静电场2(电场强度)

在远场点看带电体都将其视为点电荷。
36
例3 电荷均匀分布在一根长直细棒上，此 棒电荷线密度为。试计算距细棒垂直距离 为x的P点的场强。已知细棒两端和P点的连 线与X轴的夹角分别为1和2。
P
d
1
O L
q
2
37
解：取如图坐标系
取 x 处长为dx 的电荷元dq
dq dx
dq 1 dx dE 2 4 0 r 4 0 r 2 1
静电场
电荷 电 场 电荷
静电场: 静止电荷周围存在的电场 场 实物
物 质
2
二
电场强度
1 试验电荷
点电荷 电荷足够小 2 电场强度
F E q0
Q
q0
试验电荷
F
场源电荷
4
F E q0
定义: 单位正试验电荷所受的电场力 单位: N C , V m 和试验电荷无关
1 1
E E E q 4πε 0
q
l 2
+
2 xl 2 2 2 i ( x l 4)
A
q -
O
l 2
.
x
E
.
E
x
18
E
q 4πε 0
2 xl 2 2 2 i ( x l 4)
x l
E
31
讨论 （1） x R （2） x 0
Eo 0
qx E 32 22 E 4 πε ( 2 R R 2 ) 0 x q o 2 E R 4 πε0 x 2 2
x
（3） dE 0
dx
R
P
2 x R 2
x
o
x
x
32
例2 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆 盘，其电荷面密度为 . 求通过盘心且垂直 盘面的轴线上任意一点处的电场强度.
它们对试探电荷产生的电场力分别为 F1 、 F2 、F3 ……，试探电荷受到的合力为 F F1 F2 ......
10
Q1
r1 r2
F2
P
E2
F
E1
q0
E
Q2
F1
P 的合场强 F E F1 / qo F2 / qo ...... E1 E2 ...... q0
12
点电荷系在某点所产生的电场强度等 于各点电荷单独存在时所产生的电场在该 点的场强的矢量迭加。 场强叠加原理
表示为
Qi 1 E Ei r 2 eri 4πε0 i i i
r Qi 是第 i 个场源电荷，i 是第 i 个场源电荷与Ｐ的距 离， eri 是由 Qi 指向 P 点的单位矢量。

1
4 0 y 2 l 2 / 4 3 / 2

p

当 y l 时（远场区） ，
-
O l
.
+
x
1 p E 4 0 y 3
22
电荷连续分布的电场
将带电体看成是许多电荷元 dq 的集合， 每一 电荷元 dq 在 P 点产生的元场强为
1 dq dE e 2 r 4πε0 r
P 点的总场强
E 的大小为
2.24m E2
2m
E E1 E2 (0.9i 1.6 j ) N / C
E 0.92 1.62 1.9 N / C
y
q2
1m
E
E 和 x 轴的夹角
120.7
P
q1

E1
1.6 arctan 120.7 0.9 x
20
l 2 (y ) 4 q 1 E 4πε 0 2 l 2 2 (y ) 4
Ex E x E x 2E cos
y E
1 E 4πε 0
q l 2 (y ) 4 l
2 2
E
q
.
P
cos
2 2 y2 l / 4
1
r
y
-
O l
x
q2 在 P 点所激发场强的大小为
E2 9.0 109 2.0 109 ( 1.0 2 2.0 2 ) 2 3.6 N / C
15
E2 的矢量式为
E2 (3.6 cosi 3.6 sinj ) (3.2i 1.6 j ) N / C
dE
y
dEy
P
dE x
d
1 O
r

2
x
x dx
dE 的分量
dEx dE cos cosdx 2 4 0 r dEy dE sin sin dx 2 4 0 r
38
cosdx 2 4 0 r dEy sin dx 2 4 0 r
.
q
+
r
x
4 0 y 2 l 2 / 4 3 / 2 1 ql E i 3/ 2 2 2 4 0 y l / 4
Ex

ql



21
y E
1 ql E i 3/ 2 2 2 4 0 y l / 4


P . E E y r r q q
1 2
(1 x) 1 x

( 1)
2 k! ( 1) ( k 1) k ( )n k x x q E k k 0 k 0 k ! 2 !
x
2
( 1) ( k 1)
x
R
4 π ε0 x
27
c) 投影积分，将 dE 的分量值统一变量，分 别积分，得到 P 点合场强的分量值；
Ex = dEx Ey = dEy Ez = dEz
d) 将 P 点合场强的分量值进行正交合成， 求得合场强值，并求出合场强的方向。
E E E EZ
2 x 2 y 2
可利用 “对称性分析” 根据带电体的对称性， ， 分析某分量积分是否为零。
11
四
电场强度叠加原理
点电荷系的电场 Qi 1 E Ei r 2 ei 1 q0Qi 4πε0 i i i Fi ei 2 4πε0 ri Q1 e1 F Fi F r1 E33 i P e 2 r2 Q2 F2 E2 q0 r3 F Fi e3 E Q3 F E11 q0 q0 i
dq
+
整个带电体产生的场强
1 er E dE dq 2 4πε0 r
r
P
dE
23
1 dq dE e 2 r 4πε0 r
电荷体密度
dq ρdV
E
1 E dE 4πε0 dq dV dV
dq
+
er dq 2 r
R
o
x
P
x
33
解
σ q / πR
2
dq 2 π rdr
xrdr xdq dEx 2 2 32 2 2 32 4 πε0 ( x r ) 2ε0 ( x r )
E dE x
( x 2 r 2 )1/ 2
x (1 ) 2ε0 x 2 R2
R
o
r
1 2lq 1 2p i 3 3 4πε 0 x 4πε0 x
O
l 2
l li
q -
.
q
l 2
+
A
.
x
E
x
19
（2）轴线中垂线上一点的电场强度
E
E x Ex

y
Ey
1 E 4πε 0
q
2 2
P
E y
E
r
q
p ql
o
l
x E 和 E y 方向分量 相互抵消，x 方向分 q 量相互叠加
16
例2 电偶极子的电场强度
电偶极子：一对带等量异号的点电荷，拉 开距离 l， 如此构成的系统称为电偶极子。
电偶极子的轴 l
q -
q
l
+
电偶极矩(电矩) p ql
17
（1）轴线延长线上一点的电场强度 q 1 q 1 E i E i 2 2 4πε0 ( x l 2) 4πε0 ( x l 2) Nhomakorabeaq1
x
9
2m
P
14
解：q1 在 P 点所激发的场强
E1 q1 4 0 r1
9 2 9
y
1.0 10 9.0 10 2.0 2 2.3 N/C E1 2.3i N/C
q2 4 0 r2
2
q2
1m
2.24m E2
2m
E
q1

120.7
P
E1
13
例 1 在直角坐标系的原点（0，0）及离 原点 1.0m 的 y 轴上（0，l）处分别放置电荷 q1 1.0 109 C 和 q 2 2.0 10 9 C 的点电 量为 荷， x 轴上离原点为 2.0m 处 P 点的场强。 求
y
q2
1m
2.0 109 C
1.0 10 C
dEx
dE dE x
y dE y

由图可知
x d tan d cot , 2
dx d csc2 d
库仑/米 3
V
1 ρer dV 2 4πε0 r
r
P
dE
24
dq 电荷面密度 ds
dq σdS
E 1 σer dS 2 S 4 πε 0 r
dq
ds
库仑/米 2
+
r
P
dE
25
dE
1 dq e 2 r 4 πε0 r
dq 电荷线密度 dl
dr
x
P
x
34
讨论
x R
x E (1 ) 2ε0 x 2 R2 x 0 E 2 2 x R 2ε0
均匀带电无限大平面 所激发的电场与距离 x无关，称为匀强电 场，在平面两侧各点 场强大小相等，方向 都与平面相垂直。
无限大均匀带电平面外的电场
35
x R
x R E (1 ) {1 [1 ( )] } 2ε0 2ε0 x x 2 R2
dq dl
1 er E dE dq 2 4 πε0 r
dl
dl
库仑/米
1 er E dl 2 l 4 πε 0 r
r
P
dE
26
应用电场叠加求场强的过程： a) 取微元，写出微元所带电荷 dq 和所产 生的电场 dE 的大小，图示出方向 b) 建坐标， dE 向 将 dE 各坐标轴投影，得 dq r 到分量表达式； P + 1 dq dEx cosdE dE 4 πε 0 r 2 dEy cosdE dEz cosdE
P
8
Q 1 1 Qq0 E F ee 2 2 rr 44 ε0ε0r r ππ Q 0 ， E 与 r 反向，
q0 r EF P
Q0
与正试探电荷受力 同向
1 Q E 4 πε 0 r 2
E
+ -
9
四
电场强度叠加原理
点电荷系的电场
当空间存在多个点电荷Q1、Q2 、Q3…时， 这样的系统称为点电荷系
F 1 Qq0 er 2 4 πε0 r
Q0
q0 r
P
F
Q 1 1 Qq0 E F ee 2 2 rr 44 ε0ε0r r ππ
Q 0 ，E 与 r 同向， 与正试探电荷受力同向
1 Q E 2 4 πε0 r
E
+
q0 r
Q0
E F
q
R
o
r
x
dE '
E dE x
l l

dE
dl x 2 4 πε 0 r r
dE cosθ
dEx
dE
x
dq '
30
dl x E 2 4 πε 0 r r
λx 2 π R dl 3 0 4πε0 r
qx 4πε0 ( x 2 R 2 )3 2
rrrdl将半球面分割为无数半径不等与x轴垂直的细圆环图中阴影圆环所带电量在o点产生的电场强度为44cossinsincoscossin45点电荷电偶极子无限长带电线柱面柱体无限大带电面理想模型条件带电体p场点46点电荷球面无限大平板场叠加47点电荷直导线柱面柱体大平板基本概念
§ 1-3 电场强度
一
28
例1 正电荷q均匀分布在半径为R的圆环 上. 计算通过环心点O并垂直圆环平面的轴 线上任一点P处的电场强度.
R
P
x
o
x
x
29
q 解 dq dl 2 πR dq dE dEx dE
1 dl dE 4πε0 r 2
由对称性可知
E dE 0 l
电荷q受电场力: F qE
Q
q0
试验电荷
F
场源电荷
5
二
电场强度
1 试验电荷
点电荷 电荷足够小 2 电场强度
F E q0
Q
q0
试验电荷
F
场源电荷
6
三
点电荷电场强度
空间O点有一场源电荷Q(O点称为源点)， P点为待测电场的点（称为场点），矢量 r 由源点O指向场点P，er 为其单位矢量。 为测P点场强， 在该点放试探电荷qo， qo受到的电场力为