安徽省亳州涡阳曹市中学中考数学二次函数的图象和性质复习题(有详解答案)

安徽省亳州涡阳曹市中学中考数学二次函数的图象及性质复习题（有详解答案）
基础达标训练
1. 对于函数y ＝－2(x －m )2的图象，下列说法不正确的是( )
A. 开口向下
B. 对称轴是x ＝m
C. 最大值为0
D. 与y 轴不相交
2.抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 将抛物线y ＝3x 2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( )
A. y ＝3(x －3)2－3
B. y ＝3x 2
C. y ＝3(x ＋3)2－3
D. y ＝3x 2－6
4. a ≠0，函数y ＝a x 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图
象可能是( )
5. 已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是( )
A. y 1>y 2
B. y 1≥ y 2
C. y 1<y 2
D. y 1≤y 2
6. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴是直线
x＝1.下列结论：
第6题图
①ab<0；②b2>4ac；③a＋b＋2c<0；④3a＋c<0.
其中正确的是()
A. ①④
B. ②④
C. ①②③
D. ①②③④
7.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则a的值可能是________．(写一个即可)
8. 已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a ＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2.(填“＜”、“＞”或“＝”)
9. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是__________．(只需写一个)
10. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b＋k ＝________．
11. (10分)下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：
(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
12. (12分)已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)用配方法将y＝2x2－4x－6化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写
出对称轴和顶点坐标；
(2)当0<x<4时，求y的取值范围；
(3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
13. (12分)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1或2
(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；
(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
能力提升拓展
1. 若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()
A. b<1且b≠0
B. b>1
C. 0<b<1
D. b<1
2. 将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是()
A. y＝(x－1)2＋1
B. y＝(x＋1)2＋1
C. y＝2(x－1)2＋1
D. y＝2(x＋1)2＋1
第2题图
3. 对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论错误的是( )
A. 它的图象与x 轴有两个交点
B. 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3
C. 它的图象的对称轴在y 轴的右侧
D. x ＜m 时，y 随x 的增大而减小
4.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，
交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC ，下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；
③ac ＝b －1；④a ＋b c >0.
其中正确的个数有( )
第4题图
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 5. 已知抛物线y ＝x 2－2mx －4(m >0)的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′.若点M ′ 在这条抛物线上，则点M 的坐标为( )
A. (1，－5)
B. (3，－13)
C. (2，－8)
D. (4，－20)
6. 已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是( )
A. 32
B. 2
C. 32或 2
D. －32或 2
7. (12分)如图，直线y ＝－12x ＋94与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两
点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点B ，C .
(1)求b 、c 的值；
(2)若点D 是抛物线在x 轴下方图象上的动点，过点D 作x 轴的垂线，与直线BC 相交于点E ，当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．
第7题图
8. (12分)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.
(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；
(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；
(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上，若m <n ，求
x 0的取值范围．
9. (14分)如图，过抛物线y ＝14x 2－2x 上一点A 作x 轴的平行线，
交抛物线于另一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2.
(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；
(2)在AB 上任取一点P ，连接OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D .
①连接BD ，求BD 的最小值；
②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式．
第9题图
10. (14分)如图，抛物线y ＝a (x －1)(x －3)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，其顶点为D .
(1)写出C ，D 两点的坐标(用含a 的式子表示)；
(2)设S △BCD ∶S △ABD ＝k ，求k 的值；
(3)当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
第10题图
教材改编题
1.已知正比例函数y ＝x 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝(a ＋c )x ＋ac 的图象可能是( )
2. (沪科九上P27习题21.2第8题改编)若A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (1，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x －5图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是________．(用<号连接)
答案
基础达标训练
1. D 【解析】逐项分析如下：
2. A 【解析】对称轴x ＝－b 2a ＝1，代入表达式可得y ＝m 2＋1，
∴顶点坐标为(1，m 2＋1)，∵m 2≥0，∴m 2＋1≥1，
∴顶点坐标在第一象限．
3. A 【解析】由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知：当y ＝3x 2－3的图象向右平移3个单位时，将解析式中的每一个x 变为x －3，得到新抛物线的解析式为y ＝3(x －3)2－3.
4. D 【解析】当a ＞0时，y ＝a x 的图象位于第一、三象限，y ＝
－ax 2＋a 开口向下，顶点在y 轴的正半轴上，无对应选项；当a ＜0
时，y ＝a x 的图象位于第二、四象限，y ＝－ax 2＋a 开口向上，顶点在y
轴的负半轴上，故选D.
5. D 【解析】由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝2x 2＋2消去y 得到x 2－2x ＋1＝0，∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示，观察图象可知：y 1≤y 2，故选D.
第5题解图
6. C 【解析】抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线对称轴为x ＝1，则b ＝－2a ，即b ＜0，∴ab <0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，即b 2>4ac ，故②正确；抛物线与y 轴交于负半轴，因此c ＜0.则a ＋b ＋2c ＝a －2a ＋2c ＝－a ＋2c ＜0，故③正确；由图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0，把b ＝－2a 代入，得3a ＋c ＞0
故④错误．故选C.
7. －1(答案不唯一) 【解析】根据二次函数图象及性质可知，抛物线的开口方向与a 符号有关，当a ＞0时，抛物线的开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下，则a 为任何一个小于0的实数．
8. > 【解析】∵抛物线y ＝－(x －1)2的对称轴为直线x ＝1，，∴当x >1时，y 随着x 的增大而减小，∵a >2>1，∴y 1>y 2.
9. y ＝x 2－1(答案不唯一) 【解析】∵二次函数的图象开口向上，∴a >0，顶点坐标为(0，－1)，可设这个二次函数为y ＝ax 2－1，∴解析式可以是y ＝x 2－1.
10. －3 【解析】∵y ＝(x －2)2＋k ＝x 2－4x ＋4＋k ，∴b ＝－4，4＋k ＝5，解得k ＝1，∴b ＋k ＝－4＋1＝－3.
11. 解：(1)根据表格数据可得
⎩
⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝5－1＋b ＋c ＝2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝5， ∴－x 2＋bx ＋c ＝－x 2－2x ＋5，
当x ＝－1时，－x 2－2x ＋5＝6，即n ＝6；
(2)5 【解法提示】根据表中数据得当0≤x ≤2时，y 的最大值是5.
12. 解：(1)y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6
＝2(x 2－2x ＋1)－2－6＝2(x －1)2－8，
∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－8)；
(2)当x ＝1时，y 有最小值，最小值为－8，
∵0<x <4，
∴当x ＝4时，y ＝2·(4－1)2－8＝10，
∴y 的最大值为10，
∴y 的取值范围是－8≤y <10；
(3)当x ＝0时，y ＝－6，
当y ＝0时，2x 2－4x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－1，
∴函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为12×4×6＝12.
13. (1)解：D ；
【解法提示】b 2－4ac ＝(m －1)2＋4m ＝(m ＋1)2≥0，
∴该函数的图象与x 轴可能有1或2个公共点．
(2)证明：∵y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ＝－(x －m －12)2＋（m ＋1）24
， ∴该函数的顶点坐标为(m －12，（m ＋1）24
)． 把x ＝m －12代入y ＝(x ＋1)2，得y ＝(m －12＋1)2＝（m ＋1）24
， 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上；
(3)解：设函数图象顶点纵坐标z ＝（m ＋1）24
， 当m ＝－1时，z 有最小值0；
当m <－1时，z 随m 的增大而减小；
当m >－1时，z 随m 的增大而增大．
又当m ＝－2时，z ＝（－2＋1）24
＝14； 当m ＝3时，z ＝（3＋1）24
＝4， 因此，当－2≤m ≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z ≤4.
能力提升拓展
1. A 【解析】∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，∴它与x 轴有两个交点，则(－2)2－4b >0，且b ≠0，解得b <1且b≠0.
2. C 【解析】由题图上的点坐标(－1，0)、(1，0)、(0，－2)求得抛物线的解析式为y ＝2x 2－2，将此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线解析式为y ＝2(x －1)2－2＋3，即y ＝2(x －1)2＋1.
3. C 【解析】b 2－4ac ＝(－2m )2－4×1×(－3)＝4m 2＋12，4m 2≥0，∴b 2－4ac ＝4m 2＋12＞0，∴图象与x 轴有两个交点，故A 正确；令y ＝0，得x 2－2mx －3＝0，方程的解即抛物线与x 轴交点的横坐标，
由A 知图象与x 轴有两个交点，故方程有两个根，x 1·x 2＝c a ＝－31＝－
3，故B 正确；抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2m 2＝m ，∵m 的值不
能确定，故对称轴是否在y 轴的右侧不能确定，故C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴的左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，故D 正确．
4. C 【解析】由题意，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别为(－2，0)，(－c ，0)，∴抛物线可变形为y ＝a (x ＋2)(x ＋
c )＝ax 2
＋a (2＋c )x ＋2ac ，∴2ac ＝c ，∴a ＝12，∵b ＝a (2＋c )＝12(2＋c)，∴2b －c ＝2，b －1＝12(2＋c )－1＝12c ＝ac .∵抛物线开口向上，∴a ＞0，
∵对称轴在y 轴的左侧，∴b ＞0，∵c ＜0，∴a ＋b c <0，故①，②，③
正确，④错误．
5. C 【解析】抛物线的对称轴为x ＝－－2m 2＝m ，故顶点M 的横坐标为m (m ＞0)，设M 的坐标为(m ，n )，则点M′的坐标为(－m ，－n )，∵点M 、M′均在抛物线y ＝x 2－2mx －4上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m 2－4＝n ①m 2＋2m 2－4＝－n ②，①＋②得2m 2－8＝0，∵m ＞0，∴m ＝2，将m ＝2代入①得n ＝－8，∴M 的坐标为(2，－8)．
6. D 【解析】∵二次函数图象的对称轴为x ＝m ，∴对称轴不确定，因此需要讨论－1≤x ≤2落在对称轴哪边．①当m ≥2时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时，y 取得最小值－2，即－2
＝22
－2m ×2，解得m ＝32(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又∵－1<m<2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时，y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－
1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.
7. 解：(1)对于直线y ＝－12x ＋94，
当x ＝0时，y ＝94；
当y ＝0时，x ＝92.
把(0，94)和(92，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，
得⎩⎪⎨⎪⎧94＝c
0＝814＋92b ＋c
，
解得⎩⎨⎧b ＝－5
c ＝94
；
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y ＝x 2－5x ＋94，
当y ＝0时，有x 2－5x ＋94＝0，
解得x ＝12或x ＝92，
即A (12，0)、B (92，0)，
设点D 的横坐标为m ，则点D 的坐标为(m ，m 2－5m ＋94)，点
E 的坐标为
(m ，－12m ＋94)．
∴DE ＝－12m ＋94－(m 2－5m ＋94)＝－(m －94)2＋8116，
∵－1<0，
∴当m ＝94时，线段DE 的长度最大．
将x ＝94代入y ＝x 2－5x ＋94，得y ＝－6316.
而12<m <92，
∴点D 的坐标为(94，－6316)．
8. 解：(1)函数y 1的图象经过点(1，－2)，
将其代入得(a ＋1)(－a )＝－2，
解得a 1＝－2，a 2＝1，
当a ＝－2时，y 1＝(x －2)(x ＋2－1)，
化为一般式得y ＝x 2－x －2，
当a ＝1时，y 1＝(x ＋1)(x －2)，
化为一般式得y 1＝x 2－x －2，
综上所述，函数y 1的表达式为y 1＝x 2－x －2；
(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的图象与x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋
1，0)，
①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时，
把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，
得a 2＝b ；
②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时，
把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，
得a 2＋a ＝－b ；
(3)抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝
－a ＋a ＋12＝
12，
∵二次项系数1>0，∴抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标值也越大， ∵m<n ，
∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比P 离对称轴x ＝12的距离大，
∴|x 0－12|<1－12，
∴0<x 0<1.
9. 解：(1)由抛物线y ＝14x 2－2x 得y ＝14(x －4)2－4，
∴抛物线的对称轴为x ＝4.
∵点A 在抛物线上且横坐标为－2，
∴点A 的纵坐标为y ＝14×(－2)2－2×(－2)＝5，
即点A 的坐标为(－2，5)，
∵AB ∥x 轴，
∴点B 与点A 关于抛物线对称轴x ＝4对称，
∴点B 的坐标为(10，5)；
(2)①∵点C 是AB 与y 轴的交点，
∴点C 的坐标为(0，5)，
∵点C 与点D 关于OP 对称，
∴OD ＝OC ＝5，
如解图①，连接BO ，OD ，
第9题解图①
当点D 不在OB 上时，根据三角形三边关系可知BD>OB －OD ， 当点D 落在OB 上时，BD ＝OB －OD ，此时BD 最小，
∵OB ＝102＋52＝55，OD ＝OC ＝5，
∴BD 的最小值为55－5.
②如解图②，设抛物线的对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点H ，
第9题解图②
∵OD ＝5，OF ＝4，
∴DF ＝3，
∴D (4，3)，DH ＝HF －DF ＝2.
设CP ＝a ，则PD ＝PC ＝a ，PH ＝4－a ，
在Rt △PHD 中，(4－a )2＋22＝a 2，
∴a ＝52，
∴P (52，5)，
设直线PD 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．
∴⎩⎨⎧52k ＋b ＝54k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－43b ＝253
，
∴直线PD 的函数表达式为y ＝－43x ＋253.
10. 解：(1)∵y ＝a (x －1)(x －3)＝ax 2－4ax ＋3a ，
令x ＝0，则y ＝3a ，
∴C (0，3a )，
∵y ＝a (x －2)2－a ，
∴D (2，－a )；
(2)由C (0，3a )，D (2，－a )易得：
直线CD 解析式为y ＝－2ax ＋3a ，
如解图，设CD 交x 轴于点M ，则M (32，0)，
第10题解图
由题意知点A ，B 的横坐标分别为1和3，即A (1，
0)，B (3，0),
∴BM ＝32，
∴S △BCD S △ABD ＝S △DMB ＋S △CMB
S △ABD ＝
12×32×a ＋12×32×
3a 12×
2×a ＝3， ∴k ＝3；
(3)∵B (3，0)，C (0，3a )，D (2，－a )，
∴BC 2＝32＋(－3a )2＝9＋9a 2，CD 2＝22＋(－a －3a )2＝4＋16a 2， BD 2＝(3－2)2＋a 2＝1＋a 2，
∵∠BCD <∠BCO <90°，
∴△BCD 是直角三角形时，只能有∠CBD ＝90°或∠CDB ＝90°两种情况．
①当∠CBD ＝90°时，则有BC 2＋BD 2＝CD 2，
即9＋9a 2＋1＋a 2＝4＋16a 2，
解得a ＝－1(舍去)或a ＝1，
抛物线解析式为y ＝x 2－4x ＋3；
②当∠CDB ＝90°时，则有CD 2＋BD 2＝BC 2，
即4＋16a 2＋1＋a 2＝9＋9a 2，
解得a ＝－22(舍去)或a ＝22，
抛物线解析式为y ＝22x 2－22x ＋322；
综上可知：当△BCD 是直角三角形时，抛物线的解析式为y ＝x 2
－4x ＋3或y ＝22x 2－22x ＋322.
教材改编题
1. A【解析】由题图可知二次函数图象开口向下，∴a<0，与y
轴的交点在x轴上方，∴c>0.∵对称轴在y轴的左侧，∴x＝－b
2a<0，∴b<0，∴ac>0，∵二次函数y＝ax2＋bx＋c与正比例函数y＝x的交点的横坐标为1，∴a＋b＋c＝1，即a＋c＝1－b>0，∴一次函数y＝(a＋c)x＋ac经过一、二、三象限，故选A.
2.y2＜y1＜y3【解析】∵y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－2，∵A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，∴y2＜y1＜y
3.。