费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理

费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗⽇中值定理，柯西中值定理
微分三⼤中值定理，罗尔中值定理，拉格朗⽇（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

我对拉格朗⽇中值定理的构造函数的构造思路，进⾏了⾃⼰的猜测，⽹上没有找到类似的猜测和研究
下⾯的费马定理可以看做是三⼤中值定理的引理
费马定理(fermat):设f(x)在其极值点x0处可导，则f′(x0)=0
*以下证明的前提，都是在(a,b)上可导，⽽不是[a,b]上可导，原因在于端点a,b两侧，[a,b]之外，未必可导，甚⾄未必有定义。

a,b的左右导数，未必等于另⼀侧导数。

即，a点左导数，不⼀定等于a点右导数
*拉格朗⽇中值定理，是罗尔中值定理的推⼴，罗尔中值定理是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。

柯西中值定理，是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗⽇中值定理。

证明：因为f(x)在x0点位极值点，故∃x0的邻域U(x0,δ)，∀x∈U，有f(0)⩾f(x)
在x0点的左右极限如下
左极限为limδ→0f(x0)−f(x0−δ)
δ⩾0
右极限为limδ→0f(x0+δ)−f(x0)
δ⩽0
因为f(x)在x0可导，所以左极限与右极限相等，故
0⩽limδ→0f(x0)−f(x0−δ)
δ=f′(x
0)=limδ→0
f(x0+δ)−f(x0)
δ⩾0
可得f′(x0)=0
罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),那么⾄少存在⼀证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最⼤值与最⼩值，分别⽤ M 和 m 表⽰，分两种情况讨论：
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最⼤值 M 与最⼩值 m ⾄少有⼀个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从⽽ξ是f(x)的极值点，⼜条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由
费马引理，可导f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，⼜由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

拉格朗⽇中值定理：设f在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在⼀点ξ\in (a,b),有\\
\quad\quad\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(ξ)
证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)
则g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导
且有g(a)=0,g(b)=0
根据罗尔定理，⾄少\exists ⼀点\xi 有g'(\xi)=0
即g'(\xi)=0
则有g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=0
即：f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}
证毕
拉格朗⽇中值定理
若f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则\exists \xi，有\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)
证明：构造辅助函数\quad F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)
则\quad F(a)=F(b)=0
由罗尔中值定理，\exists \xi,有F'(\xi)=0
即\quad f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0
即f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
柯西中值定理：
若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，那么\\
\exists \xi \in (a,b)，有\quad\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
证明：构造辅助函数F(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a))
则\quad F(a)=F(b)=0
由罗尔中值定理，可知\quad \exists \xi \in(a,b),有\\
F'(\xi)=0
即\quad F'(\xi)=(f(b)-f(a))g'(\xi)-(g(b)-g(a))f'(\xi)=0
即：\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\
柯西中值定理，是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗⽇中值定理。

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