
设平面PAC的法向量为n=（x，y，z），
则即
令x=1，则y=﹣1，．
所以平面PAC的一个法向量为．（11分）
易知平面PAB的一个法向量为．
所以．（12分）
由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．
所以二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．（13分）
21．（12分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中（n≥2，n ∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=4n+（﹣1）n﹣1λ（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，＞b n成立．
都有b n
+1
【解答】解：（1）由已知，（S n
+1﹣S n）﹣（S n﹣S n
﹣1
）=1（n≥2，n∈N*），
即a n
+1
﹣a n=1（n≥2，n∈N*），且a2﹣a1=1．
∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a n=n+1．
（2）∵a n=n+1，
∴b n=4n+（﹣1）n﹣1λ•2n+1，要使b n+1＞b n恒成立，
∴b n
+1
﹣b n=4n+1﹣4n+（﹣1）nλ•2n+2﹣（﹣1）n﹣1λ•2n+1＞0恒成立，
∴3•4n﹣3λ•（﹣1）n﹣12n+1＞0恒成立，
∴（﹣1）n﹣1λ＜2n﹣1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n﹣1恒成立，
当且仅当n=1时，2n﹣1有最小值为1，
∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，
当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，
∴λ＞﹣2．
即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．
综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n
+1
＞b n．
22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，
∴椭圆的方程为=1．
（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．
联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，
△＞0．
，，（*）
∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），可得﹣（x1+1）=λ（x2+1）．
得．
由=μ，可得（﹣4﹣x1，y0﹣y1）=μ（x2+4，y2﹣y0），可得﹣（x1+4）=μ（x1+4），得．
∴λ+μ=﹣=﹣，
把（*）代入分子=+8=0，
∴λ+μ=0．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，
DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接
AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。