曾谨严量子力学习题解答2

已知： ϕ ( x,0 ) =
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2 1 1 ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ ⎡ϕ1 ( x, t ) + ϕ 2 ( x, t ) ⎤ = 则有：ϕ ( x, t ) = ⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2 (2)求 x (t ) = ?
⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ a sin ⎜ − + ⎛ nπ pa ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ i⎜ − ⎟ ⎪ n +1 ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ 2 2h ⎠ ⎪ ⎝ = π h e ⎝ 2 2h ⎠ ⎨ + ( −1) nπ pa nπ pa ⎬ 2i ⎪ ⎪ − + 2 2h 2 2h ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
3. 《曾 P.163-5》 一维无限深势阱（如右图）中的粒子，设处于 ϕ n ( x ) 态。求其动量分布概率。当 n >> 1 时， 与经典粒子运动比较。 解：利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
V ( x)
0
a
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
∗
5π 2 h 2 5 1 = = E1 = ( E1 + E2 ) 2ma 2 2 2
2 （4）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H 2ϕ ( x )dx
2 −∞
+∞
=∫
+∞
−∞ a
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H 2 ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
1.《曾 P.73-5》 设粒子在势场 V (r ) 中运动。（a）证明其能量平均值为
r
⎡ h2 ⎤ 3 3 ∗ ∗ E = ∫ d xW = ∫ d ⎢ ∇ϕ ⋅ ∇ϕ + ϕ Vϕ ⎥ ⎣ 2m ⎦
W 称为能量密度。
∗ 3 提示：利用归一化条件 ϕ ϕd x = 1 对 ϕ 在
∫
r → ∞ 处的行为的限制，
x ( t ) = ∫ ϕ ∗ ( x, t ) xϕ ( x, t ) dx
−∞
+∞
+∞
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) eiE1t / h + ϕ 2 ( x ) eiE2t / h ⎤ ⋅ x ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ dx =∫ ⎦ ⎦ −∞ 2⎣ 2⎣ ( E − E )t ( E − E )t i 2 1 ⎤ −i 2 1 1 +∞ ⎡ h = ∫ ⎢| ϕ1 ( x ) |2 + | ϕ 2 ( x ) |2 +ϕ1 ( x ) ϕ 2 ( x ) e + ϕ1 ( x ) ϕ 2 ( x ) e h ⎥dx 2 −∞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ a a ( E2 − E1 ) t ⎤ dx 1 ⎡ +∞ 2 2 = ⎢ ∫ | ϕ1 ( x ) | dx + ∫ | ϕ 2 ( x ) | dx + 2 ∫ ϕ1 ( x ) ϕ 2 ( x ) cos ⎥ 0 0 2 ⎣ −∞ h ⎦
3
(
∗
)
∗
3 5 − −ε ⎛ ⎛ − 3 −ε ⎞ r 2 3 ⎞ − 2 −ε 2 ⎜ ∇r 2 ⎟ ⋅ n r |r →∞ = 4πr 2 ⋅ ⎜ − − ε ⎟r ⋅ r |r → ∞ = 4πr ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ 3 ⎞ = 4π ⎜ − − ε ⎟ ⋅ r − 2− 2ε |r →∞ = 0 ⎝ 2 ⎠ 3 − −ε 2
ϕ → r −3 2−ε (ε > 0). 即
（b）证明能量守恒公式
r ∂W +∇⋅S = 0 ∂t
其中
r ∂ϕ h 2 ⎛ ∂ϕ ∗ ∗⎞ ⎜ S =− ⎜ ∂t ∇ϕ + ∂t ∇ϕ ⎟ ⎟ 2m ⎝ ⎠
（aபைடு நூலகம்证明：
h2 2 H =− ∇ +V 2m
（能量密度）
E = ∫ d 3 xW = ∫ d 3 xϕ ∗ Hϕ
（3）
利用薛定鄂方程 ⎤ ∂ϕ ⎡ h 2 2 ih = ⎢− ∇ + V ⎥ϕ ∂t ⎣ 2m ⎦ 取其共轭，可得：
(4)
⎤ h2 2 ∂ϕ ∗ ∗⎡ − ih = ϕ ⎢− ∇ +V ⎥ ∂t ⎦ ⎣ 2m
将⑷、⑸代入⑶中,有:
(5)
r ∂ϕ ∗ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∗ ⎞ ∂ϕ ∂W ⎟ +∇⋅S = ⎜ ih ⎟ + ⎜ − ih ⎜ ⎟ ∂t = 0 ∂t ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ∂t
∂ϕ ∗ ∂ϕ h 2 ⎡ ∂ϕ ∗ 2 ∂ϕ 2 ∗ ⎤ ∗ = − ∇ϕ+ ∇ϕ ⎥ Vϕ + ϕ V ⎢ ∂t ∂t 2m ⎣ ∂t ∂t ⎦ ∂ϕ ∗ = ∂t ⎡ h2 2 ⎤ ⎤ ∂ϕ h2 2 ∗⎡ − ∇ + V ⎥ϕ + ϕ ⎢− ∇ +V ⎥ ⎢ ⎣ 2m ⎦ ⎣ 2m ⎦ ∂t
令 F ( p) =
sin ( pa 2h ) ，则上式变为： pa 2h
a nπ h ⎞ nπ h ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ nπ pa ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ n +1 ⎛ ϕ n ( p ) = π h exp ⎢i ⎜ − × ⎢F ⎜ p − + ( −1) F ⎜ p + ⎟⎥ ⎟ ⎟ a ⎠ a ⎠⎥ 2i ⎝ 2 2h ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎣ ⎦ 因此，其动量分布概率为：
= a 16a − 2 cos ω 21t 2 9π
（其中 ω 21 =
E2 − E1 h
）
（3）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H ϕ ( x )dx
−∞ +∞
+∞
1 1 =∫ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ 2 2 1 a⎡ 2 2 2π x ⎤ ⎛ h2 d 2 ⎞ ⎡ 2 2 2π x ⎤ πx πx sin sin sin sin = ∫ ⎢ + + ⎥⎜− ⎥ dx 2 ⎟⎢ 0 2 ⎣ a a a a ⎦ ⎝ 2m dx ⎠ ⎣ a a a a ⎦ 2π x ⎞⎛ π x 2π x ⎞ π 2 h2 a ⎛ π x sin = + sin + 4sin ⎟⎜ sin ⎟ dx 3 ∫0 ⎜ 2ma a a ⎠⎝ a a ⎠ ⎝
a 2 a 2 ( E2 − E1 ) t dx ⎤ 1⎡ a2 2πx πx 2π x 2 2π x = ⎢ ∫ sin dx + ∫ sin dx + 2∫ sin sin cos ⎥ 0 a 0 a 0 a h a a a a 2⎣ ⎦
( E2 − E1 ) t ⎤ 1 ⎡ a a 32a = ⎢ + − 2 cos ⎥ h 2 ⎣ 2 2 9π ⎦
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
π 2h2
2ma 2
（1）求
ϕ ( x, t ) = ?
ϕ 2 ( x , t ) = ϕ 2 ( x ) e − iE t / h
2
Q φ ( x , t ) = φ ( x ) e − iEt / h
∴ ϕ1 ( x, t ) = ϕ1 ( x ) e − iE1t / h ,
∫
a
0
π p π p ⎡ i⎛ na − h ⎞ x − i⎛ na + h ⎞ x ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −e ⎢e ⎥dx ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎡ i⎛ nπ − pa ⎞ ⎤ pa ⎞ ⎛ − i ⎜ nπ + ⎟ ⎢ e ⎜ h ⎟ − 1 e ⎝ h ⎠ − 1⎥ ⎝ ⎠ 1 1 ⎢ ⎥ = + 2i π ah ⎢ ⎛ nπ p ⎞ ⎛ nπ p ⎞ ⎥ − + ⎟ i i⎜ ⎢ ⎜ a h⎟ ⎠ ⎝ a h⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎦ ⎧ ⎫ pa ⎞ ⎛ ⎪ ⎡ i⎛ nπ − pa ⎞ ⎤ − i ⎜ nπ + ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎪ a a ⎪ ⎪ h ⎠ h ⎠ ⎝ ⎝ = − 1⎥ + − 1⎬ e ⎢e ⎨ pa ⎞ ⎢ 2i π ah ⎪ ⎛ ⎥ i ⎛ nπ + pa ⎞ ⎪ ⎣ ⎦ ⎜ i ⎜ nπ − ⎟ ⎟ ⎪ ⎝ ⎪ h ⎠ h ⎠ ⎝ ⎩ ⎭ a = πh 2i ⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ i⎜ − ⎟ i⎜ + ⎟ −i⎜ − ⎟ − i⎜ + ⎟ ⎛ nπ pa ⎞ ⎪ i⎛ nπ − pa ⎞ e ⎝ 2 2 h ⎠ − e ⎝ 2 2 h ⎠ i⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ e ⎝ 2 2h ⎠ − e ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ e + e ⎝ 2 2 h ⎠ e −inπ ⎨ ⎬ pa ⎞ pa ⎞ ⎪ ⎛ ⎛ ⎪ 2i ⎜ nπ − 2i ⎜ nπ + ⎟ ⎟ ⎪ h ⎠ h ⎠ ⎪ ⎝ ⎝ ⎩ ⎭
代入（1）式，可得：
2 ⎤ h2 ∗ ∗ ∗ 3 3 ⎡ h E=− ∫ d x∇ ⋅ ϕ ∇ϕ + ∫ d x ⎢ 2m ∇ϕ ⋅ ∇ϕ + ϕ Vϕ ⎥ 2m ⎣ ⎦
（1）
(
)
(
)
（2）
下面我们来计算
r ∫ d x∇ ⋅ ϕ ∇ ϕ = ∫∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS r 2 ∗ = 4πϕ ∇ ϕ ⋅ n r |r → ∞
⎡ h2 2 ⎤ 3 ∗ = ∫ d xϕ ⎢ − ∇ + V ⎥ϕ ⎣ 2m ⎦ ⎡ h2 ∗ 2 ⎤ 3 ∗ ϕ ∇ ϕ + ϕ Vϕ ⎥ = ∫ d x ⎢− ⎣ 2m ⎦ Q ∇ ⋅ (ϕ ∗∇ϕ ) = ∇ϕ ∗ ⋅ ∇ϕ + ϕ ∗∇ 2ϕ
∴ϕ ∗∇ 2ϕ = ∇ ⋅ ϕ ∗∇ϕ − ∇ϕ ∗ ⋅ ∇ϕ
通过傅立叶变换，可得：
ϕn ( p ) =
=
1 2π h
1 2π h
∫
+∞
−∞
ϕ n ( x ) e − ipx / h dx
2 nπ x − ipx / h sin e dx a a 2e a
i nπ x a
∫ ∫
a
0
1 = π ah
a
0
−e 2i
−i
nπ x a
e − ipx / h dx
=
1 1 2i π ah
V (x )
n 2π 2 h 2 , En = 2ma 2
0
a
x
可得：
⎧ 2 πx sin , ⎪ ϕ1 ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
E1 =
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
⎧ 2 2π x sin , ⎪ ϕ2 ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
4π 2 h 2 E2 = = 4 E1 2 2ma
因此，（2）式变为：
⎡ h2 ⎤ ∗ ∗ ∇ϕ ⋅ ∇ϕ + ϕ Vϕ ⎥ E = ∫ d x⎢ 2m ⎣ ⎦
3
证毕。
（b）证明：
h2 ∇ϕ ∗ ⋅ ∇ϕ + ϕ ∗Vϕ 由（a）可知： W = 2m
r ⎞ h 2 ⎛ ∂ϕ ∗ ∂ϕ ⎜ ∇ϕ ∗ ⎟ ∇ϕ + 又已知： S = − ⎟ 2m ⎜ ∂t ∂t ⎝ ⎠ 则有： 2 ⎞ h2 r ∂⎛ h ⎛ ∂ϕ ∗ ⎞ ∂ϕ ∂W ∗ ∗ ∇ ⋅⎜ ∇ϕ + ∇ϕ ∗ ⎟ +∇⋅S = ⎜ ∇ϕ ⋅ ∇ϕ + ϕ Vϕ ⎟ − ⎟ ⎟ 2m ⎜ ∂t ∂t ∂t ∂t ⎜ 2m ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
证毕.
2.《曾 P.163-4》 求 ϕ ( x, t ) = ?
一维无限深势阱中粒子，设初态 ϕ ( x,0 ) =
2 x (t ) = ? H = ? H = ?
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2
解：选择一维无限深势阱的形状如右图所示。 利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , (0 < x < a) ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ( x < 0, x > a ) ⎩
2
∗
πx πx 1 ⎡ 2 2 2π x ⎤ ⎛ h2 d 2 ⎞ ⎡ 2 2 2π x ⎤ sin sin sin sin = ∫ ⎢ + + ⎥⎜− ⎥ dx 2 ⎟ ⎢ 0 a a a ⎦ ⎝ 2m dx ⎠ ⎣ a a a a ⎦ 2 ⎣ a 2π x ⎞⎛ π x 2π x ⎞ π 4 h4 a ⎛ π x sin = + sin + 16sin ⎟⎜ sin ⎟ dx 2 5 ∫0 ⎜ a a ⎠⎝ a a ⎠ 4m a ⎝ 17π 4 h 4 17 2 = = E1 2 5 8m a 2
| ϕ n ( p ) |2 =
nπ h ⎞ nπ h ⎞ n +1 ⎛ ⎛ F⎜ p− + ( −1) F ⎜ p + ⎟ ⎟ a ⎠ a ⎠ 4π h ⎝ ⎝ a