2019年高中数学人教版必修2课件：4.1.2圆的一般方程(共23张PPT)

由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E, a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
1.下列方程表示什么图形？ 圆心为（1、-2）
（1）x2+y2-2x+4y+1=0； 半径为2的圆 （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； 点（1、2）
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
（1，-2） 2 （-2，2） 5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) （-a，2） a
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x 2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
一、圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
（1）圆心
( - D , - E ), 半径 22
1 2
D 2 + E 2 - 4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
各自特点与 联系
②没有xy这样的二次项
圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
ïì x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 í ïî D 2 + E 2 - 4 F 0
2、求圆的方程两种方法： (1)几何法； (2)待定系数法。
3、求轨迹方程的常用方法： (1)直接法； (2)相关点法。
解：设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0）
由于点B的坐标是（4，3），且点M是线段AB的中点，
所以 x =
x0 + 4， y =
2
y0 + 3 2
于是有 x0 = 2 x - 4， y0 = 2 y - 3 ①
因为点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，
所以点A的坐标满足方程（x+1）2+y2=4
(C )a
=
1 2
(D)a 1 2
D
二、圆的方程的求法
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，
并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 解：设所求圆的标准方程为：
待定系数法
（x-a）2+（y-b）2=r2 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
ì（a）2+（b）2=r2 íï（1-a）2+（1-b）2=r2 îï（4-a）2+（2-b）2=r2
（3）x2+y2-2x+4y+6=0. 不存在
2.形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程的曲线是不是圆？
将 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
左边配方，得
(x+
D 2
2
) +(y+
E 2
2
)=
D
2+
E
4
2 - 4F
（1）当 D2+E2-4F>0
时,
它表示以
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点距离
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
注意:用待定系数法求圆的方程时,要根据条件恰当选择圆 的方程形式:
①若知道涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程求解. ②若已知三点求圆的方程,我们一般采用圆的一般方程求解.
【变式探究】 试判断A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－ 5)，D(4,3)四点是否在同一圆上． 【分析】 先求过A，B，C三点的圆的方程，再 把D代入圆的方程，看是否成立即可．
练习2
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
半径为4,则D,E,F分别等于
D
( A)4,-6,3
(B) - 4,6,3
(C ) - 4,6,-3
( D)4,-6,-3
2. x2+y2-2ax-y+a=0 表示圆，则a的取值范围是
( A)a 1 2
(B)a 1 2
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以 r = D2 + E2 - 4F 2
为半径的圆;
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点 (- D ,- E )；
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
【变式探究2】 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)
距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出
曲线.
课本P124 B组 T3
解：设(x, y)是所求曲线上的点，则由题意可得：
(x - 0)2 + ( y - 0)2 = 1 (x - 3)2 + ( y - 0)2 2 两边平方化简得：
(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明 显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程， 代数特征明显．
位置关系 点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内
代数关系
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
所求圆的方程为：
ì a=4
解得
ï í
b=-3
ï î
r=5
（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方
程，并求出这个圆的一般方程为：
x2 + y2 +Dx+Ey+F =0(D2 +E2 -4F 0)
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
y M. (x,y)
x2 + y2 + 2x - 3 = 0 62 - 4 (-9) 0 该曲线为圆.
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
直接法
规律总结：求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步 骤如下：
(2)相关点法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的
ì F=0
ï í
D+E+F+2=0
ì F=0 解得íï D=-8
ï î
4D+2E+F+20=0
ï î
E=6
所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法三：几何方法
找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的所
在的方程．具体步骤如下：
①设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点Q相关的动点 P(x0，y0)； ②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0 (即用x，y表示出来)； ③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，y) 满足的关系式即为所求的轨迹方程．
练习1、判断下列方程能否表示圆的方程,若 能写出圆心与半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0
是 圆心（1，-2）半径3 是 圆心（3，-1）半径 10
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
【解】设A，B，C三点所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 把A，B，C三点的坐标分别代入圆的方程，得
∴过A，B，C三点的圆的方程是x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 将D(4,3)代入方程， 适合。 故A，B，C，D四点在同一圆上．
三、与圆有关的轨迹问题
例2、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在 圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
一般方程
配方
展开
标准方程
圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件:
1、A＝C ≠ 0 2、B=0
3、 D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程 表示圆的一般方程
规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤是： 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征， 即①x2与y2的系数相等； ②不含xy项； 当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆， 此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零， 二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可．
所在的方程．具体步骤如下：
①设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点Q相关的动点P(x0，y0)；
②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示
出来)；
③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，
y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．
小结
1、 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
§ 4.1.2 圆的一般方程
.
学习目标
1．掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准 方程与一般方程的互化，理解圆的一般方程与
标准方程的联系。（重点）
2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。 3．进一步掌握配方法和待定系数法。
复习
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
即（x0+1）2+y02=4 ②
把①代入②得 (2 x - 4 + 1) 2 + (2 y - 3) 2 = 4 整理得 ( x - 3 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 1
相关点法
2
2
所以，点M的轨迹方程为 ( x - 3 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 1
2
2
【规律总结】相关点法（代点法）求轨迹方程：