捕捉、发散与再认,让解法更自然——一道填空题的解法探求之路

捕捉、发散与再认,让解法更自然——一道填空题的解法探求
之路
王强强
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2017(000)016
【总页数】3页(P88-90)
【作者】王强强
【作者单位】浙江湖州市第四中学教育集团
【正文语种】中文
在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠ACB=45°时，点C的坐标为________.
1.解法探求之路一.
有效地捕捉题干中的关键信息，大胆猜想，并从“记忆”中提取与之相关联的便于识别运用的“已知模型”，建立条件与结论间的逻辑关系，是寻求解题策略的常规路径.本题常规解题思路的产生，就是基于捕捉到的两方面的信息而形成的：一是根据45°角，将其与特殊三角形进行“有效组合”；二是根据已知线段AB与所求线段OC的位置关系，展开追溯，寻找到熟识的基本图形——三角形中的“双高线”（如图1）.“双高线”模型的识别，为我们的解题打开了思维之门.辅助线“过点B作BD⊥AC于点D”就成了“自然之选”.解法1运用“面积法”解答，也就容易想到了.同时，由45°角可以构造等腰直角三角形；“双高线”可以和三
角形全等进行“组合”.解法2运用“三角形全等”进行解答，也似乎是意料之中
的事了.
同理，求得y轴负半轴上的点C的坐标为（0，-12）.
综上所述，C点的坐标为（0，12）或（0，-12）.
2.解法探求之路二.
我们不妨再次大胆猜想，如果我们将已知△ABC仅仅看作“部分”图形，将它“补全”，又是怎样的情形呢？显然根据45°角，“过点B作BD⊥BC交CA的延长
线于点D”，可以将其补全成一等腰直角三角形（如图3），而后再次展开联想，循着以往的知识经验的足迹，由“OC⊥AB”，很自然地构造“三垂线”这一大家非常熟悉的“三角形全等”中的基本模型，从而发现了许多隐蔽的结论，促进解题思路再一次展现与提升.这就是常规解法3自然形成的思维之旅.
解得t=-2（舍去）或t=12.故结论同上.
3.解法探求之路三.
解法4恰是一种尝试后的“意外”收获，是“内隐信息”显性化的极大体现，辅
助线很好地将题中45°角这个关键信息重新组成信息块（如图5），构造“三等角”这一大家非常熟悉的“三角形相似”中的基本模型，更具“隐蔽性”与“关联性”，符合解题化归理论，让45°角这个关键信息再次得以充分展示，大大拓展学生的思维，丰富试题的内涵，使原本“含蓄”的试题呈现得更加丰满，不同层次的学生均“有话好说”“有事能做”.
根据45°角，将其与特殊三角形进行“有效组合”，激活问题所涉及的临近知识点（包括三角形全等、相似等），符合学生的认知规律及最近发展区的心理激励，是常规解法形成的基本套路.波利亚不断要求解题时要自我诘问、自我反思，“你能
否用别的方法得出这个结论呢？”我想，只有尽最大可能激活知识经验，扩散、发散关键信息，重新进行资源提取与分配，才能打破原先的思维“自我封闭”，使解
法得到突破.
解法5：依靠∠ACB=45°这个特殊条件，想要继续“作垂线”，似乎已经没有更好的解题路径了.因此，让我们再琢磨琢磨，不妨作“变换”：观察图7，分别将
Rt△BOC和Rt△AOC作轴对称变换，即向外“翻折”，得到Rt△BDC和Rt△AEC，再将DB、EA的延长线的交点记为点F.这样处理，将45°扩充成90°；将△ACB扩充成了正方形CDFE.还是设OC=t.于是，在Rt△ABF中，BF2+AF2=AB2，（t-6）2+（t-4）2=102，整理得t2-10t-24=0，故结论同上.
解法6：由45°联想到90°，解法5给了我们全新的思路，打破原先思维的“自我封闭”，使解法得到突破.考虑到“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半”，接下来，我们不妨构造△ACB的外接圆.
观察图8，取线段AB的中点E.因为点A（4，0）、B（-6，0），故AB=10，E （-1，0）.过点E在第二象限作EP⊥∠APB=90°，PA=PB=5.由于∠ACB=45°，
于是以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴必交于点C.过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1.在
解法7：观察图9，由解法5可知⊙P是△ACB的外接圆，且点P的坐标为（-1，5）.于是，我们可以运用同圆中“半径相等”来构造方程解答.还是设OC=t，则点C的坐标为（0，t）.根据两点间的距离公式，PA2=（-1-4）2+（5-0）2=50，PC2=（-1-0）2+（5-t）2.由PC=PA，得12+（5-t）2=50，解得t=-2（舍去）或t=12.故结论同上.
“由45°联想到90°”，解法5依靠“变换”将△ABC扩充成了正方形CDFE；解
法6、解法7考虑到“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半”，构造
△ABC的外接圆.这些创造性的解题活动，不仅是对学生演绎推理能力的训练，尤
为关键的是渗透其中蕴含的重要数学思想——转化（从局部——线段或角到整体——三角形、四边形与圆的转化），完善学生已有认知结构，开拓思维，大大丰
富解题策略，积累活动经验；更是在让学生经历问题解决的过程中领悟数学机智，领略趣味综合，促进实践感悟.
三角形的边角间存在着特定的数量关系，为我们研究几何图形的特性带来了极大的便利，以及发散思维的空间.元认知理论认为，对认知的再认知是人类极富智慧的一种学习经历.用普遍联系的眼光来看数学知识，远比单一“圈圈”内的闭门造车更具可操作性.罗增儒教授曾在他的著作《解题教学论》中提倡“结论也是有效信息”.
观察图10，我们把△ACB放置在一个标准网格中，OC=12.从而得到点C的坐标.难道，这仅仅是巧合吗？其实不然.观察图11，在网格内我们构造一个锐角α，使得
再将锐角α与锐角β如图11般进行拼接，将拼接成的锐角记为∠QMN，不难证明△QMN是等腰直角三角形，从而得到α+β=45°，于是原先的利用网格解答的方法成立.
或者，我们可以利用进行验证，同样可以得出结论.
解题后反思，架构特殊与一般、代数与几何的双向沟通，使学生在问题解决思维的形成过程中进行知识的关联与综合，形成知识网络，并进一步完善自我修复，积累基本活动经验.同时，也使“奇思妙想”的产生成为可能.
我认为，我们数学解题活动的宗旨，就是要遵守常规、优化常态，让解法更加自然地产生.因此，我希望，数学的解题活动，能为我们的学生搭建一个勇于质疑与便于探索的平台，尽显结论的发现过程、思路方法的探究过程，让我们的学生在参与解题的过程中增长知识、提高能力、积累经验、发展素养.
【相关文献】
1.罗增儒.学会学解题——写在《数学解题学引论》第4次印刷［M］.中学数学教学参考，2004（9）.
2.钱莉莉，王强强.深挖试题内蕴追求解题价值［J］.中国数学教育，2012（6）.。