【配套K12】高三数学专题复习 专题三 数列 理

专题三 数 列
真题体验·引领卷
一、选择题
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63
D ．84
2．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，
S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )
A ．2
B ．－2 C.12
D ．－12
3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0
4．(2015·北京高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0
5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
6．(2015·福建高考)若a ，b 是函数f (x )＝x 2
－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，
b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于
( ) A ．9 B ．5 C ．4 D ．2
二、填空题
7．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．
8．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．
9．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________． 三、解答题
10．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2
n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和．
11．(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，
a 2＋1，a 3成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．
12．(2015·天津高考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *
，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1
，n ∈N *
，求数列{b n }的前n 项和．
专题三 数 列 经典模拟·演练卷
1．(2015·济南模拟)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则
a 11＋a 12＋a 13＝( )
A ．75
B ．90
C ．105
D ．120
2．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *
)，且满足a 4a 6＝14，a 7
＝1
8
，则S 4的值为( ) A ．15 B ．14 C ．12 D ．8
3．(2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12
a 6－a 8
的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
4．(2015·效实中学二模)已知数列{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和
S n ＝3n .若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 的值为( )
A ．26
B ．27
C ．28
D ．29
5．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *
)，则S 6＝( ) A ．44
B ．45
C.13
·(46
－1) D.13
·(45
－1) 6．(2015·西安质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑n
k ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）
2 B.3n （n ＋1）
2 C.
n （5n ＋1）
2
D.
（n ＋3）（n ＋5）
2
二、填空题
7．(2015·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＝3
4，a 4＋a 5＝6，则S 6＝
________．
8．(2015·潍坊调研)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10
＝2，
则S 2 015的值为________．
9．(2015·台州联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.
10．(2015·长沙调研)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n
2
，n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．
11．(2015·桐乡高级中学模拟)已知数列{a n}与{b n}满足：a1＋a2＋a3＋…＋a n＝log2b n(n∈N*)，且数列{a n}为等差数列，a1＝2，b3＝64b2.
(1)求a n与b n；
(2)设c n＝(a n＋n＋1)·2a n－2，求数列{c n}的前n项和T n.
12．(2015·杭州七校大联考)若{a n}是各项均不为零的等差数列，公差为d，S n为其前n项
和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*.数列{b n}满足b n＝
1
a n·a n＋1
，T n为数列{b n}的前n项和．
(1)求a n和T n；
(2)是否存在正整数m、n(1<m<n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
专题三数列
专题过关·提升卷
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题
1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是数列“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9等于( ) A ．32 B ．24 C ．16
D ．8
3．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2
－10x ＋9＝0的两个根，则S 6等于( ) A ．120 B ．254 C ．364
D ．128
4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若log 2T 2m －1＝9，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．(2015·太原诊断)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1
＋a (n ∈N *
)，则实数a 的值是
( ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
6．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *
)的直线的一个方向向量是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12
7．(2015·长沙模拟)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *
都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则
1
a 1
＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012
等于( )
A.4 0242 013
B.4 018
2 012 C.2 0102 011
D.
2 009
2 010
8．(2015·郑州质检)设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1a n ＋a n ＋1是
等差数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 013＋1a 2 014＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a 2 014＋1a 2 015＝( )
A ．2 012
B ．2 013
C ．4 024
D ．4 026
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题
9．各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝5S 2，a 2＝2且S k ＝31，则正整数k 的值为________．
10．(2015·衡水联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2，且n ∈N *
)，则数
列{a n }的通项公式为________．
11．(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4
n
的最小值为________．
12．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
13．(2015·乐清联考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1＋ln
a 2＋…＋ln a 20＝________．
14．(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 前10
项的和为________．
15．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝3，a 2＝2，且满足
a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．
三、解答题
16．(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7＝77，且a 1，a 3，a 11成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
17．(2015·金华模拟)已知等比数列{a n }满足：a n >0，a 1＝5，S n 为其前n 项和，且20S 1，S 3，7S 2成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 的前n 项和T n .
18．(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n
＋3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .
19．(2015·杭州外国语学校模拟)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝
n ＋13
2
，其中S n 为数列{b n }的前
n 项和．
(1)求证：数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
b n －12是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2)如果对任意n ∈N *
，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．
20．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝1－2S n ；将函数y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }． (1)求{b n }与{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ·b n (n ∈N *
)，T n 为数列{c n }的前n 项和．若a 2
－2a >4T n 恒成立，试求实数a 的取值范围．
专题三 数 列 真题体验·引领卷
1．B [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21.得3(1＋q 2
＋q 4
)＝21.解得q 2
＝2或q 2
＝－3(舍)．于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2
(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.]
2．D [∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 2
2＝S 1·S 4，又S n 为公差为－1的等差数列的前n 项和．从
而(a 1＋a 1－1)2
＝a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a 1－12×4×3，解得a 1＝－12.]
3．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2
＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )(d ≠0)．整理得a 1＝－53d ，
∴a 1d ＝－53d 2<0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－20
3d ＋6d ＝
－2d 3.∴dS 4＝－2d
2
3
<0.] 4．C [若数列{a n }是递减的等差数列，则A ，B 不一定成立，如果数列{a n }的公差d ＝0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝－d 2
＝0，D 不成立．对于选项C.由a 2>a 1>0，得公差d >0.故a 2＝a 1＋a 3
2
>a 1a 3
(a 1≠a 3)，则选项C 正确．]
5．C [由题设，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3.因为数列{a n }为等差数列．所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1.由S m ＝m （a 1＋a m ）
2
＝0，得m (a 1＋2)＝0，则a 1＝－2.又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，
解得m ＝5.]
6．A [依题意知，a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0.则a ，b ，－2这三个数的6种排序中成等差数列的情况有：a ，b ，－2；－2，b ，a ；b ，a ，－2；－2，a ，b . 三个数成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .
∵⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，故p ＋q ＝9.]
7．6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是以公比q ＝2，首项a 1＝2的等比数列．则S n ＝2（1－2n
）
1－2＝126，解得n ＝6.]
8．3
n －1
[由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列．所以4S 2＝3S 1＋S 3，即3(S 2－S 1)＝S 3－S 2.∴3a 2＝
a 3，则等比数列{a n }的公比q ＝3.故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝3n －1.]
9．－1
n
[由题意，得S 1＝a 1＝－1.∵a n ＋1＝S n S n ＋1，
∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，则S n ≠0， 从而
1
S n ＋1－1
S n
＝－1，
故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以1
S 1
＝－1为首项，－1为公差的等差数列，
因此1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n
.]
10．解 (1)由a 2
n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2
n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2
n ＋1－a 2
n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，
2(a n ＋1＋a n )＝a 2
n ＋1－a 2
n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.
又a 2
1＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知
b n ＝1
a n a n ＋1＝1
（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
2n ＋1－12n ＋3.
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n
3（2n ＋3）
.
11．(1)解 (1)由S n ＝2a n －a 1，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，
又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，
所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n
.
(2)由(1)得1a n ＝1
2
n ，
所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－1
2
n .
由|T n －1|<
11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12－1<11 000
，即2n >1 000， 因为29
＝512<1 000<1 024＝210
， 所以n ≥10，
于是，使|T n －1|<1
1 000成立的n 的最小值为10.
12．解 (1)由已知有2(a 3＋a 4)＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)
即a 4－a 2＝a 5－a 3.
因此a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2.
由a 3＝a 1q ，且a 1＝1，得q ＝2.
当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2
k －1＝2n －12； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2. 所以，{a n }的通项公式为a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，
2n 2，n 为偶数. (2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1
. 设{b n }前n 项和为S n ，
则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12
n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：
12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12
－n 2n ＝2－22n －n 2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋2
2n －1，n ∈N *
. 经典模拟·演练卷
1．C [设数列{a n }的公差为d ，依题设知d >0，则a 3>a 1，
∵a 1＋a 2＋a 3＝15，则3a 2＝15，a 2＝5，
从而⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.解之得a 1＝2，a 3＝8. 所以公差d ＝a 3－a 12＝3.
故a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋90＝105.]
2．A [设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，a n >0.
由于a 4a 6＝14，a 7＝18
，
则a 3＝a 4a 6a 7＝2，q 4＝a 7a 3＝116，所以q ＝12
. 于是a 1＝a 3
q 2＝8.
故S 4＝a 1（1－q 4
）1－q ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.] 3．B [设等比数列{a n }的公比为q .由于a 3＝a 1q 2
＝2.
∴a 4a 6＝a 21q 8＝(a 1q 2)2·q 4＝4q 4＝16.则q 4＝4， 故a 10－a 12a 6－a 8＝q 4（a 6－a 8）a 6－a 8
＝q 4＝4.] 4．D [由等差数列的性质，a 9＝a 3＋6d .∴17＝5＋6d ，得d ＝2，
因此a m ＝a 3＋2(m －3)＝2m －1.
又数列{b n }的前n 项和S n ＝3n
，
∴b 1＝S 1＝3，b 4＝S 4－S 3＝34－33＝54.
由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，则m ＝29.]
5．B [由a 1＝1，a 2＝3a 1，得a 2＝3，
又a n ＋1＝3S n ，知a n ＝3S n －1(n ≥2)，
∴a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)．
因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），3·4n －2 （n ≥2）， 故S 6＝1＋3（1－45
）1－4
＝45.] 6．B [当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，
当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：
3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差
数列，∴∑n k ＝1
a 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2
，选B.] 7.634 [∵a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6， q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，从而q ＝2，可求a 1＝14
. 故S 6＝14（1－26）1－2＝634
.]
8．－2 015 [设数列{a n }的公差为d ，则S n n ＝a 1＋
n －12d . 由S 1212－S 1010＝2，得⎝
⎛⎭⎪⎫a 1＋11d 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋9d 2＝2. 所以d ＝2，
因此S 2 015＝2 015a 1＋2 015×2 0142
d ＝－2 015.] 9．2n －1 [根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，
由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，
所以q >1且a 1＝
1q －1， ∴a 3＝a 1q 2＝q 2
q －1＝（q －1）2＋2（q －1）＋1q －1
＝q －1＋1q －1＋2≥2（q －1）·1q －1＋2＝4， 当且仅当q ＝2时取得等号，
因此a n ＝a 1q n －1
＝q n －1
q －1＝2n －1.] 10．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）
2＝n .
由于n ＝1时，a 1＝1适合上式，
故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n
n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，
则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．
记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则
A ＝2＋22＋23＋…＋22n ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2.
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ，
故数列{b n }的前2n 项和T n ＝22n ＋1＋n －2.
11．解 (1)由题设，得a 1＋a 2＋a 3＝log 2b 3，①
a 1＋a 2＝log 2
b 2，② ①－②得，a 3＝log 2b 3b 2
＝log 264＝6.
又a 1＝2，所以公差d ＝2，因此a n ＝2＋2(n －1)＝2n .
又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 2b n .
所以n （2＋2n ）2＝log 2b n ，故b n ＝2
n (n ＋1)． (2)由题意，得c n ＝(3n ＋1)4
n －1， 则T n ＝4＋7·4＋10·42＋…＋(3n ＋1)·4
n －1，③ 4T n ＝4·4＋7·42＋…＋(3n －2)·4
n －1＋(3n ＋1)·4n ，④ 由③－④，得－3T n ＝4＋3(4＋42＋…＋4
n －1)－(3n ＋1)4n ＝4＋3·4（1－4n －1）1－4
－(3n ＋1)4n ＝－3n ·4n ， 所以T n ＝n ·4n (n ∈N *)．
12．解 (1)∵a 2n ＝S 2n －1(n ∈N *)，a n ≠0.
令n ＝1，得a 1＝1；令n ＝2，得a 2＝3，
∴等差数列{a n }的公差d ＝2.
从而a n ＝2n －1，b n ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， 于是T n ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1
. (2)假设存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．
则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13·n 2n ＋1
，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2>0， ∴－2m 2＋4m ＋1>0，解得1－
62<m <1＋62， 由于m ∈N *，m >1，得m ＝2，此时n ＝12.
故存在正整数m ，n ，当且仅当m ＝2，n ＝12时，满足T 1，T m ，T n 成等比数列．
专题过关·提升卷
1．D [当a 1<0，q >1时，数列{a n }是递减数列．当{a n }为递增数列时，a 1<0，0<q <1或a 1>0，q >1.因此，“q >1”是{a n }为递增数列的既不充分也不必要条件．]
2．C [设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，因为a 5＝8，S 3＝6，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝8，3a 1
＋3d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2. 所以a 9＝a 1＋8d ＝8×2＝16.]
3．C [因为a 1，a 3是方程x
2－10x ＋9＝0的两个根，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1·a 3＝9，又{a n }是递增数列，
所以a 1＝1，a 3＝9，所以q ＝3，S 6＝1－361－3
＝364.] 4．B [由等比数列的性质，a m ＋1·a m －1＝a 2m ，
∴a 2m ＝2a m (a m ≠0)，从而a m ＝2，
因此T 2m －1＝a 1·a 2·a 3·…·a 2m －1＝a 2m －1m
＝22m －1， 所以log 2T 2m －1＝log 22
2m －1＝2m －1＝9，则m ＝5.] 5．A [由S n ＝3n ＋1＋a ，则S n －1＝3n ＋a .
∴a n ＝S n －S n －1＝2·3n (n ≥2，n ∈N *)．
∵a 1＝S 1＝9＋a ，
又数列{a n }为等比数列，
因此a 1应满足a n ＝2·3n
，即a 1＝6.
所以9＋a ＝6，∴a ＝－3.]
6．A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得：
⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.
则P (n ，4n －1)，Q (n ＋2，4n ＋7)，
因此过点P 、Q 的直线的一个方向向量坐标PQ →
＝(2，8)．
∴与PQ →
共线的一个方向向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.] 7．A [令m ＝1得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，
于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，
上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，
所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
n （n ＋1）2， 因此1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 013＝4 0242 013
.]
8．D [因为⎩⎨
⎧⎭⎬⎫1a n ＋a n ＋1是等差数列，则1a 1＋a 2＋1a 3＋a 4＝2a 2＋a 3， 又{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，
∴11＋q ＋1q 2＋q 3＝2·1q ＋q 2
⇒q ＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为1的常数列，则a n ＝1.
故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝4 026.] 9．5 [由S 4＝5S 2，得a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，
∴q 2(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，由于a 1＋a 2≠0，则q ＝2.
又a 2＝2a 1＝2.知a 1＝1.
∴S k ＝1·（1－2k ）1－2
＝31，解得k ＝5.] 10．a n ＝n ＋2
3n [由a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，得3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)． ∴数列{3n a n }是以3为首项，公差为1的等差数列．
因此3n a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋2
3n .]
11.32
[设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)． 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，则q ＝2. 又a m ·a n ＝4a 1，即a m ·a n ＝16a 21，
∴a 21·2m －1·2n －1＝16a 21，2m ＋n －2＝16.
则m ＋n ＝6，即16
(m ＋n )＝1. 故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝16
(5＋4)＝32， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2，n ＝4时，上式等号成立．
因此1m ＋4n 的最小值为32
.] 12．5 [设数列的首项为a 1，由等差数列与中位数定义，则a 1＋2 015＝2×1 010，∴a 1＝
5.]
13．50 [∵a 10a 11＋a 9a 12＝2a 1a 20＝2e 5
，
∴a 1·a 20＝e 5，
则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝
ln(a 1·a 20)10＝ln e 50＝50.]
14.2011
[∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，
将上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n .
∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
n （n ＋1）2(n ≥2)， 又a 1＝1适合上式，
因此a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *
)， 令b n ＝1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， 故S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2011
.] 15．285 [由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知，
当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.
所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 29为常数列；a 2，a 4，a 6，…，a 30是公差为2的等差数列．又a 1＝3，a 2＝2，
因此S 30＝15×3＋a 2＋a 302×15＝45＋2＋302
×15＝285.] 16．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
由S 7＝7a 4＝77，得a 4＝11，
∴a 1＋3d ＝11，①
因为a 1，a 3，a 11成等比数列，
所以a 23＝a 1a 11，整理得2d 2＝3a 1d ，又因d ≠0.
所以2d ＝3a 1②
联立①，②解得a 1＝2，d ＝3.
所以{a n }的通项公式a n ＝3n －1.
(2)因为b n ＝2a n ，
所以b n ＝23n －1＝12
·8n ， 所以数列{b n }是以4为首项，8为公比的等比数列，
由等比数列前n 项和公式得，
T n ＝4（1－8n ）1－8＝23n ＋2－47
. 17．解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)．
∵20S 1，S 3，7S 2成等差数列，
∴2S 3＝20S 1＋7S 2.
则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝20a 1＋7(a 1＋a 1q )．
化简得2q 2－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－52
. 由q >0.舍去q ＝－52
. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q
n －1＝5n . (2)由(1)知，a 2n ＋2＝52n ＋2，则log 5a 2n ＋2＝2n ＋2.
因此b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2
＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)．
∴1b n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2
， ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）
. 18．解 (1)∵2S n ＝3n ＋3，①
∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝3＋3，∴a 1＝3.
当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3.②
则①－②得2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3
n －1，则a n ＝3n －1.
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13
， 当n ≥2时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .
所以T 1＝b 1＝13
； 当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13
＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]，
所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]，
两式相减，得2T n ＝23
＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝23＋1－31－n 1－3
－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ， 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n . 19．解 (1)对于任意n ∈N *，S n ＋b n ＝n ＋132①
S n ＋1＋b n ＋1＝（n ＋1）＋132
② ②－①得b n ＋1＝12b n ＋14
， 所以b n ＋1－12＝12⎝
⎛⎭⎪⎫b n －12 又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝72
. 所以数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列， b n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，b n ＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12. (2)因为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12
所以S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋12＋…＋12＋n 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12
＋n 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋n 2. 因为不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立， 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2（n ＋1）－72n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2
n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，
当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，c n 为单调递增数列，
116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332
， 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332
. 20．解 (1)由b n ＝1－2S n ，令n ＝1，
则b 1＝1－2S 1＝1－2b 1，∴b 1＝13
. 又当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1，
∴b n －b n －1＝(1－2S n )－(1－2S n －1)＝－2b n .
因此3b n ＝b n －1(n ≥2，n ∈N *)，
∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比为q ＝13
的等比数列． 所以b n ＝b 1q n －1＝13n . 令y ＝sin πx ＝0，x ∈(0，＋∞)，得πx ＝n π(n ∈N *)，
∴x ＝n (n ∈N *)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列． 于是数列{a n }的通项公式a n ＝n .
(2)由(1)知，c n ＝a n ·b n ＝n
3n ， 则T n ＝13＋232＋333＋…＋n 3n ① 所以13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3
n ＋1② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＋1，于是T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n <34
， 要使a 2－2a >4T n 恒成立，
则a 2－2a ≥3.解之得a ≥3或a ≤－1，
所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。