2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷及答案解析

2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2024的绝对值是（）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）在第十四届全国人大二次会议审议的政府工作报告中，国家亮出了2023年中国经济“成绩单”．报告中显示，2023年，我国经济总体回升向好，国内生产总值超过1260000亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，其中数据1260000用科学记数法可表示为（）
A．0.126×107B．1.26×106C．12.6×105D．126×104
3．（3分）学校男子篮球队的12位队员的身高如表：
身高（单位：cm）176178180181
人数1542这12位队员身高的中位数是（）
A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．a•a＝2a B．（a+1）2＝a2+1C．（2a）3＝6a3D．a2•2a3＝2a5
5．（3分）不等式2x﹣3≥1的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，直线AB∥CD，等腰直角三角尺（△EFG）的两个底角顶点E、F分别在直线AB、CD 上，边EG与直线CD交于点H．若FH平分∠EFG，则∠AEH的度数为（）
A．60°B．67.5°C．70°D．75°
7．（3分）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其
大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为x步，则所列方程正确的是（）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，⊙O与边AD、对角线AC均相切，过点B作⊙O的切线，切点为P，则切线长BP的最小值为（）
A．6B．7C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）若x＝2y（y≠0），则＝．
10．（3分）因式分解：x2﹣9＝．
11．（3分）方程组的解为．
12．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为．
13．（3分）如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1”“2”“3”“5”“8”，任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，扇形OBE的圆心O在边AB上，点E在边AD上，
与边CD相切，切点为F，则的长度为（结果保留π）．
15．（3分）如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于A、B两点，则点A到原点O的距离为．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，点E为边AB的中点，若，则tan∠BCE 的值为．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解分式方程：．
19．（6分）先化简、再求值：，其中．
20．（6分）如图，分别以△ABC的顶点B、C为圆心，边AC、AB长为半径画弧，两弧在BC右侧交于点D，连接BD、CD．
（1）求证：△DCB≌△ABC；
（2）若∠A＝70°，求∠ACD的度数．
21．（6分）沧浪亭（C）、狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩．
（1）若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是；
（2）若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率（用画树状图或列表的方法求解）．
22．（8分）为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每周家务劳动时间（单位：h）进行了调查，并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图．其中每周家务劳动时间在1～1.5h范围内的人数为4人（每组只含最小值，不含最大值）．
（1）该课外活动小组抽取的样本容量是；
（2）样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？
（3）设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级生每周家务劳动时间不少于2h的人数．
23．（8分）如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为（3，4），反比例函数的图象经过点C，且与边AB交于点D．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．
24．（8分）如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面MN的立柱AB、垂直于立柱AB的横杆AC以及支撑杆CD组成，其中AB＝6m，AD＝2m，CD＝4m．调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5m的连接杆EF、CG、架线杆FG组成，连接点E、F、G可在一定范围内移动，移动时始终保持FG＝EC，且∠FEC的度数不超过90°．
（1）求证：FG∥MN；
（2）若架线杆FG到地面的距离为5m，求连接点E到点A的距离（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈2.236）．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD平分∠BAC，与过点B的⊙O的切线交于点D，与⊙O交于点E，与BC交于点F．
（1）求证：点E为线段DF中点；
26．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D为△ABC的外心．
（1）填空：点A的坐标为，∠ABC＝°；
（2）记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1﹣S2是否为定值？如果是，求出这个定值；
（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m＝．
27．（10分）（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为边BC上一动点，将点A绕点D按顺时针方向旋转，得到点A′，使得∠ADA′＝∠B，过点C作AD的平行线，交直线DA′于点E，连接AE．
①若BD＝2，求AD的长度；
②求AD•CE的最大值．
（2）如图②，当点D在BC的延长线上时，将点A绕点D按顺时针方向旋转，得到点A′，使得∠ADA′＝∠B，过点C作AD的平行线，交直线DA′于点E，连接AE．记△ABD的面积为S1，△ADE 的面积为S2，△CDE的面积为S3，若，求sin∠ADB的值．
2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．
【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
2．【分析】根据科学记数法的表示方法进行解题即可．
【解答】解：1260000＝1.26×106．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解决此题的关键．
3．【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：12÷2＝6，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm，
∴12位队员身高的中位数是＝179（cm），
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．【分析】利用同底数幂的运算、完全平方公式、积的乘方进行计算逐一判断即可．【解答】解：A．a•a＝a2，故本选项不符合题意；
B．（a+1）2＝a2+1+2a，故本选项不符合题意；
C．（2a）3＝8a3，故本选项不符合题意；
D．a2•2a3＝2a5，故本选项符合题意．
故选D．
【点评】本题主要考查完全平方公式、积的乘方及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．【分析】移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得：2x≥1+3，
合并同类项得：2x≥4，
系数化成1得：x≥2，
将解集在数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．6．【分析】先利用等腰直角三角形的性质可得∠EFG＝∠FEG＝45°，再利用角平分线的定义可得∠EFH ＝22.5°，然后利用平行线的性质可得∠AEF＝∠EFH＝22.5°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵△EFG是等腰直角三角形，∠G＝90°，
∴∠EFG＝∠FEG＝45°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠EFG＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFH＝22.5°，
∴∠AEH＝∠AEF+∠FEH＝67.5°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．7．【分析】设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论．
【解答】解：设小城的边长为x步，根据题意，
得，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意，列出方程是解题的关键．8．【分析】设⊙O与AD、AC分别相切于点G、H，连接OG、OH、OP、OB，连接AO并延长交CD于E，过点E作EF⊥AC于F，过点O作OK⊥AB于K，设ED＝EF＝a，则CE＝8﹣a，可证得△AOG∽△
AED，得出＝，即＝，求得AG＝2r，再运用勾股定理可得BP＝＝
＝2＝4．
＝2，故当r＝2时，BP
最小值
【解答】解：设⊙O与AD、AC分别相切于点G、H，连接OG、OH、OP、OB，连接AO并延长交CD 于E，
过点E作EF⊥AC于F，过点O作OK⊥AB于K，如图，
则∠AGO＝∠AHO＝∠CFE＝∠AFE＝∠BKO＝∠AKO＝90°，OG＝OH＝OP，
∵OG⊥AD，OH⊥AC，OG＝OH，
∴AO平分∠CAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，∠D＝∠BAD＝90°，
∴AC＝＝＝10，ED⊥AD，
∵AO平分∠CAD，ED⊥AD，EF⊥AC，
∴EF＝ED，
∵AE＝AE，
∴Rt△AED≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝AD＝6，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4，
设ED＝EF＝a，则CE＝8﹣a，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠ECF＝∠ACD，
∴△CEF∽△CAD，
∴＝＝，即＝，
∴a＝3，
∴DE＝EF＝3，CE＝5，
∴AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为r，则OG＝OH＝OP＝r，
∵∠AGO＝∠ADE＝90°，∠OAG＝∠EAD，
∴△AOG∽△AED，
∴＝，即＝，
∴AG＝2r，
∵∠AGO＝∠GAK＝∠AKO＝90°，
∴四边形AGOK是矩形，
∴OK＝AG＝2r，AK＝OG＝r，
∴BK＝AB﹣AK＝8﹣r，
∴OB2＝OK2+BK2＝（2r）2+（8﹣r）2＝5r2﹣16r+64，
∵BP是⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴BP＝＝＝2，
＝2＝4；
∴当r＝2时，BP
最小值
故选：D．
【点评】本题属于圆综合题，考查了角平分线的判定和性质，切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．【分析】利用内项之积等于外项之积求解．
【解答】解：∵x＝2y，
∴＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
10．【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11．【分析】先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．
【解答】解：，
①﹣②得，3y＝3，
解得y＝1，把y＝1代入①得，x+1＝3，
解得x＝2，
故此方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
12．【分析】根据等腰三角形的三线合一和面积公式解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，三角形的面积为2，
∴AD＝BC＝2，
∴BD＝1，
∴AB＝．
故答案为：．
【点评】此题考查三角形，关键是根据等腰三角形的三线合一和面积公式解答．
13．【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵1，2，3，5，8中，1，3，5是奇数，
∴任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知熟记随机事件的概率公式是解题的关键．
14．【分析】连接OF，由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝2，由切线的性质证明∠OFC＝90°，进而证明四边形OBCF是正方形，则OE＝OF＝OB＝BC＝2，求得OA＝AB﹣OB＝1，由cos∠
AOE＝＝，得∠AOE＝60°，则∠BOE＝120°，即可根据弧长公式求得＝，于是得到问
题的答案．
【解答】解：连接OF，则OE＝OF＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝2，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝AD＝2，
∵⊙O与边CD相切，切点为F，
∴DC⊥OF，
∴∠OFC＝90°，
∴四边形OBCF是正方形，
∴OE＝OF＝OB＝BC＝2，
∴OA＝AB﹣OB＝3﹣2＝1，
∵cos∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、切线的性质、正方形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．【分析】联立方程组求出交点坐标，再根据勾股定理计算OA长即可．
【解答】解：联立方程组得，解得，
∴A（，）
∴AO＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．16．【分析】过E作EH⊥CB交CB延长线于H，由等腰三角形的性质推出DE⊥AB，令DE＝4x，则AD
＝5x，由勾股定理求出AE＝＝3x，得到BE＝AE＝3x，由sin∠EBH＝＝，求出EH＝x，由勾股定理求出BH＝＝x，得到CH＝BC+BH＝x，于是求出tan∠BCE＝＝
．
【解答】解：过E作EH⊥CB交CB延长线于H，
∵BD＝AD，点E为边AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin A＝＝，
∴令DE＝4x，则AD＝5x，
∴AE＝＝3x，
∴BE＝AE＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5x，BC∥AD，
∴∠EBH＝∠A，
∴sin∠EBH＝＝，
∵BE＝3x，
∴EH＝x，
∴BH＝＝x，
∴CH＝BC+BH＝x，
∴tan∠BCE＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，关键是过E作EH⊥CB交CB延长线于H，构造直角三角形，由锐角的正弦求出EH＝x．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】先根据负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：
＝3﹣﹣2
＝．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及绝对值的性质是解题的关键．
18．【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：1﹣2x＝5（x+3），
整理得：1﹣2x＝5x+15，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+3）（1﹣2x）≠0，
故原方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．【分析】根据分式的乘法运算法则，进行约分计算，最后再通分算减法；将x的值代入化简后的式子求出结果即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当．
原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解是解题关键．20．【分析】（1）由作图得DB＝AC，DC＝AB，而CB＝BC，即可根据“SSS”证明△DCB≌△ABC；
（2）由DB＝AC，DC＝AB，证明四边形ABDC是平行四边形，则DC∥AB，求得∠ACD＝180°﹣∠A ＝110°．
【解答】（1）证明：由作图得DB＝AC，DC＝AB，
在△DCB和△ABC中，
，
∴△DCB≌△ABC（SSS）．
（2）解：∵DB＝AC，DC＝AB，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴DC∥AB，
∵∠A＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ACD的度数是110°．
【点评】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△DCB≌△ABC是解题的关键．
21．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林（S）的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林（S）的结果有1种，
∴恰好选中狮子林（S）的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
C S Z L
C（C，S）（C，Z）（C，L）
S（S，C）（S，Z）（S，L）
Z（Z，C）（Z，S）（Z，L）
L（L，C）（L，S）（L，Z）
共有12种等可能的结果，其中恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的结果有：（Z，L），（L，Z），共2种，
∴恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．【分析】（1）根据每周家务劳动时间在1～1.5h范围内的人数为4人，所占比例为8%，即可求解；
（2）由扇形统计图可知哪个范围内的人数就最多，用总数乘以该组所占比例可得人数．
（3）根据频数＝频率×总数可得该校八年级生每周家务劳动时间不少于2h的人数．
【解答】解：（1）样本容量为：4÷8%＝50，
故答案为：50；
（2）由扇形统计图可知睡眠时间在2～2.5h的人数最多，
这个范围内的人数为50×28%＝14（人）；
（3）∵每周家务劳动时间为不少于2h的所占比例为：28%+24%+12%＝64%，
∴该校八年级生每周家务劳动时间不少于2h的人数有900×64%＝576（人）．
【点评】本题考查读扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．【分析】（1）根据点C坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点B坐标即可；
（2）先求出线段AB的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（3，4），反比例函数的图象经过点C，
∴k＝12，OC＝5，
∴B（8，4），A（5，0），
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为：y＝，
∵A（5，0），B（8，4），
∴线段AB的中点坐标为（，2），
在反比例函数y＝中，当x＝时，y＝＝≠2，
∴点D不是边AB的中点，
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．24．【分析】（1）先利用平行四边形的判定，说明四边形ECGF是平行四边形，再利用平行四边形的性质
和平行线的性质得结论；
（2）延长GF交AD于点Q，过F作FP⊥AC．先证明四边形APFQ是矩形，说明AQ＝PF，AP＝QF，再利用直角三角形的边角间关系、勾股定理在Rt△DQF和Rt△PEF中求出AP、PE的长，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】证明：延长GF交AD于点Q，过F作FP⊥AC．
由题意知：MN⊥AB、AB⊥AC．
∴MN∥AC，∠A＝∠ABN＝90°．
（1）∵EF＝CG＝1.5m，FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形．
∴EC∥FG，
∵MN∥AC，
∴FG∥MN；
（2）解：∵AB⊥AC，FP⊥AC，AP∥CQ，
∴∠A＝∠AQF＝∠APF＝90°．
∴四边形AQFP是矩形．
∴AP＝QF，AQ＝PF．
在Rt△ACD中，
∵AD＝2m，CD＝4m．
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°．
∵FG到地面的距离为5m，即BQ＝5m，AB＝6m，
∴AQ＝PF＝1m．DQ＝1m．
在Rt△DQF中，
∵tan∠ADC＝tan60°＝＝，cos60°＝cos∠ADC＝＝，
∴DF＝2m，FQ＝AP＝≈1.732m．
在Rt△PEF中，
PE＝
＝
＝
≈1.118（m）．
∴AE＝AP﹣PE
≈1.732﹣1.118
＝0.614
≈0.61（m）
答：点E到点A的距离为0.61m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点是解决本题的关键．
25．【分析】（1）证明：连接BE，由AB为⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，得∠C＝∠AEB＝90°，BD⊥AB，则∠ABD＝90°，可证明∠D＝∠AFC＝∠BFD，则BF＝BD，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明点E为线段DF的中点；
（2）由＝cos∠D＝，得AD＝3BD，由⊙O的半径为3，得AB＝＝2BD＝6，则BF＝BD＝3，由＝tan∠AFC＝tan∠D＝＝2，得AC＝2CF，由勾股定理得（2CF）
2+（CF+3）2＝（6）2，求得CF＝，则AC＝．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，
∴∠C＝∠AEB＝90°，BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D+∠BAD＝90°，∠AFC+∠CAD＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠D＝∠AFC＝∠BFD，
∴BF＝BD，
∵BE⊥DF，
∴DE是等腰三角形BDF的底边DF上的中线，
∴点E为线段DF的中点．
（2）解：∵＝cos∠D＝，
∴AD＝3BD，
∵⊙O的半径为3，AB为⊙O的直径，
∴AB＝＝＝2BD＝6，
∴BF＝BD＝3，
∵∠D＝∠AFC，
∴＝tan∠AFC＝tan∠D＝＝＝2，
∴AC＝2CF，
∵AC2+BC2＝AB2，且BC＝CF+3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（2CF）2+（CF+3）2＝（6）2，
解得CF＝或CF＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴AC＝2×＝，
∴弦AC的长是．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）证明△AND≌△DMC（AAS），求出点D的坐标，进而求解；
（3）当BC为对角线时，由中点坐标公式和BD＝CD列出方程组，即可求解；当BD或BE为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）∵0＝﹣x2+（m﹣1）x+m，
∴x1＝﹣1，x2＝m，
∴点A（﹣1，0），点B（m，0），
∴OB＝m，
当x＝0时，y＝m，
∴点C（0，m），
∴OB＝OC＝m，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
故答案为（﹣1，0），45；
（2）S1﹣S2＝为定值，理由：
∵点D为△ABC的外心，∠ABC＝45°，
则∠ACD＝90°，则AD＝CD＝BD，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点D（x，y），
则CM＝x，DN＝y，AN＝x+1，DM＝m﹣y，
∵∠CDM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，
∴∠ADM＝∠DAN，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，DA＝DC，
∴△AND≌△DMC（AAS），
则AN＝DM，CM＝DN，
即x＝y且x+1＝m﹣y，
解得：x＝y＝（m﹣1），
则S2＝AB•DN＝（m+1）（m﹣1）＝（m2﹣1）；
∵△ACD为等腰直角三角形，
则S1＝AC2＝（m2+1），
则S1﹣S2＝为定值；
（3）由（2）知，点D（，），设点E（t，﹣t2+（m﹣1）t+m），
当BC为对角线时，
由中点坐标公式和BD＝CD得：
，解得：m＝2（不合题意的值已舍去）；当BD或BE为对角线时，
同理可得：或，
解得：m＝（不合题意的值已舍去）；
综上，m＝，
故答案为：．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，圆的基本知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．【分析】（1）①作AF⊥BC于F，作DG⊥AB于G，可证得△BDG∽△BAF，从而，从而得出DG＝，BG＝，进而求得AG，进一步得出结果；
②可证得△ABD∽△DEC，从而得出，从而AD•CE＝BD•CD＝BD•（12﹣BD）＝﹣（BD﹣6）2+36，从而当BD＝6时，（AD•BD）最大＝36；
（2）作AF⊥BD于F，设CD＝x，可得出AD2+82+（x+6）2＝x2+12x+100，S△ADE＝S△ACD，可证得△
CDE∽△DAB，从而＝，进而得出S△CDE＝•S△ABD，由
得出＝，求得x的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）①如图1，
作AF⊥BC于F，作DG⊥AB于G，
∴∠BGD＝∠AFB＝90°，
∵AB＝AC＝10，
∴BF＝CF＝BC＝6，
∴AF＝8，
∵∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BAF，
∴，
∴，
∴DG＝，BG＝，
∴AG＝AB﹣BG＝10﹣＝，
∴AD＝＝4；
②∵CE∥AD，
∴∠DEC＝∠ADA′，
∵∠ADA′＝∠B，
∴∠CED＝∠B，
∵∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B，∠ADB+∠CDE＝180°﹣∠ADA′，∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DEC，
∴，
∴AD•CE＝BD•CD＝BD•（12﹣BD）＝﹣（BD﹣6）2+36，
∴当BD＝6时，（AD•BD）最大＝36；
（2）如图2，
作AF⊥BD于F，设CD＝x，
∵DF＝CF+CD＝x+6，AF＝8，
∴AD2+82+（x+6）2＝x2+12x+100，
∵CE∥AD，
＝S△ACD，∠CED＝∠ADA′，∠ADB＝∠DCE，
∴S
△ADE
∵∠B＝∠ADA′，
∴∠CED＝∠B，
∴△CDE∽△DAB，
∴＝，
＝•S△ABD，
∴S
△CDE
∵，
∴＝，
∵，
∴＝，
∴x2＝38，x2＝﹣2（舍去），
∴CD＝38，DF＝38+6＝44，
∴AD＝＝20，
∴sin∠ADB＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是将条件转化。